0. Предисловие

По-общи приказки (не мога да му измисля друго заглавие)


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Преди всичко друго, едно определение.

Функционал

Нека е дадена функцията на една променлива $f$. Редицата
$L_1(f), L_2(f), ..., L_n(f)$
ще наричаме линеен функционал на функцията $f$.
Линейният функционал е някаква числена характеристика на функцията. Пример за линеен функционал може да бъде стойността на функцията в дадена точка: $L_i(f) = f(x_i)$.

И две означения

Означения

С $\pi_n$ означаваме множеството на алгебричните полиноми от ред не по-голям от n. Те представляват едни от най-простите функции: лесно се интегрират и диференцират, а стойността им в дадена точка може да се пресметне с n умножения и n + 1 събирания - по схемата на Хорнер.

С $\mathrm{T}_n$ означаваме множеството от тригонометричните полиноми от ред не по-голям от n. Те имат общия вид
$\mathrm{T}(x) = a_0 + \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} (a_k cos kx + b_k sin kx)$.

Критерии

TODO: Този параграф съдържа много "WTF" и "Аз си го измислих това". Да се чете при особено мнение. Да се поправи ASAP!

Важен за числения анализ въпрос е какво е поведението на дадена функция за различни стойности на нейните аргументи. Звучи тривиално, но нещата не са толкова прости - възможно е функцията да е твърде тежка за изчисление, да няма стойности в дадени точки, или да не е известна. Пример: Знаем, че $f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$. $f(8) = ?$

В такива случаи понякога е удачно да се открие функция, подобна на дадената - с еднакво или сходно поведение - която, обаче, да е по-лесна за изследване. В примера по-горе, функцията $g(x) = x^2$ изглежда подобна, тъй като приема същите стойности като $f(x)$ в точките, където първата е известна. Но дали $g(x)$ ни върши работа? Това също е въпрос, на който численият анализ трябва да даде отговор. За да се определи това, се прилагат критерии.

Интерполационен критерий

На базата на функцията $f$, или на неин функционал $L_1(f), L_2(f), ... , L_n(f)$ строим функция $g$, която има същите свойства в известните ни точки:
$g: L_i(g) = L_i(x)$ за $x = 1, 2, ..., n$.

Метричен критерий

Близостта между две функции (например известната ни и тази, която строим) се измерва чрез функция на разстоянието $d(f,g)$, изпълняваща следните условия:

  1. $d = 0 \Leftrightarrow f \equiv g$;
  2. $d \ge 0$;
  3. $d(f,g) = d(g,f)$ (симетричност);
  4. $d(f,g) \le d(f,h) + d(h,g)$за всяка функция $h$ (неравенство на триъгълника).

Всяка функция $d$, изпълняваща тези условия, наричаме функция на разстоянието.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License