Ортогонални полиноми, основни свойства.

Дефиниции

Скаларно произведение

Нека (a, b) е краен или безкраен интервал, $\mu(t)$ - функция на тегло за (a, b), като:
$\mu(t) \ge 0 \ t \in (a, b)$
$\underset{a_1}{\overset{b_1}{\int}}\mu(t) dt > 0, \ \forall (a_1, b_1) \subset (a, b)$
$\underset{a}{\overset{b}{\int}}\mu(t) |t|^k dt < \infty , \ \forall k \in \mathbb N_0$,
Скаларното произведение на $f, g$, които са дефинирани в (a, b), е
$(f, g) := \underset{a}{\overset{b}{\int}}\mu(t)f(t)g(t) dt$

Ортогонални полиноми

Ако $(f, g) = 0$, то f и g са ортогонални.

Свойства (скаларно произведение)

  1. $(f, f) \ge 0 \quad "=" \iff f(t) = 0$ почти навсякъде в (a, b).
  2. $(f, g) = (g, f)$
  3. $(f + c.g, h) = (f, h) + c(g, h), \ \forall c$ - константа

Дефиниция (редица от ортогонални полиноми)

$P_0, P_1, \dots, P_n$ са ортогонални полиноми по отношение на скаларното произведение, ако:

  1. $P_k \in \pi_k, k = 0, 1, \dots, n$
  2. $(P_m, P_n) = 0, \forall m \ne n$
  3. $(P_k, P_k) > 0, k = 0, 1, 2, \dots, n$

Свойства на ортогоналните полиноми.

Св. 1 (линейна независимост)

За $\forall n \in \mathbb N \ \{ P_0(x), P_1(x), \dots, P_n(x) \}$ са линейно независими функции.

Доказателство:
Допускаме противното, значи има нетривиална лин. комбинация на $a_i, \ i=\overline{0, n}$:
$f(x) = \underset{j = 0}{\overset{n}{\sum}}a_j.P_j(x) = 0$

$0 = (f, P_i) = \underset{j = 0}{\overset{n}{\sum}}a_j(P_j, P_i) = a_i(P_i, P_i) > 0$
$a_i = 0, \ i=\overline{0, n}$ - противоречие.
$\{ P_0(x), P_1(x), \dots, P_n(x) \}$ са линейно независими полиноми.

Св. 2 (единствено представяне)

$\forall f \in \pi_n$ може да се представи по единствен начин във вида $f(x) = \underset{j = 0}{\overset{n}{\sum}}a_j P_j(x)$, при това $a_j = \frac{(f, P_j)}{(P_j, P_j)}, \ j=\overline{0, n}$.

Доказателство:
$\{P_k(x)\}_{k = 0}^n$ са ЛНЗ полиноми, значи образуват базис за $\pi_n$.
$(f, P_k) = \underset{j = 0}{\overset{n}{\sum}}a_j.(P_j, P_k) = a_k(P_k, P_k)$
$a_k = \frac{(f, P_k)}{(P_k, P_k)}$.

Св. 3 (ортогоналност с полином от по-ниска степен)

Ако $f \in \pi_{n - 1}$, тогава $(f, P_n) = 0$.

Доказателство:
$\{P_k(x)\}_{k = 0}^{n-1}$ образуват базис за $\pi_{n-1}$, т.е:
$f(x) = \underset{j = 0}{\overset{n-1}{\sum}}a_j.P_j(x)$
Сега просто използваме, че $P_n$ е ортогонален с $P_i \quad i = \overline{1,n-1}$:
$(f, P_n) = \underset{j = 0}{\overset{n-1}{\sum}}a_j \underbrace{(P_j, P_n)}_0 = 0$

Св. 4 (рекурентна връзка)

Същестуват константи $A_n, B_n, C_n$:
$P_{n+1}(x) = (A_nx + B_n)P_n(x) + C_nP_{n - 1}(x), \ n = 0, 1, \dots$

Доказателство:
Разглеждаме $x P_n(x) \in \pi_{n+1}$
Cъществуват константи $\{c_i\}^{n + 1}_{i=0}$:
$x P_n(x) = \underset{k = 0}{\overset{n + 1}{\sum}}c_kP_k(x) \quad (\star)$
Нека $0 \le j \le n - 2$. Oт свойство 3:
$( x P_n(x), P_j(x) ) = ( P_n(x), \underbrace{x P_j(x)}_{\in \pi_{n - 1}}) = 0$
Aко умножим скаларно $(\star)$ от двете страни с $P_j(x)$:
$( x P_n(x), P_j(x) ) = \underset{k = 0}{\overset{n+1}{\sum}}c_k(P_k, P_j) = \underbrace{c_j(P_j, P_j)}_{ > 0} = 0$
$c_j = 0, \ j = \overline{0, n - 2}$
$x P_n(x) = c_{n-1}P_{n-1}(x) + c_nP_n(x) + c_{n+1}P_{n+1}(x)$
$c_{n+1} \ne 0$ значи наистина има такова представяне:
$P_{n+1}(x) = ( A_nx + B_n ).P_n(x) + C_nP_{n -1}(x)$

Св. 5 (брой и разположение на реалните корени)

$P_n(x)$ има n различни реални нули и те са в $(a, b)$.

Доказателство:
Нека $\{\xi_i\}_{i = 1}^m$ са нулите на $P_n(x)$, които са в (a, b) и са с нечетна кратност.
Допускаме, че m < n.
$Q(x) = ( x - \xi_1)\dots(x - \xi_m ) \in \pi_m \subset \pi_n$.
От свойство 3 $(P_n, Q) = 0$, но
$(P_n, Q) = \underset{a}{\overset{b}{\int}}\mu(x)P_n(x)Q(x)dx \ne 0$ - подинтегралната функция не си сменя знака в $(a, b)$.
Противоречие, следователно $m = n$.

Св. 6 (минималност)

Нека $P_n = k_n x^n + M(x), \ M(x) \in \pi_{n - 1}$, тогава за всеки полином $Q(x)$ от степен $n$, който има същия коефициент пред $x^n$, както $P_n(x)$ е изпълнено:
$\underset{a}{\overset{b}{\int}}\mu(x)P_n^2(x)dx \le \underset{a}{\overset{b}{\int}}\mu(x)Q^2(x)dx$, т.е.
$( P_n, P_n ) \le (Q, Q), \quad "=" \iff Q = P_n$.

Доказателство:
$Q = P_n + r,\quad r \in \pi_{n-1}$, тогава

(1)
\begin{align} (Q, Q) = ( P_n + r, P_n + r) = ( P_n, P_n ) + \underbrace{4(P_n, r)}_0 + \underbrace{(r, r)}_{\ge 0} \ge 0 \end{align}

За да имаме равенство трябва

(2)
\begin{align} (r, r) = \underset{a}{\overset{b}{\int}}\mu(x)r^2(x)dx = 0 \iff r(x)= 0 \iff P_n = Q \end{align}

Теорема (постр. на редица от ортогонални полиноми по старши коефициенти)

Нека $\{k_n\}_{n = 0} ^ \infty$ е редица от числа, никое от които не е равно на 0. Тогава същестува единствена редица от ортогонални полиноми $\{P_n(x)\}_{n = 0}^\infty$, такава че $P_n(x) = k_nx^n + M_n(x), \ M_n(x) \in \pi_{n - 1}$.

Доказателство:
$P_0(x) = k_0$
Ако сме определили първите n ортогонални полинома $P_0(x), P_1(x), \dots, P_{n-1}(x)$, то търсим $P_n(x)$ във вида $P_n(x) = k_nx^n + \underset{j = 0}{\overset{n - 1}{\sum}}c_jP_j(x)$

Сега просто умножаваме горното уравнение скаларно със всички полиноми $P_k$ от по-ниска степен, и от там излизат формули за $c_k$:

(3)
\begin{eqnarray} (P_n, P_k) &=& k_n(x^n, P_k) + \underset{j = 0}{\overset{n - 1}{\sum}}c_j(P_j, P_k) \\ 0 &=& k_n( x^n, P_k ) + c_k( P_k, P_k ) \qquad k= \overline{0, n-1} \\ \Rightarrow c_k &=& -k_n\frac{(x^n, P_k)}{(P_k, P_k)} \\ \end{eqnarray}

Дефиниция (ортонормирана система)

Нека $\{ P_i \}_{i=0}^{\infty}$ е система ортогонални полиноми.
Ако $(P_n, P_m) = \begin{cases} 0, & n \ne m \\ 1, & n = m \end{cases}$, то системата от ортогоналните полиноми се нарича ортонормирана система.

Примери

Ортогоналини полиноми на Льожандър

$[a, b] = [-1, 1], \ \mu(x) = 1$
$L_n(x) = \frac{(-1)^n}{2^nn!}((1 - x^2)^n)^{(n)}$.
Имаме $n = 0 \rightarrow L_0(x) = 1$ и $n = 1 \rightarrow L_1(x) = x$

Рекурентната връзка:
$(n+1) L_{n+1}(x) = (2n + 1)x L_n(x) - n L_{n-1}(x)$
Откъдето получаваме $L_2(x) = \frac{3x^2 - 1}{2}$

(4)
\begin{align} (L_m, L_n) = \underset{-1}{\overset{1}{\int}}L_m(x)L_n(x) dx = \begin{cases} 0, & m \ne n \\ \frac{2}{2n + 1}, & n = m \end{cases} \end{align}

Ортогонални полиноми на Чебишов от 1-ви ред

$[a, b] = [-1, 1], \mu(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$T_n(x) = \cos(n \arccos(x)), \ x \in [-1, 1]$

Рекурентната връзка:
$T_{n+1} = 2xT_n(x) - T_{n - 1}(x), \ n = 1, 2, \dots$
$T_0(x) = 1$
$T_1(x) = x$
$T_2(x) = 2x^2 - 1$
$T_3(x) = 4x^3 - 3x$

(5)
\begin{align} \underset{-1}{\overset{1}{\int}} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}T_n^2(x)dx = \begin{cases} \pi, & n = 0 \\ \frac{\pi}{2}, & n \in \mathbb N \end{cases} \end{align}

Ортогонални полиноми на Чебишов от 2-ри ред

$\mu(x) = \sqrt{1 - x^2}$
$[a, b] = [-1, 1]$

(6)
\begin{align} U_n(x) = \frac{\sin((n + 1)(\arccos(x))}{\sqrt{1 - x^2}}, x \in [-1,1] \end{align}

Рекурентната връзка:
$U_{n + 1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n - 1}(x), \ n \ge 1$

$U_0(x) = 1, U_1(x) = 2x$

(7)
\begin{align} \underset{-1}{\overset{1}{\int}}U_n^2(x) dx = \frac{\pi}{2}, \ \forall n \end{align}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License