Тема 15

Критерий на Лайбниц за редове с алтернативно сменящи се знаци


страницата се нуждае от дописване/преглеждане



Ред с алтернативно сменящи се знаци

Дефиниция:
$\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} (-1)^{n} a_n\hspace{3 mm}a_n \ge 0\ (\forall n \in \mathbb N)$
е ред с алтернативно сменящи се знаци. Естествено, може да не са нечетните с минус, може четните да са. Но това са дребни детайли, затова няма да пиша всяка една дефиниция с двата варианта.

Критерий на Лайбниц за редове с алтернативно сменящи се знаци

Теорема:

(1)
\begin{array} \mbox{Let }\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} (-1)^{n} a_n : a_n \ge 0\ (\forall n \in \mathbb N)\mbox{ and:}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. } a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \cdots \ge a_n \ge \cdots\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2. } \underset{n \rightarrow \infty}\lim a_n = 0\\ \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} (-1)^{n} a_n \mbox{ converges} \end{array}

С други думи, ако имаме безкраен числов ред с алтернативно сменящи се знаци, на който абсолютната стойност от елементите намалява(Така де, $\le$), и границата в безкрайност на членовете клони към 0, то редът е сходящ. (Тук няма голямо значение дали говорим за елементите или техните модули, понеже ако едното клони към 0, то и другото клони към 0).
Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License