Тема 22

22. Двукратен интеграл - определение и свойства


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Двукратен интеграл, иначе казано вместо лица ще измерваме обеми.

Дефиниция : разбиване

Нека $G$ е измеримо множество в равнината $G \subset \mathbb{R}^2$. Съвкупността $\Tau = \{ G_i\}_{i=1}^{n}$ :
$1. G_i \subset G , G_i$ - измрима $\forall i = 1..n$
$2. int \ G_i \cap \ int \ G_j = \varnothing , i \neq j$
$3. \underset{n}{\underset{i=1}{\cup}} G_i = G$
се наричка разбиване на $G$

Дефиниция : диаметър

Ако $F \subset \mathbb{R}^2$, то диаметър на $F$ се нарича числото $d(F) = \underset{M,N \in F}{\sup} \rho (M,N)$

Дефиниция : големина на разбиването

$\tau : \delta_\tau = \underset{1 \leq i \leq n}{\max} d(G_i)$

Дефиниция : Риманува сума(двукратна)

Нека $f(x,y)$ е деф. върху измеримо множество. $G$ и $\tau = \{ G_i \}_{i=1}^{n}$ - разбиване на $G , \forall i = 1,..,n$.
$C_i (x_i,y_i) \in G_i, \xi = \{C_i\}_{i=1}^{n}$. Сумата
$\boldsymbol{\sigma}_{\tau}(f,\xi,G) = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} f(c_i).m(G_i) = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} f(x_i,y_i).m(G_i)$,
където $m(G_i)$ е мярката(лицето) на $G_i$, се наричка Риманова сума на $f(x,y)$ отговаряща на разбиването $\tau$ и набор от $\xi$

Дефиниция : двукратен интеграл

Нека $f(x,y)$ е дефинирана върху изм. мн. $G$. $f(x,y)$ е интегруема върху $G$, ако
$\exists I, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0 : \forall \tau = {}_{i=1}^{n}, \delta_{\tau} < \delta, \forall \xi = \{C_i\}_{i=1}^{n}$$, c_i \in G_i (\forall i = 1..n) \Rightarrow$
$|I-\boldsymbol{\sigma}_\tau(f;\xi;G)| < \varepsilon$ числото $I$ наричаме двукратен интеграл от $f(x,y)$ върху $G$ :
$I = \underset{G}{\int \int} f(x,y) dxdy = \underset{G}{\int} f(M) d M , M(x,y)$

Дефиниция : Суми на Дарбу(двукратни)

Нека $f(x,y)$ е ограничена върху измеримо множество $G$ и $\tau = \{ G_i \}_{ i = 1}^{n}$ - разбиване на $G$. Определяме $\forall i = 1..n :$
$m_i = \underset{(x,y) \in G_i}{\inf} f(x,y) , M_i = \underset{(x,y) \in G_i}{\sup} f(x,y)$

$s_{\tau} \overset{n}{\underset{i = 1}{\sum}} m_i m(G_i)$ - малка сума на Дарбу
$S_{\tau} \overset{n}{\underset{i = 1}{\sum}} M_i m(G_i)$ - ГОЛЯМА сума на Дарбу

Теорема : Критерий за интегруемост

Нека $f(x,y)$ е дефинирана върху измеримо множество $G$. $f(x,y)$ - интегруема върху $G \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \sigma = \sigma(\varepsilon) > 0 : \forall \tau = \{ G_i \}_{i=1}^{n}, \sigma_\tau < \sigma \Rightarrow S_\tau - s_\tau < \varepsilon$

(Доказателството е аналогично на случая с една променлива)

Теорема : достатъчно условие за интегруемост

Нека $f(x,y)$ е непрекъсната върху имеримо, компактно множество $G \Rightarrow f(x,y)$ е интегруема върху $G$

Доказателство:
$\forall \varepsilon > 0$ - фиксираме го. Нека $\varepsilon = \frac{\varepsilon}{m(G)}$. Тъй като $f(x,y)$ е непрекъсната върху компактното множество $G$, тогава $f(x,y)$ е равномерно непрекъсната върху $G$, т.е.
$\exists \sigma = \sigma(\varepsilon) > 0 : \forall (x',y'), (x'',y'') \in G, \rho((x',y'),(x'',y'')) < \sigma$
$\Rightarrow |f(x'',y'')-f(x',y')| < \frac{\varepsilon}{m(G)}$
$\tau = \{ G_i \}_{i = 1}^{n} : \sigma_\tau < \sigma (\forall G_i$ - затворено, компактно $)$
$S_\tau - s_\tau = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} M_i.m(G_i) - \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} m_i.m(G_i) = (*)$
Тъй като $m_i = \underset{(x,y) \in G_i}{\inf} f(x,y) = f(x_i',y_i') , (x_i',y_i') \in G_i$ и
$M_i = \underset{(x,y) \in G_i}{\sup} f(x,y) = f(x_i'',y_i'') , (x_i'',y_i'') \in G_i$
$\Rightarrow (*) = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}(M_i-m_i)m(G_i) = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} (f(x_i'',y_i'')-f(x_i',y_i'))m(G_i)$
$(x_i',y_i') и (x_i'',y_i'') \in G_i \Rightarrow \rho((x_i',y_i'),(x_i'',y_i'')) \leq d(G_i) \leq \sigma_tau < \sigma$
$\Rightarrow (*) < \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} \frac{\varepsilon}{m(G)}.m(G_i) = \frac{\varepsilon}{m(G)} \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} m(G_i) = \frac{\varepsilon}{m(G)}.m(G) = \varepsilon \Rightarrow$ по крит. за интегруемост $f$ е интегруема въргу $G$

Свойства

Нека имаме $G$ измерима и $f,g,h$ ингеруеми върху $G$
1. $\underset{G}{\int\int} 1 dx dy = m(G)$
Доказателство:
$\tau = \{G_i\}_{i=1}^{n}$ - разбиване на $G$ и $\xi = {\xi_i}_{i=1}^{n} , \xi \in G_i$
$\boldsymbol{\sigma}_\tau(1,\xi) = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} 1 m(G_i) = m(G)$
Сега смятаме интеграла(тъй като интегралът е граница на сума, а не просто сума)
$\underset{\delta_\tau \to 0}{\lim} \boldsymbol{\sigma}_{\tau} = \underset{\delta_\tau \to 0}{\lim} m(G) = m(G)$

1'. Ако $m(G) = 0 \Rightarrow \underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy = 0$

2. $f(x,y) \geq 0$ върху $G \Rightarrow \underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy \geq 0$
Доказателство:
$\xi_i \in G_i, xi_i = (x_i,y_i)$
$\boldsymbol{\sigma}(f,\xi) = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} \underbrace{f(\xi_i)}_{ > 0} \underbrace{m(G_i)}_{ > 0} \geq 0$
$\Rightarrow \underset{\delta_\tau \to 0}{\lim} \boldsymbol{\sigma}(f,\xi) \geq 0$

3. $\underset{G}{\int\int} [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = \underset{G}{\int\int} g(x,y)dxdy + \underset{G}{\int\int} f(x,y)dxdy$

Доказателство:

$\boldsymbol{\sigma_\tau} (f+g,\xi) = \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} [f(\xi_i)+g(\xi_i)]m(G_i) =$
$= \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} f(\xi_i)m(G_i)+ \overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} g(\xi_i)m(G_i) = \boldsymbol{\sigma_\tau} (g,\xi) + \boldsymbol{\sigma_\tau} (f,\xi)$
$\Rightarrow \underset{\delta_\tau \to 0}{\lim} \boldsymbol{\sigma}(f+g,\xi) = \underset{\delta_\tau \to 0}{\lim} [ \boldsymbol{\sigma}(f,\xi) + \boldsymbol{\sigma}(g,\xi)] = \underset{\delta_\tau \to 0}{\lim} \boldsymbol{\sigma}(f,\xi) + \underset{\delta_\tau \to 0}{\lim} \boldsymbol{\sigma}(g,\xi)$$= \underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy + \underset{G}{\int\int} g(x,y) dx dy$
Следователно съществува интегралът и е точно толкова.

4. $\underset{G}{\int\int} \lambda f(x,y) dxdy = \lambda \underset{G}{\int\int} f(x,y)dxdy$
Доказва се с горното свойсво.

5. Нека $G$ е разбира : $G = \underset{i=1}{\overset{n}{\cup}} G_i, int \ G_i \cap \ int G_j = \varnothing (i \neq j) \Rightarrow$
$\underset{G}{\int\int} f(x,y) dxdy = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} \underset{G_i}{\int\int} f(x,y) dxdy$

6. Ако $f(x,y)$ - интегр. върху $G \Rightarrow |f(x,y)|$ е интегрувама върху $G$ и $|\underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy| \leq \underset{G}{\int\int} |f(x,y)| dx dy$

7. (Теорема за средните стойности) Нека $f(x,y)$ е непрекъсната върху свързаното компактно имеримо множество $G$. Тогава $\exists$ т. $\xi(x_0,y_0) \in G$
$\underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy = f(x_0,y_0)m(G)$
$f(x_0,y_0) = \frac{1}{m(G)} \underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy$

Доказателство:
Ако $m(G) = 0 \Rightarrow \forall OK$
Нека $m(G) > 0$. Тъй като $f(x,y)$ е непрекъсната върху компакно множество $G$, то $\exists (x_1,y_1)$ и $(x_,y_2) \in G : \forall (x,y) \in G \Rightarrow m = f(x_1,y_1) \leq f(x,y) \leq f(x_2,y_2)$. От свойство $\boldsymbol{2} \Rightarrow$
$\underset{G}{\int\int} m dx dy \leq \underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy \leq \underset{G}{\int\int} M dx dy \Rightarrow$
Сега делим неравенстовот на $m(G)$ и получаваме
$m \leq \frac{1}{m(G)} \underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy \leq M \Rightarrow \exists (x_0,y_0) \in G :$
$f(x_0,y_0) = \frac{1}{m(G)} \underset{G}{\int\int} f(x,y) dx dy$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License