Тема 14

Редове с неотрицателни членове, признак за сравнение. Критерий на Даламбер. Критерий на Коши. Интегрален критерий на Коши.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Критерий за сходимост

Теорема:
Тази теорема гласи, че ако ред има само неотрицателни членове, то той е сходящ <=> редицата от парциалните суми е ограничена.
Ако $\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n : a_n \ge 0\hspace{3 mm}\forall n \in \mathbb N$ следва че
$\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n$ е сходяща $\iff \{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ е ограничена.

Доказателство:

Критерий за сравняване

Теорема:
Този критерий, подобно на критерия за сравнение на несобствени интеграли задава 2 основни правила, за определяне на това дали един ред е сходящ или не. Ако даден ред е сходящ, то всеки ред с членове по-малки от членовете на дадения също е сходящ. Ако даден ред е разходящ, то всеки ред с членове по-големи от неговите също е разходящ. Разбира се, става дума само за редове с неотрицателни членове.

(2)
\begin{array} {l} \mbox{Let } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ and } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} b_n : 0 \le a_n \le b_n\hspace{3 mm} \forall n \in \mathbb N\\ \Longrightarrow\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} b_n \mbox{ converges} \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ converges}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2. } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ diverges} \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} b_n \mbox{ diverges}\\ \end{array}

Ако си много на зор, може да се преработят да важат за редове и само с отрицателни членове.
Доказателство:

Критерий на Даламбер

Теорема:
Това е един много лесен критерий за това дали даден ред е сходящ/разходящ. Разглежда се частното на всеки 2 последователни члена. Ако съществува число q по-малко от 1, такова че всяко частно е <= q, то редът е сходящ. Ако пък всяко частно е >= 1, редът е разходящ. Следствието на тази теорема я опростява още повече като позволява разглеждането на границата от тези частни (което в общия случай е по-лесно).

(4)
\begin{array} {l} \mbox{Let } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n : \forall n \in \mathbb N\ a_n > 0\\ \Longrightarrow\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. } \exists q: 0 < q < 1,\ \exists \mathrm N : \forall n \ge \mathrm N\hspace{3 mm}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \le q \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ converges}\\f {}\hspace{5 mm}\mbox{2. } \exists \mathrm N : \forall n \ge \mathrm N : \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1 \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ diverges}\\ \end{array}

Доказателство:


Следствие:
Следствието разглежда границата към безкрайност на частното на 2 последователни члена. Ако границата е < 1, то редът е сходящ. Ако е > 1, той е разходящ (ако е 1 не се знае със сигурност - т.е трябва да се използва друг метод, за да се определи дали е сходящ или не)(7)
\begin{array} \mbox{Let } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n : a_n > 0{}\hspace{3 mm}\forall n \in \mathbb N\\ \mbox{If } \exists \underset{n \rightarrow \infty}\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = l\mbox{, then:}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. }l < 1 \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n\mbox{ converges}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2. }l > 1 \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n\mbox{ diverges}\\ \end{array}

Доказателство:

Критерий на Коши

Теорема:
Критерият на Коши много прилича на критерия на Даламбер. При него се разглежда n-тия корен на n-тия член. Ако този израз е по-малък от q < 1, за всяко n >= N, то редът е сходящ. Иначе, ако изразът е >= 1 за всяко n >= N, то редът е разходящ.

(9)
\begin{array} {l} \mbox{Let }\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n : a_n > 0\hspace{3 mm} \forall n \in \mathbb N\mbox{. Then:}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. If }\exists q \in (0, 1),\ \exists \mathrm N > 0 : \forall n \ge \mathrm N \hspace{3 mm}\sqrt[n]{a_n} \le q \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ converges}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2. If }\exists \mathrm N > 0 : \forall n \ge \mathrm N : \sqrt[n]{a_n} \ge 1 \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ diverges}\\ \end{array}

Доказателство:

Следствие:
Следствието е същото като следствието за критерия на Даламбер.

(11)
\begin{array} {l} \mbox{Let } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n : a_n > 0{}\hspace{3 mm}\forall n \in \mathbb N\\ \mbox{If } \exists \underset{n \rightarrow \infty}\lim \sqrt[n]{a_n} = l\mbox{, then:}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{1. }l < 1 \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n\mbox{ converges}\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{2. }l > 1 \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n\mbox{ diverges}\\ \end{array}

Доказателство:
Остава за упражнение (някой да го въведе във уикито :))

Интегрален критерий на Коши

Теорема:
Интегралния критерий на Коши е мощно средство за свеждане на проблем за сходимост на редици до проблем за сходимост на несобствен интеграл (малко ЕАИ-style звучи, а?:))
Той гласи, че ако имаме монотонно намаляваща неотрицателна функция f(x) дефинирана върху [1, +∞), то редът, образуван от f(1), f(2), … е сходящ <=> несобствения интеграл от 1 до +∞ на f(x) е сходящ.

(12)
\begin{array} {l} \mbox{Let }f(x) \mbox{ de{}fined over } [1, +\infty)\mbox{, and } \forall x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2)\\ \Longrightarrow \underset{x=1}{\overset{\infty}\sum} f(x) \mbox{ converges } \iff \int_1^{+\infty}f(x)\ dx \mbox{ converges}\\ \end{array}

Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License