Тема 11

Несобствени интеграли върху безкраен интервал и от неограничена функция – определение, свойства.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Това е графиката на $y=f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$

graph1.PNG

Несобствен интеграл - дефиниция

Дефиниция:
Нека $f(x)$ e дефинирана върху $[a,+\infty)$ и интегруема върху $[a,b] \ \forall b \ge a$. Ако $\exists \underset{b \to +\infty}\lim \int_a^b f(x)dx$, казваме че $f(x)$ е интегруема в несобствен смисъл върху $[a,+\infty)$. Като $\underset{t \to +\infty}\lim \int_a^t f(x) dx = \int_a^{+\infty} f(x) dx$ - несобствен интеграл от $f(x)$.

Тоест несобственият интеграл е лицето на боядисаното в светло синьо на картинката по-горе.

Сходящ интеграл

Дефиниция:
$f(x)$ дефнирана върху $[a,+\infty)$ и съществува нейният несобствен интеграл в "граници" $[a,+\infty)$. Казваме, че несобственият интеграл е сходящ, ако $\exists \underset{t\to +\infty}\lim \int^t_a f(x)dx = c, c \in R$. Тогава: $\underset{t\to +\infty}\lim \int^t_a f(x)dx = \int^{+\infty}_a f(x)dx$. В противен случай интегралът е разходящ. (Подсказка: това е просто нормалната дефиниция за сходящ интеграл, но има вкарана една безкрайност за цвят).

Условие за сходящ интеграл

Теорема:
Казваме, че $f(x)$ е сходящ $\iff \exists \int_c^{+\infty}, \ \forall c \in [a,+\infty)$.
Тоест ако можем да го интегрираме от тук до края на реалните числа.

Дефиниция

Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(-\infty,a]$ и интегруема върху $\forall b\le a, \ [b,a]$
$\int^{-\infty}_{a} f(x) dx = \underset{t \to -\infty} \lim \int_t^a f(x) dx$

Дефиниция

Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(-\infty,+\infty)$ и интегруема върху $\forall [a,b]$
$\int^{-\infty}_{+\infty} f(x) dx = \underset{t\to -\infty}{\underset{k \to +\infty}{ \lim}} \int_t^k f(x) dx$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License