Тема 17

Степенни редове - радиус и област на сходимост.

Нека редицата от функции $f_1(x),f_2(x), ...,f_n(x), ... (\star)$ е дефинирана върху множеството $X \subset \mathbb R$, тоест $f_n(x)$ е дефинирната върху $X$ за всяко $n \in \mathbb N$.

Дефиниция:
$(\star)$ е сходяща в т.$x_0$, ако безкрайната числова редица $f_1(x_0),f_2(x_0), ...,f_n(x_0), ...$ е сходяща.
Дефиниция:
$(\star)$ е сходяща върху $X$, ако $(\star)$ е сходяща за $\forall x \in X$
Дефиниция:
$(\star)$ е сходяща към $f(x)$ върху $X$, ако $\forall x \in X$(имаме поточкова сходимост):
$f_1(x),f_2(x), ...,f_n(x), ... \to f(x)$ тоест
$f_n(x) \overset{X}{\underset{n \to \infty} \longrightarrow} f(x)$, или записано по друг начин $\underset{n \to \infty}\lim f_n(x) = f(x) \ \forall x \in X$

Равномерна сходимст на редица от функции

Дефиниция:
$( \star )$ е равномерно сходящ към $f(x)$ върху $X$, ако $\forall \epsilon > 0, \ \exists N=N(\epsilon), \ n > N, \ \forall x \in X \Longrightarrow |f(x)-f_n(x)| < \epsilon$
записано по друг начин $f_n(x) \overset{X}{\underset{n \to \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$

Необходимо и достатъчно условие за равномерна сходимост

Твърдение:
$f_n(x) \overset{X}{\underset{n \to \infty}{\rightrightarrows}} 0\iff \underset{x \in X}{\sup}|f_n(x)| \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$
Следствие:
$f_n(x) \overset{X}{\underset{n \to \infty}{\rightrightarrows}} f(x) \iff \underset{x \in X}{\sup}|f(x) - f_n(x)| \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$

Доказателство:

Дефиниции за функционални редове

Нека $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} f_n(x)$ е дефинирана върху $X$ (тоест $\forall n \in \mathbb{N}, \ f_n(x)$ e дефинирана върху $X$)

Сходящ безкраен функционален ред

$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} f_n(x)$ е сходящ в точка $x_0$ ако е сходящ безкрайния числов ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} f_n(x_0)$. Сходящ е върху цялото множество $X$, ако е сходящ за всяка точка от него.

Сума на безкраен функционален ред

$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} f_n(x) = f(x)$ върху $X$, ако редицата $\{ S_n(x) \}$, където $S_n(x) = \underset{i=1}{\overset{n}{\sum}} f_i(x)$, е сходяща към $f(x)$ върху $X$, тоест
$\forall x \in X, \ \exists \epsilon > 0, \exists N=N(x,\epsilon) : \forall n > N \Longrightarrow |f(x) - S_n(x)| < \epsilon$

Равномерна сходимост на безкраен функционален ред

$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} f_n(x) = f(x)$ е равномерно сходящ върху $X$, ако $S_n(x) \overset{X}{\underset{n \to \infty}{\rightrightarrows}} f(x)$, тоест $\forall \epsilon>0, \ \exists N=N(\epsilon), \forall n > N, \ \forall x \in X : | f(x) - S_n(x)| < \epsilon$

Абсолютна сходимост на функционален ред

$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} f_n(x)$ е абсолютно сходим върху $X$, ако редът ${\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} |f_n(x)| }$ e сходящ върху $X$.

Критерий на Вайерщрас

Теорема:
Ако за функционалния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} f_n(x)$ имаме безкраен числов ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n$, такъв че $\forall n \in \mathbb{N} : |f_n(x)| \le a_n, \ ( \forall x \in X)$, то от сходимостта на б.ч.р. $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n$ следва че $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} f_n(x)$ е равномерно и абсолютно сходящ върху $X$
Доказателство:

Степенен ред

Дефинция:
Функционален ред от вида $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n(x-x_0)^n$, където $i=1..n, \ a_n \in \mathbb{R}, \ x_0 \in \mathbb{R}$ се нарича степенен ред.

Теорема на Абел

Теорема:
Ако степенния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_nx^n$ е сходящ в точка $x_0 \ne 0 \longrightarrow$
степенния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е сходящ $\forall x : |x|<|x_0|$
Доказателство:

Следствие 1

Ако степенния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е разходящ в точка $x_0$, следователно степенния ред е разходящ за $\forall x : |x|>|x_0|$
Доазателство:

Следствие 2

Ако степенния ред $\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ e сходящ в т. $x_0 \ne 0$ следва, че $\forall 0< \rho < |x_0|$, степенния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е абсолютно и равномерно сходящ върху $[-\rho,\rho]$
Доазателство:

Област на сходимост на степенен ред

Дефиниция:
Интервала $(-R,R)$ наричаме област(интервал) на сходимост на степенния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$, ако реда е сходим за $\forall x \in (-R,R)$

Теорема за областта на сходимост

Теорема:
За всеки степенен ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$, $\exists R \ge 0 (R=+\infty)$ такова, че

  1. $R=0 \Longrightarrow$ степенния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е сходящ само в т. $x_0 = 0$
  2. $R=+\infty \Longrightarrow$ степенния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е сходящ за $\forall x \in \mathbb{R}$
  3. $0 < R < +\infty \Longrightarrow$ степенния ред $\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е сходящ за $\forall |x| < R$ и разх. за $|x|>R$.

Доказателство

Това доказателство не ми изглежда много ясно, най-вече защото ми изглежда че доказва обратната посока на теоремата....
за сега само го пиша, ще прегледам някой учебник за по-подробности

Нека $D = \{ x : \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n - converges \ in \ x \} : D \neq \varnothing$

I. $D$ е неограничено множество
Тогава $\forall x \in \mathbb{R}, \exists x_0 \in D : |x| < |x_0|$.
Тъй като $x_0 \in D \Longrightarrow$ степенния ред
$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$
е сходящ в точка $x, \Longrightarrow$ степенния ред
$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е сходящ навсякъде в $\mathbb{R}$, т.е. $R = +\infty$

II. $D$ - ограничено
Следователно съществува $\underset{x \in D}{sup} |x| = R \geq 0$
II.1. $R = 0 \Longrightarrow D = \{ 0 \} \Longrightarrow \forall x \neq 0$ степенния ред
$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$
е разходящт

II.2.
$R > 0, R < = +\infty$
Нека $x \in (-R,+R)$, т.е. $|x| < R \Longrightarrow \exists x_0 \ in D$ такова, че $|x| < |x_0| < R$
Т.к. $x_0 \in D \Longrightarrow$
$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$
е сходящ в т.$x_0$ тогава от Т.Абел следва, че
$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$
е сходящ в точка $x$. Тогава
$\forall x \in (-R,R) : \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$
е сходящ. Нека имаме $x : |x| > R$. Допускаме, че
$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$
е сходящ, тогава т.к. $\exists x_0 : R < |x_0| < x$ следователно от Т.Абел редът
$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x_0^n$
е сходящ, следователно $\x_0 \in D \Longrightarrow$
$\underset{x \in D}{sup} |x| > R$, но $\underset{x \in D}{sup} |x| = R$ противоречие!
т.е. $\forall x, |x| > R \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е разходящ.

Радиус на сходимост

Дефиниция:
R-то от горната теорема наричаме радиус на сходимост на степеннен ред.

Теорема за радиуса на сходимост

  1. $\exists \underset{n \to \infty}{\lim} \sqrt[n]{|a_n|} = l$
  2. $\exists \underset{n \to \infty}{\lim} \big|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\big| = l$

$0 \le l < +\infty$
$\Longrightarrow R=\dfrac{1}{l}$ - радиус на сходимост на $\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$

Внимание! Това означава, че:

$\cfrac{1}{R} = \underset{n \to \infty}{\lim} \sqrt[n]{|a_n|}$
$R = \underset{n \to \infty}{\lim} \big|\dfrac{a_n}{a_{n+1}} \big|$

Доказателство:
Нека $\underset{n \to \infty}{\lim} \sqrt[n]{|a_n|} = l$.
Сега ще разгледаме няколко случая за $l$
1. $0 < l < +\infty$.
Разглеждаме
$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}} |a_n| x^n \ (1) : \sqrt[n]{|a_n x^n|} = \sqrt[n]{|a_n||x^n|} = |x|\sqrt[n]{|a_n|} \underset{ n \to \infty}{\rightarrow} 0$
Следователно
$|x|l < 1 \Longrightarrow (1)$ е сходящ $\Longrightarrow (*)$ е абсолютно сходящ $\Longrightarrow (*)$ е сходящ
$|x|l > 1 \Longrightarrow (1)$ е разходящ $\Longrightarrow (*)$ е разходящ

Допускаме, че
$\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е сохдящ в точка $x : |x| > \dfrac{1}{l}$ тогава
$\exists x_0, |x| > |x_0| > \dfrac{1}{l}$ и редът $\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} |a_n x_0^n|$ е сходящ.
$\sqrt[n]{|a_n x_0^n|} = |x_0| \sqrt[n]{a_n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} |x_0|l > 1$ тогава $\underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} |a_n x^n|$ е разходящ - противоречие. Следователно $R = \dfrac{1}{l}$.

2. Сега разглеждаме случая когато $l = 0$
Тогава $\sqrt[n]{|a_n x^n|} = |x| \sqrt[n]{|a_n|} \underset{n \to \infty}{\rightarrow} |x|l = 0$
$\Longrightarrow \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} |a_n x^n|$ е сход. по критерия на Коши
$\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е сход.
Тогава $R = +\infty = \dfrac{1}{0} = \dfrac{1}{l}$

3. Сега случая когато $l = +\infty$
Тогава $\forall x \neq 0, \sqrt[n]{a_n x^n}= |x|\sqrt[n]{a_n} \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} |x|(+\infty)$
$\Longrightarrow \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} |a_n x^n|$ - разходящ по критерия на Коши
$\forall x \neq 0 \Rightarrow \underset{n=0}{\overset{\infty}{\sum}} a_n x^n$ е разходящ, $\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow R = \dfrac{1}{l} = \dfrac{1}{+\infty} = 0$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License