Тема 7

Лице на равнинна фигура


Дефиниции и свойства в равнината

За да изследваме приложението на определените интеграли в геометрията, първо трябва да се запознаем някои важни (и не толкова) дефиниции и свойства в равнината.

Равнина

Равнина е множеството от всички наредени двойки x и y, където x и y са всички числа от $\mathbb{R}$:
$R^2 = \{ \mathbb (x, y) : x, y \in R \}$

Кръг

Кръг е множеството от всички точки, на разстояние не по-голямо от r(радиусa на кръга) от точката M (центъра на кръга):
$B_o(r) = \{ M \in\mathbb R^2 : |MO| \le r \}$

Окръжност

Окръжността е почти същото, като кръга, но искаме точките да са на разстояние r от центъра на окръжността:
$S_o(r) = \{M \in\mathbb R^2 : |MO| = r \}$

Равнинна фигура

Дефиниция:
Всяко множество X от $R^2$ наричаме равнинна фигура.

Ограничена фигура

Дефиниция:
Равнинна фигура Х наричаме ограничена, ако съществува кръг, който да съдържа всички точки от фигурата:
$\exists B_o(r) : X \subset B_o(r)$

Правоъгълник

Дефиниция:
P от $R^2$ наричаме правоъгълник, ако е равнинна фигура съставена от всички точки между съответните вертикални и хоризонтални прави a,b и c,d:
$P = \{ (x, y) : a \prec x \prec b , c \prec y \prec d \}$

Вътрешност на правоъгълник

Дефиниция:
Това са всички точки който са затворени между правите a,b,c,d, но не са от тях.
$P^o = \{ (x, y) : a < x < b , c < y < d \}$

Елементарно множество

Дефиниция:
Елементарно (клетъчно) множество К е множество от вида:
$K = \bigcup_{i = 1}^n P_i\mbox{ and}\ P_i^o \bigcap P_j^o = \varnothing \ (i \ne j \, i,j 1,n)$
Мислете си за клетъчно множество, като за множество съставено от правоъгълници. Формално тези правоъгълници не трябва да имат пресичащи се вътрешности, т.е може само да се допират (да имат обща страна или част от такава).

Лице на правоъгълник

Дефиниция:
Лице на правоъгълник $P$ (2 дефиниции по-нагоре) наричаме $S(P) = (b - a)(d - c)$.

Лице на елементарно множество

Дефиниция:
Лице на елементарно множество К наричаме числото S(K),
$S(K) = \underset{i =1} {\overset{n}{\sum}} S(P_i) , \forall i,j \le n : S(P_i)\bigcup S(P_j) = \emptyset$
Тоест лице на елементарно множество е сборът от всички лица на правоъгълниците, които го съставят.

Транслация

Дефиниция:
Транслацията е точно отместване на дадена фигура от едно място в равнината до друго. Разбира се фигурата не си променя лицето като бъде преместена (ако я местим правилно ;))

(1)
\begin{array} {l} K \subset R^2 ,\ M_o(x_o, y_o) \ \in\ \mbox R^2\\ \Rightarrow M_o + K = \{ (\bar x, \bar y) : \bar x = x_o + x, \bar y = y_o + y, (x,y) \ \in \ K\}\\ \end{array}

Свойства:

Aдитивност

Ако $К_1$ и $К_2$ са елементарни множества и
$K_1^o \bigcap K_2^o = \varnothing \Longrightarrow S(K_1\bigcup K_2)=S(K_1)+S(K_2)$
Ако обединим 2 непресичащи се елементарни множества, лицето на полученото е сума от лицата на началните.

Монотонност

Ако $K_1 \subset K_2 \Longrightarrow S(K_1) \le S(K_2)$
Ако едно множество е подмножество на друго (в равнината, т.е става дума за фигура, която е изцяло в друга фигура) лицето на вътрешната е по-малко.

Инвариантност

Ето и свойството гарантиращо еднакво лице на внимателно преместена фигура :)

(2)
\begin{array} {l} \forall M_o \in \mathbb R^2 , S(M_o + K) = S(K)\\ \end{array}

Измеримост

Дефиниция: Нека G - равнинна фигура. Казваме че G е измерима, ако

(3)
\begin{array} {l} \forall \ \epsilon > 0 ,\ \exists K,\ k : k \subset G \subset K\\ S(K) - S(k) < \epsilon\\ \end{array}

Където $K$ и $k$ са измерими равнинни фигури.
С други думи измерима е тази фигура, която може да бъде ограничена от 2те страни с други 2 измерими фигури, разликата в лицата на които е произволно малко число.

Лице на измерима равнинна фигура

Дефиниция:
Лице на измерима равнинна фигура G, наричаме число S(G) :
$\forall K, k : k \subset G \subset K \Rightarrow \ S(k) \le S(G) \le S(K)$
Тоест лицето е това, което е по-малко или равно от всички лица на по-големи или равни(фигури които са надмножество на нашата) фигури. И в обратната посока за по малките фигури. Тази дефиниция много прилича на свойството за монотонност споменато по-горе.

Всяка измерима равнинна фигура G има единствено лице

Теорема
Всяка измерима равнинна фигура G има единствено лице S(G), освен това
$S(G) = \underset{k \subset G}\sup S(k) \underset{K \supset G}\inf S(K)$

Доказателство:

Критерий за измеримост

Теорема:
Равнинна фигура G е измерима тогава и само тогава, когато

(9)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0 \ \exists \ E, F - \mbox{ izmerimi } : E \subset G \subset F \\ \mbox{and } S(F) - S(E) < \epsilon \end{array}

Това ни дава по-лесен признак за определяне измеримостта на дадена фигура(досега можехме да я ограничаваме само с клетъчни множества, а след като докажем тази теорема ще можем да го правим с произволни измерими множества).

Доказателство:

Криволинеен трапец

Дефиниция: Нека f(x) е непрекъсната върху [a,b] и f(x) неотрицателна върху [a,b].
Множество от точки в $R^2$:

(15)
\begin{array} {l} D = \{(x, y) : a \le x \le b , 0 \le y \le f(x) \} \end{array}

се нарича криволинеен трапец.
Нарича се така, защото ако си го начертаете ще получите фигура, която в 3 от страните наподобява правоъгълен трапец, а 4тата 'страна' е леко накъдрена - затова и 'криволинеен' трапец :)

Криволинейнят трапец е измерим

Теорема:
Нека f(x) e непрекъсната и неотрицателна върху [a,b], тогава трапец

$G = \{(x, y) : a \le x \le b , 0 \le y \le f(x) \}$ e измерима равнинна фигура и $S(G) = \int_a^b f(x)\ dx$

Това е може би една от най-важните теореми през този семестър. Тя прави връзката между лице на фигура и определен интеграл. Заради тази връзка е възникнал и самия интеграл и математиката се е развила много с цел да направи тази теорема факт (по-точно математиката първо е приела тази теорема за дефиниция на определен интеграл, и после е нагласила всичко останало (суми на риман, дарбу, свойства, глупости) за да се получи реален начин за изчисляването му). Това е първото практическо приложение на интеграла (и може би едно от най-важните).

Доказателство:

Още една теорема, че нещо е измеримо

Теорема:
Нека $f(x)$ и $g(x)$ са непрекъснати в/у $[a,b]$ и за всяко х от [a,b] $f(x) \le g(x)$, тогава множеството $D = \{(x, y) \ : \ a \le x \le b \ , \ f(x) \le y \le g(x) \}$ е измеримо и $S(D) = \int_a^b [g(x) - f(x)]dx$

Доказателство:

Полярна координатна система

Следва да обърнем внимание на полярната координатна система и как стоят нещата с приложение на определени интеграли в нея.

(22)
\begin{array} {l} \overset{ \mbox{decart} }{ M(x_o , y_o) } \longrightarrow \overset{ \mbox{polar} }{ M(\theta , \rho)}\\ \cfrac{x_o}{ \rho } = \cos \theta \ \Rightarrow x_o = \rho \cos \theta\\ \cfrac{y_o}{ \rho } = \sin \theta \ \Rightarrow y_o = \rho \sin \theta\\ \rho = \sqrt{x_o^2 + y_o^2}\\ tg \theta = \cfrac{y_o}{x_o}\\ \end{array}

Криволинеен сектор

Дефиниция:
Нека функцията $\rho = \rho( \theta ) \ , \ \theta \in \ [ \alpha , \beta ] \ (0 \le \alpha \le \beta \le \ 2 \pi)$
е непрекъсната върху [α ,β]. Kриволинеен сектор наричаме множеството $D = \{ (\theta \ , \ \rho) \ : \ \alpha \le \theta \le \beta \ , \ 0 \le \rho \le \rho ( \theta )\}$

Криволинейният сектор е измерим

Теорема:

ако $\rho = \rho( \theta )$ е непрекъсната върху $[\alpha , \beta]$
и $D = \{ (\theta \ , \ \rho) \ : \ \alpha \le \theta \le \beta \ , \ 0 \le \rho \le \rho ( \theta )\}$ следва че D е измерим и лицето и е $S(D)= \cfrac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 (\theta )d \theta$

Доказателство:


Автор: "HeypaBHoBeceH"

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License