Тема 23

23. Свеждане на двукратен интеграл към повторен. Смяна на променлива в двукратен интеграл.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Теорема

Нека
1. $f(x,y)$ - интегруема(ограничена) върху правоъгълника $P = {(x,y): x \in [a,b], y \in [c,d]}$
2. $\forall x \in [a,b] : \exists \underset{c}{\overset{d}{\int}} f(x,y) dy$
$\Rightarrow F(x) = \underset{c}{\overset{d}{\int}} f(x,y) d y$ е интегруема върху $[a,b]$ и $\underset{P}{\int\int} f(x,y) dx dy = \underset{a}{\overset{b}{\int}} F(x) dx = \underset{a}{\overset{b}{\int}} [\underset{c}{\overset{d}{\int}} f(x,y) dy] dx$ - повторен интеграл.

Доказателство:

Имаме $\tau = \{ x_i \}_{i = 1}^{n}, a = x_0 < x_1 < .. < x_n = b$ и $\lambda = \{y_j\}_{j=1}^{m}, c = y_0 < y_1 < .. < y_n = d$
Правим си правоъгълничета със следните страни $\Pi_i = [x_{i-1},x_i], i = 1..n$ и $\Pi_j' = [y_{j-1},y_j], i = 1..m$
$\Pi_{ij} = \Pi_i \times \Pi_j' , \begin{cases} i = 1..n \\ j = 1..m \end{cases}$
$\Pi = \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}}\underset{j=1}{\overset{m}{\cup}} \Pi_{ij}$
$m_{ij} = \underset{(x,y) \in \Pi_{ij}}{\inf} f(x,y) , M_{ij} = \underset{(x,y) \in \Pi_{ij}}{\sup} f(x,y)$
$\forall (x,y) \in \Pi_{ij} \Rightarrow m_{ij} \leq f(x,y) \leq M_{ij}$
$\forall x \in \Pi_i = [x_{i-1},x_i]$ - фиксираме $\Rightarrow \forall y \in \Pi_{j}' = [y_{j-1},y_j] \Rightarrow m_{ij} \leq f(x,y) \leq M_{ij} , (\forall j = 1..m)$
$\Rightarrow \underset{y_{j-1}}{\overset{j}{\int}} m_{ij} dy \leq \underset{y_{j-1}}{\overset{j}{\int}} f(x,y) d y \leq \underset{y_{j-1}}{\overset{j}{\int}} M_{ij} d y , (\forall j = 1..m)$
Сега сумираме по $j$
$\underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} \underset{y_{j-1}}{\overset{y_j}{\int}} m_{ij} dy \leq \underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} \underset{y_{j-1}}{\overset{y_j}{\int}} f(x,y) dy \leq \underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} \underset{y_{j-1}}{\overset{y_j}{\int}} M_{ij} dy$
$\vartriangle x_i = x_i - x_{i-1}, \vartriangle y_i = y_i - y_{i-1}$

$\underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} m_{ij} \vartriangle y_{j} \leq \underset{c}{\overset{d}{\int}} f(y,x) d y \leq \underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} M_{ij} \vartriangle y_{j}$, $\forall x \in \Pi_i \ [x_{i-1},x_i]$
$F(x) = \underset{c}{\overset{d}{\int}} f(x,y) d y$
$m_i = \underset{x \in \Pi_i}{\inf} F(x) , M_i = \underset{x \in \Pi_i}{\sup} F(x)$
$\Rightarrow \underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} m_{ij} \vartriangle y_{j} \leq m_i \leq M_i \leq \underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} M_{ij} \vartriangle y_{j} , \forall i = 1..n$

$\underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} \vartriangle x_i m_{ij} \vartriangle y_{j} \leq \vartriangle x_i m_i \leq \vartriangle x_i M_i \leq \underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} M_{ij} \vartriangle x_i \vartriangle y_{j} , \forall i = 1..n$

$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} \underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} \vartriangle x_i m_{ij} \vartriangle y_{j} \leq \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} \vartriangle x_i m_i \leq \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} \vartriangle x_i M_i \leq$$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} \underset{j=1}{\overset{m}{\sum}} M_{ij} \vartriangle x_i \vartriangle y_{j} , \forall i = 1..n$

$\Theta = \{ \Pi_{ij} \} , i= 1..n, j = 1..m$

$\Rightarrow s_{\Theta}{F,\Pi} \leq s_{\tau} (F,[a,b]) \leq S_{\tau} (F,[a,b]) S_{\Theta} (F,\Pi)$
$0 \leq \underbrace{ S_\tau(F) - s_{\tau}(F)}_{ \delta_\tau \to 0} \leq \underbrace{ S_\Theta(f) - s_{\Theta}(f) , \delta_{\Theta}}_{\sigma_\Theta \to 0} = \underset{i,j}{max} (d(\Pi _{i,j}))$
$\sigma_\tau = \underset{i}{ \max} \vartriangle x_i, \sigma_\Theta \geq \sigma_\tau > 0$
Следователно
$F(x)$ е интегруема вурху $[a,b]$.
$\underset{\delta_\Theta \to 0}{\lim} S_{\Theta}(f) = \underset{\delta_\tau \to 0}{\lim} S_{\tau}(F)$, т.е.
$\underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy = \underset{a}{\overset{b}{\int}} F(x) dx = \underset{a}{\overset{b}{\int}} [\underset{c}{\overset{d}{\int}} f(x,y) dy] dx$

Следствие 1

Нека
1. $f(x,y)$ - ингеруема(огр.) върху $\Pi = [a,b]\times[c,d]$
2. $\forall x \in [a,b] : \exists \underset{c}{\overset{d}{\int}} f(x,y) dy$
3. $\forall y \in [c,d] : \exists \underset{a}{\overset{b}{\int}} f(x,y) dx$
$\Rightarrow \underset{\Pi}{\int\int} f(x,y) dx dy = \underset{c}{\overset{d}{\int}} [\underset{a}{\overset{b}{\int}} f(x,y) dy] dx = \underset{a}{\overset{b}{\int}} [\underset{c}{\overset{d}{\int}} f(x,y) dx] dy$

Следствие 2

Ако $f(x,y)$ е непрекъсната върху $\Pi \Rightarrow$ пак е изпълнено това от предното следствие.

Дефиниция : криволинеен трапец

Ако $\varphi,\psi$ - непрекъснати върху $[a,b]$
Криволинеен трапец е
$G = \{ (x,y) : a \leq x \leq b, \varphi(x) \leq y \leq \psi(x) \}$

Теорема

Нека $f(x,y)$ е интегруема върху крив. тр. $G$. $\forall x \in [a,b] : \underset{\varphi(x)}{\overset{\psi(x)}{\int}} f(x,y) dy$ е итегруема
$\Rightarrow \underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy = \underset{a}{\overset{b}{\int}} [\underset{\varphi(x)}{\overset{\psi(x)}{\int}} f(x,y) dy] dx$

Доказателство:
$C = \underset{x \in [a,b]}{\min} \varphi (x) , d = \underset{x \in [a,b]}{\max}\psi (x) , \Pi = [a,b]\times[c,d]$
$G \subset \Pi$.
$F(x,y) = \begin{cases} f(x,y) , (x,y) \in G \\ 0, (x,y) \in \Pi \setminus G \end{cases}$

$\Rightarrow F(x,y)$ - интегруема върху $\Pi$
$\forall x \in [a,b] \Rightarrow \exists \underset{c}{\overset{d}{\int}} F(x,y) dx dy$
$\underset{c}{\overset{d}{\int}} F(x,y) dy = \underset{a}{\overset{\varphi(x)}{\int}} F(x,y) d y + \underset{\varphi(x)}{\overset{\psi(x)}{\int}} F(x,y) d y + \underset{\psi(x)}{\overset{d}{\int}} F(x,y) d y$$= 0 + \underset{\varphi(x)}{\overset{\psi(x)}{\int}} f(x,y) d y + 0$
От предната Т.
$\Rightarrow \underset{\Pi}{\int\int} F(x,y) dx dy = \underset{a}{\overset{b}\int}dx \underset{c}{\overset{d}\int} F(x,y) dy =$
$= \underset{a}{\overset{b}\int}dx \underset{\varphi(x)}{\overset{\psi(x)}\int} f(x,y) dy (1)$
$\underset{\Pi}{\int\int} F(x,y) dx dy = \underset{G}{\int\int} F(x,y) dx dy + \underset{\Pi \setminus G }{\int\int} F(x,y) dx dy =$
$= \underset{G}{\int\int} F(x,y) dx dy + 0 (2)$
$(1) \Rightarrow (2)$

Теорема : смяна на променливата

Нека
$F: \begin{array}{|ccc} x = x(u, v) \\ y = y(u,v) \end{array}$
$x,y$ - дефинирани върху затворена област $\bar{G}$
и $F : \bar{G} \to G'$, където $(G' \subset \mathbb{R}^2)$
$(u, v) \in G' \overset{F}{\to} (x(u,v),y(u,v))$
$F - биекция$
1. $\exists \dfrac{\partial x}{\partial u}, \dfrac{\partial x}{\partial v}, \dfrac{\partial y}{\partial u}, \dfrac{\partial y}{\partial v}$ - ограничени върху $\bar{G}$ и равномерно непрек.

2. $|J| = | \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} | \geq \alpha > 0$ върху $\bar{G}$

Ако $f(x,y)$ е непрекъсната върху $G'$ (т.е. е интегруема)
$\Rightarrow \underset{G'}{\int\int} f(x,y) dx dy = \underset{\bar{G}}{\int\int} f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv$

Дефиниция : Якобиан

$J = J(u,v) = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$ - Якобиан на изображението $F$

Пример:
за сега няма.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License