Модул за непрекъснатост на функция, полиноми на Бернщайн. Теореми на Вайерщрас.

Дефиниция (модул на непрекъснатост на функция)

Нека $f(x)$ е дефинирана в $[a, b]$, тогава
$\omega(f;\delta) = \displaystyle \sup \{ {|f(x) - f(y)|} : x, y \in [a,b], \ |x - y| \le \delta \}$.

Свойства модул на непрекъснатост на функция

1. Ако $0 < \delta_1 < \delta_2$, то $\omega(f;\delta_1) \le \omega(f;\delta_2)$
2. $\omega(f;\delta) \rightarrow 0 \iff f \in C[a, b]$
3. $\omega(f;\lambda.\delta) \le ( \lambda + 1 )\omega(f;\delta), \ \forall \lambda > 0$

Доказателство: (на 3. )
Ще разгледаме 2 случая.
1сл.)
$\lambda = k \in \mathbb N$
Нека $x, y \in [a, b], \ 0 < y - x < k\delta$.
Нека $x_i = x + i.h, \ h = \frac {y - x}{k}$, за $i = 0, 1, \dots, k$.1
$0 < x_{i + 1} - x_i \le \delta, \ i = 0, 1, \dots, k - 1$.

(1)
\begin{eqnarray} |f(y) - f(x)| &=& |f(x_k) - f(x_0)| \\ &=& |f(x_k) - f(x_{k - 1}) + f(x_{k - 1}) - f(x_{k - 2}) + \dots + f(x_1) - f(x_0)| \\ &\le& \underbrace{|f(x_k) - f(x_{k - 1})|}_{\le \omega(f;\delta)} + \underbrace{|f(x_{k - 1}) - f(x_{k - 2})|}_{\le \omega(f;\delta)} + \dots + \underbrace{|f(x_1) - f(x_0)|}_{\le \omega(f;\delta)} \\ &\le& k\omega(f;\delta) \end{eqnarray}

$k\omega(f;\delta)$ е горна граница за $\{ f(y) - f(x): x, y \in [a, b], \ |x - y| \le k\delta \}$
$\omega(f;k\delta) \le k\omega(f;\delta) \le (k + 1)\omega(f;\delta)$.

2сл.)
$\lambda = k > 0$, тогава $\lambda < [\lambda] + 1 < \lambda + 1$
$\omega(f;k\delta) \underset{ 1.}{\le} \omega(f;[\lambda + 1]\delta) \underset{ 3. \ 1sl. }{\le} ([\lambda] + 1)\omega(f;\delta) \le (\lambda + 1)\omega(f;\delta)$.

Полином на Бернщайн

Нека $[a, b] = [0, 1]$,

(2)
\begin{align} B_n(f; x) := \sum\limits_{k = 0}^n { n \choose k} x^k(1-x)^{n - k} f \left ( \frac{k}{n} \right ) \in \Pi_n \end{align}

е $n$тият полином на Бернщайн.

Свойства на полиномите на Бернщайн.

  1. Положителност: Ако $f(x) \ge 0$ в [0, 1], то $B_n(f;x) \ge 0$ в [0, 1].
  2. Линейност: $B_n(f + c.g;x) = B_n(f;x) + c.B_n(g;x), \ \forall f, g$ - функции, c - константа.
  3. Монотонност: Ако $f(x) \ge g(x), \ \forall x \in [0, 1]$, то $B_n(f;x) \ge B_n(g;x), \ \forall x \in [0, 1]$ - следва от 1. и 2.
  4. $B_n(f;0) = f(0); B_n(f;1) = f(1)$.

Лема

Нека $f_0(x) = 1, \ f_1(x) = x, \ f_2(x) = x^2$, изпълнено е:
(1) $B_n(f_0, x) = f_0(x) = 1$
(2) $B_n(f_1, x) = f_1(x) = x$
(3) $B_n(f_2, x) = f_2(x) + \frac{x(1-x)}{n}= x^2 + \frac{x(1-x)}{n}$

Доказателство:
(1)

(3)
\begin{eqnarray} B_n(f_0; x) = \sum\limits_{k = 0}^n { n \choose k } x^k(1-x)^{n - k} = ( x + 1 - x ) ^ n = 1 \end{eqnarray}

(2)

(4)
\begin{array} {} B_n(f_1; x) &=& \sum\limits_{k = 0}^n { n \choose k } x^k(1-x)^{n - k} \frac{k}{n} \\ &=& \sum\limits_{k = 1}^n \frac{n!}{k!(n - k)!} x^k (1 - x)^{n - k}\frac{k}{n} \\ &=& \sum\limits_{k = 1}^n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n - k)!} x^k (1 - x)^{n - k} \\ &=& \sum\limits_{l = 0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{l!(n - l -1)!} x^{l + 1} (1 - x)^{n - l - 1} \\ &=& x\sum\limits_{l = 0}^{n-1} \binom{n-1}{l} x^l (1 - x)^{n - l - 1} \\ &=& x(x + 1 - x)^{n - 1} \\ &=& x \end{array}

(3)

(5)
\begin{array} {} B_n(f_2; x) &=& \sum\limits_{k = 0}^n { n \choose k } x^k(1-x)^{n - k} \frac{k^2}{n^2} \\ &=& \sum\limits_{k = 0}^n { n \choose k } x^k(1-x)^{n - k}\left( \frac{k(k - 1)}{n^2} + \frac{k}{n^2} \right) \\ &=& \sum\limits_{k = 0}^n { n \choose k } x^k(1-x)^{n - k} \frac{k(k - 1)}{n^2} + \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^n { n \choose k } x^k(1-x)^{n - k} \frac{k}{n} \\ &=& \sum\limits_{k = 0}^n { \frac{n!}{k!(n-k)!}}x^k(1-x)^{n - k} \frac{k(k - 1)}{n^2} + \frac{x}{n} \\ &=& \frac{x}{n} + \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 0}^n { \frac{(n - 1)!}{(k - 2)!(n - k)!}} x^k(1-x)^{n - k} \\ &=& \frac{x}{n} + \frac{1}{n}\sum\limits_{l = 0}^{n - 2} { \frac{(n - 1)!}{l!(n - l - 2)!}} x^{l + 2} (1-x)^{n - l - 2} \\ &=& \frac{x}{n} + \frac{n - 1}{n}x^2 \sum\limits_{l = 0}^{n - 2} { n \choose k } x^l (1 - x)^{n - l - 2} \\ &=& \frac{x}{n} + \frac{n - 1}{n}x^2 \\ &=& x^2 + \frac{x(1-x)}{n} = f_2(x) + \frac{x(1-x)}{n} \end{array}

Теорема.

Нека $f(x)$ е функция, дефинирана в $[0, 1]$. Тогава за $\forall x \in [0, 1]$ е изпълнено: $|f(x) - B_n(f; x)| \le \frac{3}{2}\omega(f; \frac{1}{\sqrt{n}})$.

Доказателство:
Да означим $\psi_{n, k}(t) := \left( {\begin{array}{{20*}c} n \\ k \\\end{array}} \right) t^k ( 1 - t)^{n - k}$

Тогава $B_n(f; t) = \underset{k = 0}{\overset {n} {\sum}}\psi_{n, k}(t)f \left ( \frac{k}{n} \right )$.
Нека $f(t) = \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t)f(t)$2

(6)
\begin{eqnarray} |f(t) - B_n(f; t)| &=& | \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t)( f(t) - f(\frac{k}{n}) )| \\ &\le& \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t)| f(t) - f(\frac{k}{n})| \\ &\le& \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t)\omega(f;|t - \frac{k}{n}|) \\ &=& \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t).\omega(f;\delta \frac{|t - \frac{k}{n}|}{\delta}) \\ &\le& \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t) \left[ \frac{|t - \frac{k}{n}|}{\delta} + 1 \right]\omega(f;\delta) \\ &=& \omega(f;\delta)\left\{ \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t) + \frac{1}{\delta}\underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t)|t - \frac{k}{n}| \right\} \\ &=& \omega(f;\delta) + \omega(f;\delta)\frac{1}{\delta}\underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t)|t - \frac{k}{n}| \end{eqnarray}
(7)
\begin{eqnarray} I_1 &=& \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}(\psi_{n, k}(t)) ^{\frac{1}{2}}(\psi_{n, k}(t)) ^{\frac{1}{2}}|t - \frac{k}{n}| \\ &\le& \left( \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t)\right)^{\frac{1}{2}} \left( \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t) ( t - \frac{k}{n} )^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\ &=& 1. \left( \underset{k = 0}{\overset {n}{\sum}}\psi_{n, k}(t) ( t - \frac{k}{n} )^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\ &=& (B_n(g(x); t))^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}

където $g(x) = (t - x)^2$.

Нека t е фиксирана точна от [0, 1].

(8)
\begin{eqnarray} B_n(g(x); t) &=& B_n( (t- x)^2; t ) \\ &=& B_n( t^2 - 2tx + x^2; t ) \\ &=& t^2B_n(f_0; t) - 2tB_n(f_1; t) + B_n(f_2; t) \\ &=& t^2.1 - 2t.t + \left(t^2 + \frac{t(1 - t)}{n} \right) \\ &=& \frac{t(1 - t)}{n} \end{eqnarray}

$I_1 = \left(\frac{t(1 - t)}{n}\right) ^ \frac{1}{2} \le {\frac{1}{2\sqrt{n}}}$

$|f(x) - B_n(f; t)| \le \omega(f; \delta) + \frac{\omega(f; \delta)}{\delta}.\left(\frac{t(1 - t)}{n}\right) ^ \frac{1}{2} \le \omega(f; \delta) + \frac{\omega(f; \delta)}{\delta}.\frac{1}{2\sqrt{n}}$

Нека сега изберем $\delta = \frac{1}{\sqrt{n}}$ тогава:
$|f(x) - B_n(f; t)| \le \omega(f; \frac{1}{\sqrt{n}}) + \frac{1}{2}\omega(f; \frac{1}{\sqrt{n}}) = \frac{3}{2}\omega(f; \frac{1}{\sqrt{n}})$.

Първа теорема на Вайерщрас.

Ако $f(x) \in C[a, b]$, то за $\forall \epsilon > 0 \ \exists n \in \mathbb N$ и полином $P(x) \in \Pi_n$, такъв че $|f(x) - P(x)| < \epsilon, \ \forall x \in [a, b]$.

Доказателство:
Да положим $x = a + t(b - a), t\in [0, 1]$.
Тогава $g(t) = f(a + t(b - a)) \in C[0, 1]$, следователно $|g(t) - B_n(g; t)| < \frac{3}{2}\omega(g; \frac{1}{\sqrt{n}}), \forall t \in [0, 1]$
Заместваме $t = \frac{x - a}{b - a} \rightarrow g(t) = f(x) \rightarrow |f(x) - B_n(g; \frac{x - a}{b - a})| < \frac{3}{2}\omega(g; \frac{1}{\sqrt{n}}), \forall x \in [a, b]$

g е непрекъсната в [0, 1], следователно съществува n - достатъчно голямо, за да е изпълнено $\frac{3}{2}\omega(g; \frac{1}{\sqrt{n}}) < \epsilon$
$|f(x) - B_n(g; \frac{x - a}{b - a})| < \epsilon, \forall x \in [a, b]$.
Тъй като знаем, че $P(x) = B_n(g;\frac{x - a}{b - a}) \in \Pi_n$, то $|f(x) - P(x) < \epsilon, \forall x \in [a, b]|$.

Втора теорема на Вайерщрас.

Нека f(x) е непрекъсната и $2\pi$-периодична функция за $\forall \epsilon > 0$ съществува тригонометричен полином $\tau(x)$, такъв че $|f(x) - \tau(x)| < \epsilon, \forall x \in \mathbb R$.

Доказателство:
Означения: $f \approx \tau$ - значи $f$ може да се приближава с произволна точност с тригонометричен полином.

Достатъчно е да покажем, че $\exists \tau(x) : |f(x) - \tau(x)| < \epsilon, \ \forall x \in [-\pi,\pi ]$.
Разглеждаме $f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.
Това представяне ни позволява да разглеждаме $f(x)$ като четна или нечетна.

1сл.)
Нека $f(x)$ е четна $2\pi$ периодична функция. $g(t) = f(arccos(t)), t \in [-1, 1], x = arccos(t) \ \in [0, \pi]$.
Съгласно първата теорема на Вайерщрас съществува алгебричен полином $P(x) \in \Pi_n$, такъв че $|g(t) - P(x)| < \epsilon, \forall t \in [-1, 1]$.
Нека заменим $t = cos x, x \in [0, \pi] \rightarrow g(cos(x)) = f(x), P(cos(x))$ - тригонометричен полином, който е четен.
$|f(x) - P(x)| < \epsilon, \forall x \in [0, \pi]$.
$f(x), P(x)$ са четни функции, тогава $|f(x) - P(x)| < \epsilon, \forall x \in [-\pi, \pi]$.
Следователно съществува тригонометричен полином, който приближава четната функция f с точност $\epsilon > 0 \rightarrow f \approx \tau$.
$\rightarrow f(t) \sin^2(t) \approx \tau$ е изпълнено за всяка четна, непрекъсната, $2\pi$ периодична функция.
2сл.)
Нека $f(x)$ е нечетна $2\pi$ периодична функция. Тогава $f(t).sin(t)$ е четна $2\pi$ периодична функция, следователно $f(t).sin(t) \approx \tau \rightarrow f(t).sin^2(t) \approx \tau$ е изпълнено за всяка нечетна, непрекъсната $2\pi$ периодична функция.
$\rightarrow f(t).sin^2(t) \approx \tau$ за всяка нечетна, непрекъсната $2\pi$ периодична функция.

Следователно $f(t) \sin^2(t) \approx \tau$ за всяка непрекъсната $2\pi$ периодична функция (защото всяка може да се представи като сума на четна и нечетна, и поотделно го доказахме за двете).

$g(\theta) = f( \frac{\pi}{2} - \theta )$ - непрекъсната $2\pi$ периодична функция. Следователно $g(\theta).sin^2(\theta) \approx \tau(\theta), \theta = \frac{\pi}{2} - t$
$\rightarrow f(t).cos^2(t) \approx \tau(\frac{\pi}{2} - t) \rightarrow f(t).cos^2(t) \approx \tau$ за всяка непрекъсната $2\pi$ периодична функция.
$f(t)( sin^2(t) + cos^2(t) ) \approx \tau \rightarrow f \approx \tau$ за всяка непрекъсната $2\pi$ периодична функция..

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License