Тема 9

Дължина на крива линия

Table of Contents

Ако имаме непрекъсната диференцируема функция, можем да намерим дължината на кривата, която образува графиката на f(x) за x в интервала [a,b] с помощта на интеграл.
Да вземем набор от N точки такива, че:
$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$
Тогава едно приближение за дължината на кривата можем да получим ако свържем последователно N-те точки и (с питагоровата теорема) намерим дължината на получената начупена линия.

(1)
\begin{array} {l} \Delta L_i = \sqrt{ \Delta x_i^2 + \Delta f(x_i) ^2 } \\ Len = \sum_{i=1}^n \Delta L_i \\ Len = \sum_{i=1}^n \sqrt{ \Delta x_i^2 + \Delta f(x_i) ^2 } \\ \end{array}

От предишните точки вече знаем, че когато големината на разбиването клони към 0, Len е определен интеграл на функцията ''L(x)'' и приближението се превръща в точен резултат.
$\sum_{i=1}^n \sqrt{ \Delta x_i^2 + \Delta f(x_i) ^2 } = \sum_{i=1}^n \sqrt{ 1 + (\Delta f(x_i)/\Delta x_i) ^2 } * \Delta x_i$

Тук има една врътка : използваме теоремата на Лагранж, която гласи, че ако една функция е непрекъсната върху краен затворен и има производна върху отворения интеграл, то съществува точка от интервала, такава че производната в точката да е df/dx (т.е. нарастването на функцията / нарастването на аргумента) - припомнете си я от първия семестър!
$lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \sqrt{ 1 + (\frac{\Delta f(x_i)}{\Delta x_i}) ^2 } \Delta x_i = \int_a^b \sqrt{ 1 + (f'(c_i)) ^2}dx$

Така, тъй като $c_i$ принадлежи на $[x_{i-1}, x_i]$ това е точно сума на Риман за това разбиване. Тъй като функцията е интегруема, следователно сумата на Риман за всеки набор (т.е редица от c-та) изпълнява условието
$|\boldsymbol\sigma_\tau(f,c) - \mathrm I| < \epsilon$

т.е това че ние сме определили c по някакъв начин (а не сме казали за всяко) не е проблем, точно защото сме сигурни, че функцията е интегруема (а тя е интегруема защото е непрекъсната). И така получихме формулата за дължина на графиката на функция
$\mbox{Len =} \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\ dx$

Тази формула, разбира се, не гарантира, че полученият интеграл ще има лесно решение.
Нека да разгледаме един пример - да намерим дължината на окръжност с център началото на координатните оси и радиус r.
Ще намерим дължината на частта над оста Ox и ще удвоим резултата.

(2)
\begin{array} {l} y = \sqrt{ r^2 - x^2} \\ y' = \frac{-2x} { 2\sqrt{ r^2 - x^2} } = \frac{-x} { \sqrt{ r^2 - x^2} }\\ \sqrt { 1 - y'^2 } = \frac{r} { \sqrt{ r^2 - x^2} }\\ \int_{-r}^r \frac{r} { \sqrt{ r^2 - x^2}} dx = r\arcsin(\frac{x}{r}) |_{-r}^r \\ r\arcsin(\frac{x}{r}) |_{-r}^r = r(\arcsin(1) - \arcsin(-1)) = r(\frac{\pi}{2} - \frac{-\pi}{2}) = r\pi \end{array}

Удвояваме…
2*pi*r е сравнително добро приближение за дължината на окръжност.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License