Абсолютно и условно сходящи се редове.
страницата се нуждае от дописване/преглеждане
Подобно на несобствените интеграли и при редовете съществува понятието абсолютна и условна сходмост.
Ред е абсолютно сходящ, ако е сходящ реда от абсолютните стойности на елементите му.
Малко (английски) език:
- absolute convergence - абсолютна сходимост
- conditional convergence - условна сходимост
Абсoлютно сходим ред
Дефиниция:
Ред е абсолютно сходим, ако е сходим реда от абсолютните стойности на елементите.
$\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n$ е абсолютно сходим $\iff \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} |a_n|$ е сходим
Условно сходим ред
Дефиниция:
Ред е условно сходим, ако е сходим, но не е абсолютно сходим (т.е реда от абсолютните стойности на елементите му не е сходим)
$\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ converges conditionally} \iff \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ converges, but not absolutely}$
Теорема 1
Теорема:
Всеки ред който е абсолютно сходящ е сходящ.
Доказателство:
Теорема 2
Теорема 2:
Ако умножим членовете на абсолютно сходящ ред с членовете на ограничена редица, получаваме пак абсолютно сходящ ред.
Доказателство:
Теорема 3
Теорема:
Тази теорема казва какво се случва със сбор на 2 абсолютно сходящи реда и произведение на абсолютно сходящ ред с число.
Доказателство:
Следват малко дефиниции (мисля от теория на множествата):
- injection - инекция (от 2 различни в 2 различни)
- surjection - сюрекция (всяко си има първообраз)
- bijection - биекция (2те горни взети заедно)
Ето малко формализъм да не забравите как изглеждат формулите :)
Инекция/Биекция/Сюрекция - това са все видове изображения
Дефиниция (Инекция):
(6)Дефиниция (Сюрекция):
(7)Дефиниция (Биекция):
$f(x) : \mathrm X \longrightarrow \mathrm Y$ наричаме биекция, ако $f(x)$ отговаря на условията за инткция и сюрекция.
Разместване на членовете на абсолютно сходящ ред
Теорема
Теоремата неформално гласи, че ако имаме абсолютно сходящ ред и разбъркаме членовете му по произволен начин, новият ред пак ще бъде абсолютно сходящ. Още повече, неговата сума ще бъде същата като сумата на първоначалния ред. (Ако си мислите, че това е логично само изчакайте да видите теоремата за разместване на членовете на условно сходящ ред).
1g идва от 1 given (или първо дадено (условие)).
Тук е важно да се разбере смисъла на π. Биекцията дефинира разбъркването - кое число на коя позиция трябва да отиде, като всяко число отива точно на една позиция, и на всяка позиция отива точно едно число. Функцията задава за всяка позиция кое число стои, но както се досещате съществува и обратната функция (всяко число на коя позиция отива) и даже ще я използваме в доказателството на 2рата част.
Доказателство:
Теорема 4
Теорема:
Теоремата гласи, че ако имаме 2 абсолютно сходящи реда и вземем и умножим всеки член от единия ред с всеки член от другия ред, новополучените елементи подредим по произволен начин, то новият ред е абсолютно сходящ, а сумата му е произведението от сумите на началните редове.
Под записа със сумата с i, j имам предвид независимо от подреждането, всички възможни двойки (a със b) (това, че не зависи от подреждането, мисля, е достатъчно ясно от предната теорема).
Доказателство: