Тема 13

Безкрайни числови редове. Сходимост. Свойства.

Безкраен числов ред

Дефиниция:
Нека имаме безкрайна числова редица (БЧР):
$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots ,\ a_n,\ \cdots$

Формалната сума (формална, защото ако кажеш на някой, че имаш да събираш безкрайно много числа, ще ти се изсмее):
$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots = \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}a_n$
се нарича безкраен числов ред.

Парциална(частична сума)

Дефиниция:
Сумата на първите n члена на безкрайна числова редица се нарича n-та парциална (частична) сума и се бележи с $S_n$:
$S_n = \underset{i=1}{\overset{n}\sum} a_n$

Сходящ безкраен числов ред

Дефиниция:
Ако редицата от парциалните суми е сходяща, то казваме, че и безкрайният числов ред е сходящ. Негова сума наричаме границата на парциалните суми към безкрайност:

(1)
\begin{array} {l} \exists\underset{n \rightarrow \infty}\lim S_n = S\\ \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n = S \end{array}

Сега ще разгледаме няколко свойства свързани с безкрайни числови редове.
Ето малко думи:

  • converge - сходящ
  • diverge - разходящ

Свойство 1

Необходимо условие за сходимост:
$\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n$ е сходящ $\Rightarrow \underset{n \rightarrow \infty}\lim a_n = 0$
Доказателство:

Свойство 2

Свойство 2:

(3)
\begin{array} {l} \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n,\ \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} b_n \mbox{ converge}\\ \Longrightarrow\\ {}\hspace{10 mm}\mbox{1. } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}(a_n + b_n) \mbox{ converges and } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}(a_n + b_n) = \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n + \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} b_n\\ {}\hspace{10 mm}\mbox{2. } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\lambda a_n \mbox{ converges and } \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}\lambda a_n = \lambda \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum}a_n\\ \end{array}

Доказателство:

Свойство 3

Свойство 3:
Това свойство гласи, че един ред е сходящ, ако е сходящ и ред започващ от произволен член нататък (т.е ако се махнат произволен брой членове в началото на един ред това не променя сходимостта му).

(5)
\begin{array} {l} \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n \mbox{ converges} \iff \exists k \ge 0 : \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_{k+n} \mbox{ converges}\\ \end{array}

Доказателство:


Специален бонус само за нашите читатели в Интернет:
Ако се махнат произволни N члена от един сходящ ред, той остава сходящ! Точно така, вече не само в началото! На всичкото отгоре, можем да добавяме (крайни по големина)елементи, и копелето продължава да схожда!
Но, остава ограничението да махаме/слагаме единствено краен брой елементи.
Например, редът:(7)
\begin{align} 1, -1, \cfrac{1}{2}, -\cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{3}, -\cfrac{1}{3} \cdots \end{align}

е доказано сходящ(самото доказателство е по-нататък). Обаче, ако махнем всеки втори елемент, се получава:

(8)
\begin{align} 1, \cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{3}, \cdots \end{align}

което пък си е доказано несходящо. Така че, използвайте внимателно.

Свойство 4

Свойство 4:
Неформално гласи, че ако един ред е сходящ, то и редът получен чрез групиране на последователни членове от първия ред също е сходящ (под групиране се разбира да се заместят няколко последователни члена с тяхната сума, не да се разместват).

(9)
\begin{array} {l} \mbox{Let } \{b_i\}_{i=1}^\infty :\\ \begin{matrix} b_1 &=& a_1 + a_2 + \cdots + a_{k_1} &=& \underset{i=1}{\overset{k_1}\sum} a_i\\ b_2 &=& a_{k_1 + 1} + a_{k_1 + 2} + \cdots + a_{k_2} &=& \underset{i=k_1+1}{\overset{k_2}\sum} a_i\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ b_n &=& a_{k_{n-1} + 1} + a_{k_{n-1} + 2} + \cdots + a_{k_n} &=& \underset{i=k_{n-1}+1}{\overset{k_n}\sum} a_i\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ \end{matrix}\\ \Longrightarrow \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n = \underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} b_n \end{array}

Доказателство:

Критерий на Коши за сходимост на редица

Преди следващата дефиниция трябва да направя едно уточение.

Редица Ред
Запис $\{x_i\}$ $\overset{\infty}{\underset{i=0}\sum} x_i$
Същност последователност от членове сума на последователност от членове
Свойства ограниченост, сходимост сходимост, сума
Сходимост ако съществува границата в безкрайност на членовете ако съществува границата в безкрайност на парциалните суми

Дефиниция :
$a = \{a_i\}_{i=1}^\infty$ е сходящ $\iff \forall \epsilon > 0,\ \exists \mathrm N = {\mathrm N}_\epsilon : \forall n > \mathrm N, \forall p \in \mathbb N \Longrightarrow |a_{n+p} - a_n| < \epsilon$
Tози критерий много прилича на критерия за граница на Коши (по-точно това е разписан критерия за граница на Коши в случая когато разглеждаме границата на членовете на дадена редища)

Теорема за сходимост на безкраен числов ред a-la Коши

Теорема :
$\underset{n=1}{\overset{\infty}\sum} a_n$ e сходящ $\iff \forall \epsilon > 0,\ \exists \mathrm N = {\mathrm N}_\epsilon : \forall n > \mathrm N,\ \forall p \in \mathbb N \Longrightarrow |a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}| < \epsilon$
Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License