Тема 16

Абсолютно и условно сходящи се редове.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Подобно на несобствените интеграли и при редовете съществува понятието абсолютна и условна сходмост.
Ред е абсолютно сходящ, ако е сходящ реда от абсолютните стойности на елементите му.

Малко (английски) език:

  • absolute convergence - абсолютна сходимост
  • conditional convergence - условна сходимост

Абсoлютно сходим ред

Дефиниция:
Ред е абсолютно сходим, ако е сходим реда от абсолютните стойности на елементите.
$\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n$ е абсолютно сходим $\iff \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} |a_n|$ е сходим

Условно сходим ред

Дефиниция:
Ред е условно сходим, ако е сходим, но не е абсолютно сходим (т.е реда от абсолютните стойности на елементите му не е сходим)
$\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ converges conditionally} \iff \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ converges, but not absolutely}$

Теорема 1

Теорема:
Всеки ред който е абсолютно сходящ е сходящ.
Доказателство:

Теорема 2

Теорема 2:
Ако умножим членовете на абсолютно сходящ ред с членовете на ограничена редица, получаваме пак абсолютно сходящ ред.
Доказателство:

Теорема 3

Теорема:
Тази теорема казва какво се случва със сбор на 2 абсолютно сходящи реда и произведение на абсолютно сходящ ред с число.

(4)
\begin{array} {l} \mbox{Let } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ and } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} b_n \mbox{ are absolutely convergent. Then:}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. }\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} (a_n + b_n) \mbox{ is absolutely convergent}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2. }\forall \lambda \in \mathbb R : \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} \lambda a_n \mbox{ is absolutely convergent}\\ \end{array}

Доказателство:


Следват малко дефиниции (мисля от теория на множествата):
  • injection - инекция (от 2 различни в 2 различни)
  • surjection - сюрекция (всяко си има първообраз)
  • bijection - биекция (2те горни взети заедно)

Ето малко формализъм да не забравите как изглеждат формулите :)
Инекция/Биекция/Сюрекция - това са все видове изображения

Дефиниция (Инекция):

(6)
\begin{array} {l} f(x) : \mathrm X \longrightarrow \mathrm Y\mbox{ is called injection if}\\ \forall x_1, x_2 \in \mathrm X,\ x_1 \ne x_2 \Longrightarrow f(x_1) \ne f(x_2)\\ \end{array}

Дефиниция (Сюрекция):

(7)
\begin{array} {l} f(x) : \mathrm X \longrightarrow \mathrm Y\mbox { is called surjection if}\\ \forall y \in \mathrm Y : \exists x \in \mathrm X : f(x) = y\\ \end{array}

Дефиниция (Биекция):
$f(x) : \mathrm X \longrightarrow \mathrm Y$ наричаме биекция, ако $f(x)$ отговаря на условията за инткция и сюрекция.

Разместване на членовете на абсолютно сходящ ред

Теорема
Теоремата неформално гласи, че ако имаме абсолютно сходящ ред и разбъркаме членовете му по произволен начин, новият ред пак ще бъде абсолютно сходящ. Още повече, неговата сума ще бъде същата като сумата на първоначалния ред. (Ако си мислите, че това е логично само изчакайте да видите теоремата за разместване на членовете на условно сходящ ред).

(8)
\begin{array} {l} \mbox{Let }\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1g. }\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ absolutely converges}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2g. }\pi : \mathbb N \to \mathbb N \mbox{ is bijection}\\ \mbox{Then:}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. }\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_{\pi(n)} \mbox{ absolutely converges}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2. }\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_{\pi(n)} = \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n\\ \end{array}

1g идва от 1 given (или първо дадено (условие)).
Тук е важно да се разбере смисъла на π. Биекцията дефинира разбъркването - кое число на коя позиция трябва да отиде, като всяко число отива точно на една позиция, и на всяка позиция отива точно едно число. Функцията задава за всяка позиция кое число стои, но както се досещате съществува и обратната функция (всяко число на коя позиция отива) и даже ще я използваме в доказателството на 2рата част.

Доказателство:

Теорема 4

Теорема:
Теоремата гласи, че ако имаме 2 абсолютно сходящи реда и вземем и умножим всеки член от единия ред с всеки член от другия ред, новополучените елементи подредим по произволен начин, то новият ред е абсолютно сходящ, а сумата му е произведението от сумите на началните редове.

(14)
\begin{array} {l} \mbox{Let }\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n = S,\ \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} b_n = S' \mbox{ absolutely convergent}\\ \Longrightarrow\\ {}\hspace{5 mm}\underset{i,j = 1}{\overset{\infty}\sum} a_i b_j \mbox { is absolutely convergent}\\ {}\hspace{5 mm}\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_i b_j = SS'\\ \end{array}

Под записа със сумата с i, j имам предвид независимо от подреждането, всички възможни двойки (a със b) (това, че не зависи от подреждането, мисля, е достатъчно ясно от предната теорема).

Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License