Тема 8

Обем на тяло с известно напречно сечение


Ако имаме триизмерно тяло, на което лицето на напречното сечение в равнината Oxy може да бъде изразено аналитично, то лесно можем да намерим обема му като интегрираме по z координатата. Естествено, x,y,z са условно избрани и може да става дума за произволно ориентирано сечение.

Дефиниция:
$V = \int_a^b S(z) dz$
където S(z) е аналитично задаване на лицето на сечението.
За доказателство на това твърдение, ще разбием интервала [a,b] на N части, като N клони към безкрайност и големината на разбиването клони към 0. На всяка част ще съпоставим цилиндър/призма/тяло с долна и горна основа, зададена от S(z) и височина dz. Сумираме обема на всички тези фигури(S(z)*dz) и, по абсолютно същия начин, както доказвахме досега, ще докажем, че Римановата сума се превъща в интеграл когато големината на разбиването клони към 0(епсилон-делта метод от [[anal201|въпрос 1]]).

За илюстрация на метода, ще намерим обема на сфера(т.е. запълнена сфера) с радиус r и център точка O.
Приемаме, че сферата е съставена от безкрайно много кръгли "пластове" с дебелина dz.
r(z) е радиусът на пласта на разстояние z от равнината Oxy, т.е. S(z) = pi * r(z)^2.

(1)
\begin{array} {l} S(z) = \pi r(z)^2 \\ r(z) = \sqrt{r^2 - z^2} \\ \int_{-r}^r S(z) dz = \pi \int_{-r}^r (r^2 - z^2) dz \\ \pi r^2 \int_{-r}^r (1 - \frac{z^2}{r^2}) dz = \pi r^2 (z - \frac{z^3}{3r^2})|_{-r}^r \\ \pi r^2 (r - \frac{r^3}{3r^2} - (-r - \frac{-r^3}{3r^2}) ) = \pi r^2 ( r - \frac{r}{3} + r - \frac{r}{3}) = \frac{4}{3}\pi r^3 \end{array}

Обем на ротационно тяло


Когато имаме крива в пространството (например y = f(x)), можем да я "завъртим" около дадена ос и да получим триизмерна фигура - Ротационно тяло. Това е тяло, чието сечение във всяка равнина, перпендикулярна на равнинната крива f(x) е кръг. Отново, x,y,z са условни означения - не е нужно тялото да лежи в Oxy, но за примера ще приемем, че е така.

Обем на ротационно тяло може да се намери много просто, имайки предвид, че знаем сечението му в равнина успоредна на Oyz (кръг) и можем да намерим радиуса на кръга с дадена x координата (pi*f(x)^2). Нека кривата y = f(x) да е дефинирана за x в интервала [a,b]. Прилагаме метода от предишната точка и веднага получаваме следния израз:

Дефиниция:
$V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx$

Да изпробваме метода като намерим обема на ротационното тяло на y = 2x в интервала [-1,1]. Така получаваме два конуса, които имат обща точка във върховете си.

(2)
\begin{array} {l} V = \pi \int_{-1}^1 (2x)^2 dx \\ V = 4\pi \frac{x^3}{3} |_{-1}^1 \\ V = 4\pi ( 1/3 - \frac{(-1)^3}{3}) = \frac{8\pi}{3} \end{array}

Което можем да проверим, че е вярно с формулата за обем на конус.

Впрочем, добре е да се отбележи, че формулите за обем (и лице) на телата, изучавани в средното образование се извеждат точно от тези разсъждения.
Естествено, с подобна схема можем да намираме и обеми на тела, завъртяни не по кръг, но това вече са сложни работи.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License