Тема 10

Лице на ротационна повърхнина


Забележка: Тази точка, както и предишните две са много кратки, както и почти еднакви от гледна точка на разсъждения. Затова някои от тях не са повторени тук.

Дефиниция:
Лицето на ротационна повърхнина, се дава от следната формула:
$S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{ 1 + f'(x) ^2}dx$
Като приемаме, че кривата, от която е образувана ротационната повърхнина е от вида y = f(x) и въртенето е около Ox (в противен случай би било добра идея да преминем в подобна координатна система). Разбиваме повърхнината на N сегмента. Лицето на един сегмент е равно на дължината на бедрото му, което не лежи на Ox по обиколката на окръжността, образувана след завъртането (всеки сегмент е праволинеен трапец). От въпрос 9 ни е известна дължината на бедрото на сегмента, а обиколката на окръжността в x е 2pi*f(x). Когато големината на разбиването клони към 0(делта), съответно N клони към безкрайност, Римановата сума клони към интеграла на функцията (виж въпрос 1), <=> грешката на приближението клони към 0 (епсилон).
$\lim_{n \to \infty} 2\pi f(x)\sqrt{ 1 + (\frac{\Delta y}{\Delta x})^2}\Delta x = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{ 1 + f'(x) ^2}dx$

За пример ще намерим лицето на сфера с получената формула.
Взимаме сфера с радиус R и център точката O. Разглеждаме сферата като ротационна повърхнина на (полу)окръжност в Oxy.

(1)
\begin{array} {l} y = \sqrt{R^2 - x^2} = f(x) \\ S = 2\pi\int_{-R}^R y\sqrt{1 + (\frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}})^2 } dx \\ S = 2\pi\int_{-R}^R y\sqrt{1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} } dx \\ S = 2\pi\int_{-R}^R y\sqrt{\frac{R^2}{R^2 - x^2} } dx \\ S = 2\pi\int_{-R}^R y\frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2} } dx \\ y = f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \\ S = 2\pi\int_{-R}^R \sqrt{R^2 - x^2}\frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2} } dx \\ S = 2\pi R\int_{-R}^Rdx \\ S = 2\pi Rx|_{-R}^R \\ S = 2\pi R(R - (-R)) \\ S = 4\pi R^2 \end{array}

Science. It works, bitches!


Естествено, лицата на фигурите изучавани в гимназията могат да бъдат доказани с тези формули. Впрочем, подсилена версия на твърдението важи за всякакви цилиндрични и конични повърхнини - заместваме 2pif(x) с P(M(x)) - обиколката на управителната крива M в равнината успоредна на Oyz при дадено x.
$S = \int_a^b P(M(x))\sqrt{ 1 + f'(x) ^2}dx$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License