Тема 18

18. Почленно диференциране и интегриране на степенни редове. Ред на Тейлор. Разлагане на елементарни функции в ред на Тейлор.

това е черновата, несъм преглеждал нищо все още
темата е пълна с грешки

Твърдение 1 (ще го използваме по-късно)

Степенните редове $\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n x^n (1)$, $\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{a_n}{n+1} x^{n+1} (2)$ И $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n a_n x^{n-1} (3)$ имат един и същ радиус на сходимост.

Доказателство:
Нека $R, R1$ и $R2$ са радиусите на сходимост съответно на $(1),(2)$ и $(3)$.
Използваме, че $\dfrac{1}{n+1} \leq 1 \leq n$ умножаваме неравенството с $|a_n x^{n+1} |$ и получаваме
$\dfrac{|a_n x^{n+1} |}{n+1} \leq |a_n x^{n+1} | \leq |na_n x^{n+1} |$
което е равносилно на
$|\dfrac{a_n x^{n+1} }{n+1}| \overset{II}{\leq} |x| |a_n x^{n} | \overset{I}{\leq} |x^2| |na_n x^{n-1} |$

$1.) x_0 \in (-R_2,R_2) \Rightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n a_n x_0^{n-1}$ е абсолютно сходящ
тогава от $(I)$ и Принципа за сравнение следва $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} a_n x_0^{n}$ е абсолютно сходящ
$\Rightarrow x_0 \in (-R, R) \Rightarrow R1 \leq R$
И така $R_2 \leq R$

$2.) x_0 \in (-R,R) \Rightarrow \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n x_0^n$ е абсолютно сходящ $\Rightarrow$ от $II$ и признак за сравнение $\Rightarrow \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{a_n}{n+1} x_0^{n+1}$ е сходящ(абсолютно) $\Rightarrow x_0 \in (-R1,R1) \Rightarrow R \leq R1$
$\Rightarrow R_2 \leq R \leq R1$.

$3.)$ Нека $x_0 \in (-R_1,R_1) \Rightarrow \exists \rho : 0 < |x_0| < \rho < R1 \Rightarrow$
$\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \dfrac{a_n}{n+1} \rho$ - абсолютно сходящ
Разглеждаме $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} |n a_n x_0^{n-1}|$ за което $|n a_n x_0^{n-1}| = |\dfrac{a_n}{n+1}\rho^{n+1} \dfrac{n+1}{\rho^{n+1}} n x_0 ^{n-1}| = |\dfrac{a_n}{n+1}\rho^{n+1}||\dfrac{x_0^{n+1}}{\rho^{n+1}} \dfrac{n+1}{x_0^2}n| =$

$|\dfrac{a_n}{n+1}\rho^{n+1}| |\big(\dfrac{x_0}{\rho}\big)^{n+1}| \dfrac{n(n+1)}{|x_0^2|}$
$x_0 \in (-R1, R1) \Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \dfrac{a_n}{n+1} \rho^{n+1}$ - абс. сход.
$\{ \dfrac{a_n}{n+1} \rho^{n+1} \}_0^{\infty}$ е сход. следователно и ограничена, т.е. $\exists M > 0 : \forall n \geq 0 \Rightarrow (i) \leq \dfrac{M}{|x_0|^2}n(n+1)q^{n+1}, 0 < q = |\dfrac{x_0}{\rho}| < 1$
$\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \dfrac{M}{|x_0|^2}n(n+1)q^{n+1} = \dfrac{M}{|x_0|^2} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \underbrace {n(n+1)q^{n+1}}_{c_n}$
Сега разглеждаме
$\dfrac{c_{n+1}}{c_n} = \dfrac{(n+1)(n+2)q^{n+2}}{n(n+1)q^{n+1}} = (1 + \dfrac{2}{n})q \underser{ n \to \infty}{ \longrightarrow} q < 1$
$\Longrightarrow$ (Кр. Даламбер) сходяшт е $\dfrac{M}{|x_0|^2} \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} c_n$
$\Longrightarrow$ е сходящ и $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} |n a_n x_0^{n-1}| \Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n a_n x_0^{n-1}$ е сход., т.е. $x_0 \in (-R_2,R_2) \Longrightarrow R_1 \leq R_2 \Longrightarrow R_2 \leq R \leq R_1 \leq R_2 \Longrightarrow R1 = R2 = R$

Теорема

Нека ст. ред $\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n x^n$ има радиус на сходимост $R > 0$ и $f(x) = \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n x^n , \forall x \in (-R,R)$. Тогава:
1. $f(x)$ е диференцируема върху $(-R,R)$ и $f'(x) = \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n a_n x^{n-1}$ за $\forall x \in (-R,R)$
2. $f(x)$ е интегруема върху $(-R,R)$ и $\forall x \in (-R,R) : \underset{0}{ \overset{x}{\int}} f(t) dt = \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{a_n}{n+1} x^{n+1}$

(без доказателство)

Теорема

нека ст. ред $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} a_n(x-x_0)^n$ има радиус на сходимост $R > 0$ и $f(x) = \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} a_n(x-x_0)^n , \forall x \in (x_0-R,x_0+R) \Longrightarrow$
1. $f(x)$ - диф. върху $(x_0-R, x_0+R)$ и $f'(x) = \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} n a_n (x-x_0)^{n-1}$
2. $f(x)$ - интегр. върху $(x_0-R,x_0+R)$ и
$\underset{x_0}{\overset{x}{\int}} = \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{a_n}{n+1}(x-x_0) \ \ \ \forall x \in (x_0-R,x_0+R)$

Доказателство:

$f(x_0) = a_0 , f'(x_0) = a_1 , f''(x_0) = 2.1.a_2$
$f''(x) = \overset{\infty}{\underset{n=2}{\sum}} n(n-1)(x-x_0)^{n-2}a_n$

и т.н…
$f^{k}(x_0) = k! a_k \Longrightarrow a_k = \dfrac { f^k(x_0)} {k!}$

$f(x) = \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
Нека $f(x)$ е деф. върху $(x_0-h,x_0+h)$ и $\exists f^{n}(x_0) (\forall n \in \mathbb{N})$
$\Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n (1)$
и $R$- радиус на сх. на $(1), R > 0$
$\Longrightarrow \overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}} \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x) , \forall x \in (x_0 - R, x_0 +R)$

$(?) F(x) = f(x)$ върху $(x_0-R,x_0+R) \cap (x_0-h,x_0+h)$ - не винаги

Теорема

Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(x_0-h,x_0+h)$ и $\forall n \in \mathbb{N} : \exists f^{(n)}$ тогава
$\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n = f(x) \Leftrightarrow \underset{n \to \infty}{\lim} r_n(x) = 0$
$\forall x \in (x_0-h,x_0+h)$, където $r_n = f(x) - S_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)$

Теорема

Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(x_0-h,x_0+h)$ и $\forall n \in \mathbb{N} : \exists f^{(n)}$, $\forall x \in (x_0-h,x_0+h)$.
Ако $\exists \mu > 0 : \forall x \in (x_0-h,x_0+h) \Longrightarrow |f^{(n)}(x)| \leq \mu, \forall n \in \mathbb{N} \cup {0}$, тогава
$f(x) = \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$

Доказателство:
$r_n(x) = f(x) - \overset{n}{\underset{k=0}{\sum}} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, където
$c$ е между $x$ и$x_0$

$|r_n(x)| = |\dfrac{f^{n+1}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}| = \dfrac{|f^{n+1}(c)|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} \leq \dfrac{\mu}{(n+1)!}R^{n+1}$
$0 \leq |r_n(x)| \leq \mu \dfrac{n}{(n+1)!}, \forall x \in (x_0-h,x_0+h)$
и $\underset{n \to 0}{\lim} \mu \dfrac{n}{(n+1)!} = 0$ тогава $\underset{n \to \infty}{\lim} r_n(x) = 0 , \forall x \in (x_0-h,x_0+h)$
$\Longrightarrow f(x) = \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{f^{n}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$.
Когато $x = 0$ редът е ред на Маклорен.

Пример

$\sin = \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2_n+1} , \forall x \in R$
….

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License