B-сплайн. Основни свойства.

$S_r(x_1, x_2 \dots x_n)$ има размерност $n+r+1$. В лекцията за сплайни намерихме един възможен базис в това пространство от сплайн-функции и той е $\{1, x, x^2 \dots x^r, (x-x_1)^r_+, (x-x_2)^r_+ \dots (x-x_n)^r_+ \}$.

Дефиниция (B-сплайн)

Сплайн от степен $r-1$ за възлите $x_0 < x_1< \dots <x_r$ дефинираме като разделената разлика от функцията $\varphi(x) = (x-t)^{r-1}_+$:

(1)
\begin{align} B(t) :=\!\ (\cdot - t)^{r-1}_+[x_0, x_1 \dots x_r] \end{align}

Напомням, че $f[x_0 \dots x_r] = \displaystyle \sum_{k=0}^r \frac{1}{\omega'(x_k)} f(x_k)$, значи В-сплайн от степен $r-1$ с възли $x_0 \dots x_r$ e точно:

(2)
\begin{align} B(t) = \displaystyle \sum_{k=0}^r \frac{1}{\omega'(x_k)} (x_k-t)^{r-1}_+ \end{align}

Теорема (свойства на В-сплайна)

$B(t) = (\cdot - t)^{r-1}_+[x_0, \dots x_r]$ притежава следните свойства:

(3)
\begin{eqnarray} &(i)& B(t) \equiv 0, \quad t \notin [x_0, x_r] \\ &(ii)& B(t) > 0, \quad t \in (x_0, x_r) \end{eqnarray}

Доказателство:

Дефиниция (редица от B-сплайни)

За възможно безкрайната поредица от възли $x_0 < x_1 \dots < x_r < x_{r+1} < \dots$ означаваме редицата от сплайни от степен $r-1$ така:

(4)
\begin{align} B_{i,r-1}(t) :=\!\ (\cdot - t)^{r-1}_+[x_i, \dots x_{i+r}] \quad i=\overline{0, 1, \dots} \end{align}

Теорема (линейна независимост на редица от В-сплайни)

Нека $m < M$ са произволни естествени числа. Тогава $\{B_{i,r-1}(t)\}^M_{i=m}$ са линейно независими върху $\mathbb{R}$.

Доказателство:

Конструиране на базис от В-сплайни

Искаме да построим базис за $S_{r-1}(x_{r+1}, \dots x_n)$, разглеждани като функции от интервала $[a, b]$

(6)
\begin{align} \mathrm{dim} \ S_{r-1}(x_{r+1}, \dots, x_n) = (n-r)+(r-1)+1 = n \end{align}

Теорема (базис от В-сплайни)

Нека $x_1 < \dots < x_r < a, \quad a < b, \quad b < x_{n+1} < \dots < x_{n+r}$ и х'овете са произволни. Тогава $\{B_{i,r-1}(t)\}_{i=1}^n$, разглеждани само в интервала $[a,b]$ образуват базис за $S_{r-1}(x_{r+1}, \dots x_n)$.

Без доказателство Приемаме на доверие - не може на готово да
използваме линейната независимост, защото тук става дума за интервал $[a, b]$, а линейната независимост е доказана само за цялата реална ос.

Теорема (Основна рекурентна връзка за В-сплайните)

При $r > 2$ е изпълнено:

(7)
\begin{align} B_{i,r-1}(t) = \frac{t-x_i}{x_{i+r}-x_i} B_{i,r-2}(t) + \frac{x_{i+r}-t}{x_{i+r}-x_i} B_{i+1,r-2}(t) \end{align}

Доказателство:

Така можем да определим базовия случай:

(13)
\begin{align} B_{i,0}(t)= \begin{cases} \frac{1}{x_{i+1}-x_i}, & t \in [x_i, x_{i+1}) \\ 0, &t \notin [x_i, x_{i+1}) \end{cases} \end{align}

И после постъпково да пресметнем кой да е сплайн от редицата за да получим търсения базис:

// TODO схема за смятане на В-сплайните (таблична? може би .jpg, че другото е мну трудно).

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License