Частни производни, диференцируемост, пълен диференциал. Достатъчно условие за диференцируемост. Частни производни от по-висок ред, равенство на смесените произведения.
страницата се нуждае от дописване/преглеждане
В тази точка ще разгледаме как стои въпросът с диференцирането на функция на 2 променливи. Тъй като вече знаем как стои въпросът с диференциране на функция на 1 променлива, ще изкажем една теорема която прави връзката между двете (т.нар. критерий за диференцируемост).
Ще започнем с дефиниции за частни производни по някоя от променливите (в случая - x, y).
Частна производна
Дефиниция:
(1)
\begin{array} {l} \mbox{Let } f(x, y) \mbox{ de{}fined in } B_\Delta (x_0, y_0)\\ {}\vspace{5 mm}\\ \mbox{1. }\dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} = \underset{x \to x_0}\lim \dfrac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0} = \underset{\Delta x \to 0}\lim \dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} \end{array}
наричаме първа частна производна на f във точка (x_0, y_0) по променливата x.
(2)
\begin{array} \mbox{2. }\dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} = \underset{y \to y_0}\lim \dfrac{f(x_0, y) - f(x_0, y_0)}{y - y_0} = \underset{\Delta y \to 0}\lim \dfrac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} \end{array}
наричаме първа частна производна на $f$ във точка $(x_0, y_0)$ по променливата y.
Още 2 алтернативни начина на записване:
$\dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} = f_x'(x_0, y_0) = (f(x_0, y_0))_x'$
Общо взето частна производна е просто производната на функцията, като останалите променливи считаме за параметри - т.е разглеждаме функцията на няколко променливи като функция на една променлива и една (или повече) константи/параметри.
Диференцируемост
Дефиниция:
(3)
\begin{array} {l} f(x, y) \mbox{ differentiable in } (x_0, y_0) \mbox{ iff }:\\ \exists \mathrm A, \mathrm B \in \mathbb R:\\ {}\vspace{3 mm}\\ \Delta f = f(x, y) - f(x_0, y_0) =\\ = \mathrm A (x - x_0) + \mathrm B (y - y_0) + \alpha_1(x-x_0, y-y_0) (x - x_0) + \alpha_2(x-x_0, y-y_0) (y - y_0)\\ \mbox{where } \underset{(x, y) \to (x_0, y_0)}\lim\alpha_i(x - x_0, y - y_0) = 0\quad i = 1,2\\ {}\vspace{3 mm}\\ \mbox{Or alternatively (with delta):}\\ \Delta f = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) =\\ = \mathrm A \Delta x + \mathrm B \Delta y + \alpha_1(\Delta x, \Delta y) \Delta x + \alpha_2(\Delta x, \Delta y) \Delta y\\ \mbox{where } \underset{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)}\lim\alpha_i(\Delta x, \Delta y) = 0\quad i = 1, 2\\ \end{array}
Дефиницията е сложна - но нейната цел(поне) е обозрима. Една функция е диференцируема в точка, ако съществува допирателна към графиката на функцията в тази точка. Както се сещате графиката на функция на 2 променливи е някаква повърхнина (някакъв сбръчкан килим в добрия случай), и диференциала дава точно параметрите на тази равнина - A е коефициента на наклона на права от равнината по направление x, докато B е по y.
Т.е това е разширено с 1 измерение понятието за допирателна (която в 1D варианта беше просто допирателна права).
Диференциал
Дефиниция:
Ако една функция е диференцируема в точка, то нейният диференциал в тази точка е просто първата част от равенството (от дефиницията за диференциал):
$d f(x_0, y_0) = \mathrm A (x - x_0) + \mathrm B (y - y_0)$
Както сами виждате - бележи се като диференциал във линейния случай (с малко d отпред).
Връзка между производна и диференциал
Следната теорема дава връзка между частните производни на функция и нейният диференциал (по-точно A и B)
Теорема:
(4)
\begin{array} {l} \mbox{Let }f(x, y) \mbox{ de{}fined over } B_\delta(x_0, y_0) \mbox { and differentiable in } (x_0, y_0) \Longrightarrow\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. } f(x, y) \mbox{ continuous in } (x_0, y_0)\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2. } \exists \dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x},\ \dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} \mbox{ and }\\ {}\hspace{10 mm} \mathrm A = \dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x},\ {} \mathrm B = \dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} \end{array}
Доказателство:
Ще използваме дефиницията за диференцируемост и непрекъснатост в първата част (макар че на око се вижда, че пред всеки коефициент има някакво делта, което клони към 0, така че и делта f също ще клони към 0 :))
(5)
\begin{array} {l} f(x, y) \mbox{ differentiable in } (x_0, y_0) \Longrightarrow\\ \Delta f = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) =\\ = \mathrm A \Delta x + \mathrm B \Delta y + \alpha_1(\Delta x, \Delta y) \Delta x + \alpha_2(\Delta x, \Delta y) \Delta y\\ {}\vspace{3 mm}\\ f(x, y) \mbox{ connected in } (x_0, y_0) \overset{\mbox{de{}f.}}\iff \underset{(\Delta x, \Delta y)\\ \to (0, 0)}\lim \Delta f = 0\\ \begin{array}{rcl} \underset{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)}\lim \Delta f & = & \underset{(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)}\lim \Big(\mathrm A\Delta x + \mathrm B\Delta y + \alpha_1(\Delta x, \Delta y)\Delta x + \alpha_2(\Delta x, \Delta y)\Delta y\Big)\\ & = & \mathrm A \lim \Delta x + \mathrm B \lim \Delta y + \lim \alpha_1(\Delta x, \Delta y) \lim \Delta x + \lim \alpha_2(\Delta x, \Delta y) \lim \Delta y\\ & = & A . 0 + B . 0 + 0 . 0 + 0 . 0\\ & = & 0\\ \end{array} \end{array}
И така получихме, че функцията е непрекъсната в точка $(x_0, y_0)$.
Пропуснал съм да доопиша лимесита на втория ред, защото формулата става изключително сложна (те са същите като на горния ред - а именно, делтите клонят към 0).
За втората част - ще използваме дефинициите на диференцируемост и частна производна (какво друго остава ….)
(6)
\begin{array} \dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} \overset{\mbox{de{}f.}}= \underset{\Delta x \to 0}\lim \dfrac{ f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0) }{\Delta x} =\ (\star) \end{array}
Ключовото в случая е, че числителя всъщност е Δf от дефиницията за интегруемост, като Δy = 0. (Погледнете дефиницията за интегруемост и заместете Δy = 0 и ще видите че се получава точно числителя). Понеже функцията е диференцируема в (x_0, y_0) ще разпишем числителя (след като се уверихме че е точно Δf) и разбира се ще пропуснем членовете със Δy, защото те се нулират.
(7)
\begin{array} {l} f(x) \mbox{ differentiable in } (x_0, y_0) \Longrightarrow\\ f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0) = \mathrm A \Delta x + \alpha_1(\Delta x, 0) \Delta x\\ (\star)\ = \underset{\Delta x \to 0}\lim \dfrac{ \mathrm A \Delta x + \alpha_1(\Delta x, 0) \Delta x }{\Delta x}\\ = \mathrm A + \underset{\Delta x \to 0}\lim \alpha_1(\Delta x, 0)\\ = \mathrm A + 0\\ = \mathrm A \end{array}
Просто разписахме определението и се получи :). За B е съвсем аналогично.
Важно е да се осъзнае, че диференцируемостта е нещо по силно от частични производни. Възможно е една функция да има частични производни в дадена точка, но да не е диференцируема в нея. Сега ще покажем една много важна теорема, която ни помага чрез частични производни да получим диференцируемост (но както ще видите не е съвсем тривиално).
Достатъчно условие за диференцируемост
Теорема
(8)
\begin{array} {l} \mbox{Let } f(x, y) \mbox{ de{}fined over } B_\delta (x_0, y_0) \mbox{ and }\\ \forall (x, y) \in B_\delta (x_0, y_0)\\ {}\hspace{5 mm}\exists\ \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial x},\ {} \dfrac{\partial f(x, y)}{\partial y} \end{array}
и частните производни са непрекъснати в точка $(x_0, y_0)$.
Доказателство:
Идеята е да докажем, че съществуват числа A, B и функции α_1, α_2, които удовлетворяват дефиницията. Ще разпишем разликата Δf, ще вмъкнем един междинен член и нещата ще се получат. Вмъкването на междинния член най-добре се обяснява ако си мислим, че за да стигнем от (x, y) до (x_0, y_0) /* делта f*/ първо минаваме през (x, 0) - т.е първо по y 'вървим', после по x. Логично е да разложим разликата на компоненти по x и y, след като знаем че частните производни съществуват за всяко (x, y) от дадената околност.
На лекции сме го правили със теорема на Лагранж, но мисля че може да се мине и без нея (като евентуално стане по-просто).
(9)
\begin{array} {l} \Delta f &=& f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\\ &=& f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0 + \Delta x, y_0) + f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)\\ &=& \Delta y \dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0 + \Delta x, y_0)}{\Delta y} + \Delta x \dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} =\ (\star)\\ \end{array}
Сега е момента да използваме частните производни.
Ако се вгледаме внимателно в първия член ще видим че това е частна производна по y в точка (x_0 + Δx, y_0) (или поне израза, който стои под лимес Δy -> 0). Втория член пък е частична производна по x в точка (x_0, y_0). В такъв случай може да напишем:
(10)
\begin{array} {l} \underset{\Delta y \to 0}\lim \dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0 + \Delta x, y_0)}{\Delta y} = \mathrm B\\ \Longrightarrow \underset{\Delta y \to 0}\lim \Big(\dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0 + \Delta x, y_0)}{\Delta y} - \mathrm B\Big) = 0\\ {}\vspace{2 mm}\\ \underset{\Delta x \to 0}\lim \dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} = \mathrm A\\ \Longrightarrow \underset{\Delta x \to 0}\lim \Big(\dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} - \mathrm A\Big) = 0\\ \end{array}
Сега остава да заменим всяка дроб D със X + (D - X) където X е A/B:
(11)
\begin{array} {l} (\star)\ = \Delta y\ \Bigg(\mathrm B + \Big(\dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0 + \Delta x, y_0)}{\Delta y} - \mathrm B\Big)\Bigg)\\ + \Delta x\ \Bigg(\mathrm A + \Big(\dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} - \mathrm A\Big)\Bigg)\\ = \mathrm A\Delta x + \mathrm B\Delta y + \Big(\dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} - \mathrm A\Big)\Delta x\\ + \Big(\dfrac{f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0 + \Delta x, y_0)}{\Delta y} - \mathrm B\Big)\Delta y\\ \overset{\mbox{de{}f.}}\Longrightarrow f(x, y) \mbox{ differentiable in } (x_0, y_0) \end{array}
И сме готови :) Получихме израза от дефиницията за интегруемост. 2те грозни неща (който стоят на мястото на α_1, α_2) клонят към 0 при (Δx, Δy) —> (0, 0). Следотвателно всичко е наред :)
Шантава теорема
Следва една малко шантава теорема:
Теорема:
(12)
\begin{array} {l} \mbox{Let } z = f(x, y) \mbox{ defined over } B_\Delta (x_0, y_0) \mbox{ and differentiable in } (x_0, y_0)\\ \mbox{Let } x = x(t), y = y(t) \mbox{ defined over } (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \mbox{ and differentiable in } t_0\\ \mbox{ and } \forall t \in (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \longrightarrow (x(t), y(t)) \in B_\Delta (x_0, y_0)\\ \Longrightarrow z(t) = f(x(t), y(t)) \mbox{ differentiable in } t_0 \mbox{ and}\\ dz(t_0) = \dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x}.\dfrac{dx(t_0)}{dt} +\dfrac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y}.\dfrac{dy(t_0)}{dt}\\ \end{array}
Следва и варианта със заместване на функция с 2 променливи:
(13)
\begin{array} \mbox{Let } \\ x = x(u,v)\\ y = y(u,v)\\ \mbox{ and } z(u,v) = f(x(u,v), y(u,v))\\ {}\vspace{3 mm}\\ \Longrightarrow \dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial x}.\dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial f}{\partial y}.\dfrac{\partial y}{\partial u}\\ \dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{\partial f}{\partial x}.\dfrac{\partial x}{\partial v} +\dfrac{\partial f}{\partial y}.\dfrac{\partial y}{\partial v}\\ \end{array}
Не знам как може да се обясни това нещо по човешки …
Производни от по висок ред
Дефиниция:
На всяка частна производна можем да намираме нейната производна… и така нататък. За сега се интересуваме само от повторно прилагане (т.е втора производна). Има 4 различни 2ри производни, заради 2те променливи по който можем да диференцираме вече 2те първи производни
(14)
\begin{array} {l} \dfrac{\partial (\frac{\partial f}{\partial x})}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}\\ \dfrac{\partial (\frac{\partial f}{\partial y})}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}\\ \begin{matrix} \dfrac{\partial (\frac{\partial f}{\partial y})}{\partial x} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\\ \dfrac{\partial (\frac{\partial f}{\partial x})}{\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\\ \end{matrix}\mbox{ smeseni proizvodni} \end{array}
Равенство на смесените производни
Теорема:
(15)
\begin{array} {l} \mbox{Let } f(x, y) \mbox{ de{}fined over } B_\delta (x_0, y_0) \mbox{ and }\\ \exists\quad \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\\ \mbox{and } \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \mbox{ continuous in } (x_0, y_0) \Longrightarrow\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \end{array}
Или - ако има смесени производни и те са непрекъснати в $(x_0, y_0)$, то те са равни (в общия случай не е вярно).
