Най-добри равномерни приближения с алгебрични полиноми

Дефиниция (множеството C[a,b])

$C[a,b] = \{ f(x) : f -$непрекъсната в $[a,b] \}$
Тоест множеството на всички непрекъснати функции над $[a,b]$

Дефиниция (равномерна норма)

Равномерна норма в интервала $[a,b]$ ще бележим по следния начин $\lVert f \rVert _{[a,b]}$.
Като $\lVert f \rVert _{[a,b]} := \underset{ x \in [a,b]}{ max} |f(x)|$
Забележка: пространството $C[a,b]$ не е строго нормирано
Пример:
$[a,b] = [0,1]$
$f(x) = 1, \quad g(x) = x$
$||1+x|| = ||1||+||x|| = 2$, но $f(x)$ и $g(x)$ не са линейно зависими.

Най-добро приближение

Дефиниция

$E_n(f) := inf \{ || f-P ||: P \in \pi_n \}$
$E_n(f)$ - най-добро равномерно приближение на $f(x)$ в $[a,b]$ с полиноми от степен ненадвишаваща $n$.

Полином на най-добро приближение

Ако $P^{*} \in \pi_n$ е такъв че $E_n(f) = |f-P^{*}|$ тогава $P^{*}$ се нарича полином на най-добро равномерно приближение за $f$ от $\pi_n$ или на кратко ПНДРП

Теорема на Борел

За всяко $f \in C[a,b]$ и всяко цяло неотрицателно число $n$ съществува ПНДРП за $f$ от степен $n$.

Лема на Вале-Пусен

Нека $f \in C[a,b]$ и $P(x) \in \pi_n$ е такъв, че съществува число $\varepsilon \in \{-1,1\}$ и точки $a \leq x_0 < x_1 < ... < x_{n+1} \leq b$, такива че
$f(x_i) - P(x_i) = (-1)^{i}\varepsilon \lambda _i$ за $i=\overline{0,n+1}$ където $\{ \lambda _i\}_0^{n+1} > 0$.
Тогава за най-доброто приближение на $f$ е вярно
$E_n(f) \geq \lambda = \underset{0 \leq i \leq n+1}{\min} \lambda_i$

Доказателство:

Теорема на Чебишов за алтернанса

Нека $f(x)$ е функция, дефинирана в $[a,b]$. Необходимо и достатъчно условие за един полином $P(x) \in \pi_n$ да е ПНДРП за $f$ в $[a,b]$ е да съществуват $\varepsilon \in \{-1,1\}$ и $n+2$ точки $\{x_i\}_{i=0}^{n+1}$, такива че $f(x_i) - P(x_i) = (-1)^i \varepsilon ||f-P||$ като $a \leq x_0 < .. < x_{n+1} \leq b$.

Доказателство:

Следствие

Полиномът на най-добро равномерно приближение е единствен.

Доказателство:

Задача

$[a,b]=[-1,1] , f(x) =x^n$. Да се намери ПНДРП от $\pi_{n-1} в [-1,1]$ за $f(x)$.
$T_n(x) = \cos ( n \arccos x ) = 2^{n-1}x^n$ + някакъв полином от $\pi_{n-1}$.
Нека $\overline{T_n}(x) = \dfrac{1}{2^{n-1}}T_n(x) = x^n$ + някакъв полином от $\pi_{n-1}$
$-1 \leq T_n(x) \leq 1$ при $x \in [-1,1]$

$T_n(\eta _k) = (-1)^k$ за $k=0,..,n$
$\eta_k = \cos \frac{k\pi}{n}$
$\overline{T_n}(\eta _k) = \dfrac{(-1)^k}{2^{n-1}}$
$\|\overline{T_n}\|_{c[-1,1]} = \frac{1}{2^{n-1}}$
$\overline{T_n}(x) = x^{n} - p(x)$, където $p(x)$ e полином от $\pi_{n-1}$
$p(x)$ е търсеният ПНДРП за $f(x)$ от $\pi_{n-1}$
$p(x) = x^n - \frac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$, $n+1$ точки на алтернанс $\{ \eta_k \}_{k=0}^{n}$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License