Тема 19

19. Функция на две независими променливи величини - граници и непрекъснатост


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Няколко дефиниции

$\mathbb{R}^2 = \{(x,y) : x,y \in \mathbb{R} \}$
$\mathbb{R}^n = \{(x_1,..,x_n) : x_i \in \mathbb{R}, i = 1..n \}$

От тук до края на темата ще считаме, че $\mathbb{X} \subset \mathbb{R}^2$

Дефиниция

Функция определена върху $\mathbb{X}$, наричаме правило, кето на всяка $\forall (x,y) \in \mathbb{X} \underset{unique}{\overset{f}{\longrightarrow}} z$, където $z \in \mathbb{R}$

$z = f(x,y)$ - функция на две независими променливи величини
$z = f(x_1,x_2,...,x_n)$ - функция на $n$ независими променливи величини, (в случая $f$ е определена над $\mathbb{X} \subset \mathbb{R}^n$)

Дефиниция

Метрика $\rho$ дефинирана върху $\mathbb{X}$ разбираме
$\rho : \mathbb{X} \times \mathbb{X} \longrightarrow \mathbb{R}$, където
$\mathbb{X} \times \mathbb{X} = \mathbb{X}^2 = \{(x,y) : x,y \in \mathbb{X} \}$
удовлетворяващо
$1. \ \forall (x,y) \Rightarrow \rho(x,y) > 0$
$2. \ \rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
$3. \ \rho(x,y) = \rho(y,x)$
$4. \ \rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y), \forall z \in \mathbb{X}$

Пример:

$\mathbb{X} = \mathbb{R}$
$\rho : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
$\forall x,y \in \mathbb{R} : \rho(x,y) = |x-y|$

Друг пример:
Трети пример:
$\mathbb{X} = \mathbb{R}^2$
….
Ако остане време ще ги напиша

Дефиниция

$(\mathbb{X}, \rho)$ - метрично пространство
$x_1,...,x_n,....$ има граница $a \in \mathbb{X}$, ако $\underset{n \to \infty}{\lim} \rho(x_n,a) = 0$
записано по друг начин
$\underset{n \to \infty}{\lim} x_n = a$ или $x_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} a$ или $x_n \to a$

Дефиниция

$\{ x_n \}_{n= 1} ^{\infty}$ от $\mathbb{X}$ се нарича ограничена, ако $\exists a \in \mathbb{X}, \exists M > 0: \forall n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \rho(x_n,a) \leq M$

Теорема

Ако редицата $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ има граница $a \in \mathbb{X}$, то тази граница е единствена

Доказателство:
Допускаме, че $b = \underset{ n \to \infty}{\lim} x_n \Rightarrow 0 \leq \rho(a,b) \leq \rho (a,x_n) + \rho(x_n,b)$ където $n \to \infty$ и $\rho(a,x_n) \to 0, \rho(x_n,b) \to 0$ тогава
$\rho(a,b) \to 0 \Rightarrow a = b$

Теорема

Ако редицата $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ - сходяща, то тя е ограничена.

Доказателство:
$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ - сходяща, следователно $\exists a \in \mathbb{X} : \underset{n \to \infty}{\lim} x_n= a \Rightarrow \underset{n \to \infty}{\lim} \rho (x_n,a) = 0 \Rightarrow \{\rho(x_n,a)\}_1^{\infty}$ е ограничена, т.е. $\exists M > 0 : \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \rho(x_n,a) \leq M$

Дефиниция

Нека $(\mathbb{X}, \rho)$ - метрично пространство и $a \in \mathbb{X}$.
$\delta$ - околност на т. $a$ се нарича мно $B_{\delta}(a) = \{ x \in \mathbb{X} : \rho(x,a) < \delta\}$
това е отворено кълбо(кръг в двумерния вариант)

Пример:

$\rho(\mu,N) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_1+y_2)^2}$
Сега си представяме една точка $A$ с координати $(a_1,a_2)$
и $B_{\sigma}(A)= \{\mu(x,y) : \rho(\mu,A) = \sqrt{(x-a_1^2)+(y-a_2)^2} < \sigma \}$
$S_{\sigma}(A) = \{\mu : \rho(\mu,A)= \sigma \}$

Теорема

$\underset{n \to \infty}{\lim} x_n = a \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Leftrightarrow \rho(x_n,a) < \varepsilon$
последното може да се запише и така $x_n \in B_{\varepsilon}(a)$

Теорема

Нека
$\{M_n(x_n,y_n)\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathbb{R}^2$
$\underset{n \to \infty}{\lim} M_n = M_0 (x_0,y_0) \Leftrightarrow\begin{array}{|ccccccccc} x_1,....,x_n,... \to x_0 \\ y_1,...,y_n,... \to y_0 \end{array}$

Доказателство:
$\Rightarrow$
Нека $\underset{n \to \infty}{\lim} M_n = M_0 \Leftrightarrow \rho(M_n,M_0) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$
Тогава $\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$
След това имаме
$0 \leq |x_n-x_0| = \sqrt{(x_n-x_0)^2} \leq \sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2}$, където $\sqrt{(x_n-x_0)^2+(y_n-y_0)^2} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$

Следователно $\sqrt{(x_n-x_0)^2} \underset{(n \to \infty)}{\longrightarrow} 0$ следователно $x_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} x_0$ т.е. $\underset{n \to \infty}{ \lim x_n} = x_0$ или $|x_n - x_0| \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$

Аналогично $\underset{n \to \infty}{\lim} y_n = y_0$

Сега доказателството в другата посока
$\Leftarrow$

Нека $x_1,...,x_n,... \to x_0$ и $y_1,...,y_n,... \to y_0$
$\Longrightarrow \begin{cases} x_n - x_0 \to 0 \\ y_n - y_0 \to 0 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} (x_n - x_0)^2 \to 0 \\ (y_n - y_0)^2 \to 0 \end{cases}$
Следователно и $(x_n-x_0)^2 + (y_n-y_0)^2 \to 0$ следователно $\sqrt{(x_n-x_0)^2 + (y_n-y_0)^2} \to 0$ т.е. $\rho(M_n,M_0) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0$

Пример:
$\underset{ n \to \infty }{ \lim} (\frac{1}{n},1- \frac{1}{n^2} )$ = (0,1)

Дефиниции

Нека $\mathbb{X} \subset \mathbb{R}^2$
1. т. $M_0 \in \mathbb{X}$ - вътрешна т. на $\mathbb{X}$, ако $\exists B_{\sigma}(M_0) \subset \mathbb{X}$
2. $Int \ \mathbb{X} = \{\mu, \mu$ - вътрешна на $\mathbb{X} $\}$
3. Ако $\mathbb{X} = Int \ \mathbb{X}$, то казваме, че $\mathbb{X}$ е отворено
4. $\mathbb{X} \subset \mathbb{R}^2, \mu_0 \in \mathbb{R}^2$ т. $\mu_0$ - точка на сгъстяване на $\mathbb{X}$, ако $\forall \varepsilon > 0, B_{\varepsilon}(\mu_0) \cap (\mathbb{X}\setminus \{\mu_0\} ) \neq \varnothing$
5. Ако $\mathbb{X} \supset \{ \forall$т. на сг на $\mathbb{X} \}$, то $\mathbb{X}$ e затворено множество

Пример за затворено множество: за момента няма, трябва му картинка

Дефиниция граница на функция на две променливи

Нека $f(x,y) = f(M) = z$ е деф. върху $\mathbb{X}$ и $M_0(x_0,y_0)$ - т. сг. на $\mathbb{X}$ и "предполагаме", че $(B_{\sigma}(M_0)\setminus {M_0}) \subset \mathbb{X}$ тогава
$A = \underset{(x_0,y_0)\to(x,y)}{ \lim f(x,y)} = \underset{M \to M_0}{ \lim f(M)}$, ако е изпълнено
$\forall \varepsilon > 0, \exists \sigma > 0 : \forall M \in \mathbb{X} , M \neq M_0, \rho(M,M_0) \le \sigma \Rightarrow |A-f(M)| < \varepsilon$
т.е.
$\forall \varepsilon > 0, \exists \sigma > 0 : \forall (x,y) \in \mathbb{X}, (x,y) \neq (x_0,y_0), \rho((x,y),(x_0,y_0)) < \sigma \Rightarrow |A - f(x,y)| < \varepsilon$

Дефиниция

Нека $z = f(M) = f(x,y)$ е деф. фърху $\mathbb{X}$ и $M_0(x_0,y_0)$ - т. на сгъстяване на $\mathbb{X}$, и $Y \subset \mathbb{X}$ и $M_0$ - т. на сг. Y….асдasd
Тогава
$A = \underset{\overset{M \to M_0}{ M \in Y}}{\lim} f(M) = \underset{\overset{(x,y) \to (x_0,y_0)}{ (x,y) \in Y}}{\lim} f(M)$
ако
$\forall \varepsilon > 0, \exists \sigma > 0: \forall M \in Y, M \neq M_0, \rho(M,M_0) < \sigma \Rightarrow |A-f(M)| < \varepsilon$

Пример:
$f(x,y) = (x^2+y^2)^a , a > 0$ и $D(f) = \mathbb{R}^2$
$О(0,0)$ - точка на сг. на $\mathbb{R}$

и сега се питаме дали $\underset{(x,y) \to (0,0)}{\lim} f(x,y) = \underset{(x,y) \to (0,0)}{\lim} (x^2+y^2)^a = 0 (??)$
сега ще проверим дали това е вярно, чрез дефиницията
$\forall \varepsilon > 0, \exists \sigma = \sigma(\varepsilon) > 0, \forall (x,y) \neq (0,0) : \rho((x,y),(0,0)) < \sigma \Rightarrow$
$\Rightarrow |(x^2+y^2)^a - 0| < \varepsilon \Leftrightarrow (x^2+y^2)^a < \varepsilon$
Метриката е разстоянието между двете точки - в случая $\rho((x,y),(0,0)) = (x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}$

$\forall \varepsilon > 0$ - фиксираме си $\varepsilon$, $\exists \sigma = \sigma (\varepsilon) > 0 , \forall (x,y) \neq (0,0) :$
$(x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}} < \sigma \Longrightarrow (x^2+y^2)^a < \varepsilon$
$(x^2+y^2) < \varepsilon ^ {\frac{1}{a}}$
$(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}} < \varepsilon ^ {\frac{1}{2a}}$
$\Longrightarrow$ Ако $\sigma \leq \varepsilon^{\frac{1}{2a}} \Rightarrow$ е изп.
$\Longrightarrow \underset{(x,y) \to (0,0)}{\lim} (x^2+y^2)^a = 0$

Дефиниция: Повторна граница

Нека $z = f(x,y)$ е дефинирана върху мн. $(x_0 - \vartriangle,x_0+\vartriangle)\times(y_0-\vartriangle,y_0+\vartriangle)$

$\forall x \in (x_0 - \vartriangle,x_0+\vartriangle)$ - ако го 'фиксираме' и разгледаме границата(разбира се ако съществува тази граница)
$\underset{y \to y_0}{\lim} f(x,y) = g(x)$ и нека (за това фиксирано $x$) $\exists \underset{y \to y_0}{\lim} g(x) = A$
$\Rightarrow A$ е повторна граница на $f(x,y)$
Записваме я така
$A = \underset{x \to x_0}{\lim} g(x) = \underset{x \to x_0}{\lim}\underset{y \to y_0}{\lim} f(x,y)$
Аналогично за $y$
$B = \underset{y \to y_0}{\lim} h(y) = \underset{y \to y_0}{\lim} \underset{x \to x_0}{\lim} f(x,y)$

Теорема

Нека $f(x,y)$ - деф. в околност на т. $(x_0,y_0)$ (без евентуално самата точка $O(x_0,y_0)$). Тогава, ако $\exists \underset{(x,y)\to(x_0,y_0)}{\lim} f(x,y)$ и $\forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) : (x,y_0) \in$ околноста на $O(x_0,y_0) \Rightarrow \exists \underset{y \to y_0}{\lim} f(x,y)$
Тогава $\exists \underset{x \to x_0}{\lim}\underset{y \to y_0}{\lim} = \underset{(x,y) \to (x_0,y_0)}{\lim} f(x,y)$

Дефиниция : Пробита околност

Нека $O$ е околност на $(x_0,y_0)$, пробита околност на т. $(x_0,y_0)$ е мн. $O^{0}(x_0,y_0) = O(x_0,y_0) \backslash \{(x_0,y_0)\}$.
Свойства:
Нека $f(M), g(M), h(M)$ са дефинирани върху $O^0(M_0)$
1. Ако $\exists \underset{M \to M_0}{\lim} f(M) = A$, то $A$ е !
2. Ако $\exists \underset{M \to M_0}{\lim} f(M) \Rightarrow \exists \overline{O}^0(M_0) : f(M)$ е ограничено върху $\overline{O}^0(M_0)$
3. Ако $\exists \underset{M \to M_0}{\lim} f(M) = A > 0 (< 0) \Rightarrow \exists \overline{O}^0(M_0) : \forall M \in \overline{O}^0(M_0) \Longrightarrow f(M) > 0 (< 0)$
4. Ако $f(M) \leq g(M)$ върху $O^0(M_0)$ и $\exists \underset{M \to M_0}{\lim} f(M) = A$ и $\exists \underset{M \to M_0}{\lim} g(M) = B$ следователно $A \leq B$
5. Ако $\exists \underset{M \to M_0}{\lim} f(M) = \underset{M \to M_0}{\lim} g(M)$ и $\forall M \in O^0(M_0) : f(M) \leq h(M) \leq g(M) \Longrightarrow \underset{M \to M_0}{\lim} h(M) = A$
6-9. Ако $\exists \underset{M \to M_0}{\lim} f(M)$ и $\underset{M \to M_0}{\lim} g(M)$ тогава
$\exists \underset{M \to M_0}{\lim} [f(m) \underset{\underset{\underset{\div}{*}}{-}}{+} g(m)] = \underset{M \to M_0}{\lim} f(m) \underset{\underset{\underset{\div}{*}}{-}}{+} \underset{M \to M_0}{\lim} g(m)$

Доказателство:
1. Доп., че $B = \underset{M \to M_0}{\lim} f(M), B \neq A$ (нека $A < B$ б.о.о.) тогава
$\exists \varepsilon > 0 : (A-\varepsilon,A+\varepsilon)\cap(B-\varepsilon,B+\varepsilon) \neq \varnothing$
Тогава $\exists \varepsilon > 0, A = \underset{M \to M_0}{\lim} f(M), \exists \sigma_1 = \sigma_1(\varepsilon) > 0,$$\forall M \in B_{\sigma_1}(M_0), M \neq M_0 \Longrightarrow |f(M)-A| < \varepsilon$.
$B = \underset{M \to M_0}{\lim} f(M) \Rightarrow \exists \sigma_2 = \sigma_2(\varepsilon) > 0 ,$$\forall M \in B_{\sigma_2}(M_0), M \neq M_0 \Rightarrow |f(M)-B|<\varepsilon$

Сега си избираме $\sigma = min{\sigma_1,\sigma_2} \Rightarrow \forall M \in B_{\sigma}(M_0), M \neq M_0 \Rightarrow \begin{array}{|ccc} |F(M)-A| < \varepsilon \\ |F(M)-B| < \varepsilon \end{array}$ $M \in B_\sigma(M_0) \Rightarrow A-\varepsilon < f(M) < A+\varepsilon < B - \varepsilon < f(M) < B+\varepsilon$ - противоречие, следователно $A$ е !.

Дефиниция: непрекъснатост в точка

Нека $f(M)$ е деф. в околност $O(M_0)$. $f(M)$ е непрек. в т. $M_0$, ако $\underset{M \to M_0}{\lim} = f(M_0)$. Казано по друг начин $\forall \varepsilon > 0, \exists \sigma = \sigma(\varepsilon) > 0 : \forall M \in B_{\sigma}(M_0) \Rightarrow |f(M)-f(M_0)| < \varepsilon$.

Дефиниция: непрекъснатост над множество

Нека $f(M)$ е деф. върху $\mathbb{X}$ и $M_0 = X \setminus \ int X$ (грани..)асдasd. $f(M)$ е непрекъсната в т. $M_0$ по мн. $\mathbb{X}$ ако
$\underset{\underset{M \in X}{M \to M_0}}{\lim} f(M) = f(M_0)$

Теорема

$f(x)$ - деф. върху $X \subset \mathbb{R}, x_0 \in X$ и $f(x)$ - непрек. в т. $x_0 \Rightarrow f(x,y) = f(x) , \forall (x,y) \in \mathbb{R} ^2 : x\in X$ $( D(f) = X \times \mathbb{R})$ е непрек. за всички т. $(x_0,y), y \in \mathbb{R}$

Доказателство:
Ако $(x,\bar{y}) \to (x_0,y_0), (x,\bar{y}) \in D(f)$
$f(x,\bar{y}) = f(x) \to f(x_0) = f(x_0,y)$

Дефиниция: графика на функция на две променливи

Ако $f(x,y)$ е деф. върху $X \subset \mathbb{R}^2 \Rightarrow G_f = \{(x,y,f(x,y)) : (x,y) \in X \}$

Дефиниция:

$X \subset \mathbb{R}^2$ - огранич., ако $\exists B_{r}((0,0)) : x \subset B_r((0,0))$

Теорема

Нека $f(x,y)$ е непрек. върху огранич. и затв.(компакнто) мн. $X$. Тогава:
1. $f(x,y)$ е огранич. върху $X$, т.е. $\exists k > 0, \forall (x,y) \in X : |f(x,y)| \leq k$
2. $\exists (x_0,y_0), (x_1,y_1) \in X : \forall (x,y) \in X \Rightarrow f(x_0,y_0) \leq f(x,y) \leq f(x_1,y_1)$ т.е. $\underset{(x,y) \in X}{ \max} f(x,y) = f(x_1,y_1)$ и $\underset{(x,y) \in X}{ \min} f(x,y) = f(x_0,y_0)$

Дефиниция

Нека $f(M)$ е деф. върху $X \subset \mathbb{R}^2$. $f(M)$ - равномерно непрек. върху $X$, ако
$\forall \varepsilon > 0 , \exists \sigma = \sigma(\varepsilon) : \forall M',M'' \in X, \rho(M',M'') < \sigma \Rightarrow |f(M')-f(M'')| < \varepsilon$

Теорема

Ако $f(x,y)$ - непрек. върху комп. мн. $X$, то $f(x,y)$ е равномерно непрекъсната върху $X$.
(Доказателствата са аналогични на тези от анализ 1. На изпита няма да се изискват.)

Дефиниция : крива линия

Мн.
$l : \begin{array}{|ccc} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{array}$
$\varphi(t)$ и $\psi(t)$ - непрек. функции върху $[a,b]$.
Се наричка крива линия в $\mathbb{R}^2$, с краища $A = (\varphi(a),\psi(a)), B = (\varphi(b),\psi(b))$

Дефиниция : свързано множество

Нека $X \subset \mathbb{R}^2 : \forall A,B \in X , \exists l$ - кр. линия : т. $A,B$ - краиюа на $l, l \subset X$. Тогава $X$ се натича свързано множество.

Дефиниция :

Ако $X \subset \mathbb{R}^2$ е свързано и отворено(затворено), то е област(затворена област).

Теорема

Ако $f(x,y)$ е непрек. върху $X$ и $\exists A,B \in X : f(A).f(B) < 0 \Rightarrow \exists C \in X : f(C) = 0$

Доказателство:
Т.к. $X$ е област $\Rightarrow \exists$ кр. линия $l$ с краищя $A$ и $B$, т.е.
$\exists \begin{array}{|ccc} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{array}$
непрекъсната върху $[a,b]$ и $A(\varphi(a),\psi(a)), B(\varphi(b),\psi(b))$.
$f(t) = f(\varphi(t),\psi(t))$ - непрекъсната върху $[a,b]$ и
$f(a) = f(\varphi(a),\psi(a)) = F(A)$
$f(b) = f(\varphi(b),\psi(b)) = F(B)$
$\Rightarrow f(b).f(a) = f(A).f(B) < 0$
$\Rightarrow \exists c \in (a,b) : f(c) = 0 \Rightarrow f(\varphi(c),\psi(c)) = 0 \iff f(c) = 0$
т. $C(\varphi(c),\psi(c))$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License