Дефиниции и свойства в равнината
За да изследваме приложението на определените интеграли в геометрията, първо трябва да се запознаем някои важни (и не толкова) дефиниции и свойства в равнината.
Равнина
Равнина е множеството от всички наредени двойки x и y, където x и y са всички числа от $\mathbb{R}$:
$R^2 = \{ \mathbb (x, y) : x, y \in R \}$
Кръг
Кръг е множеството от всички точки, на разстояние не по-голямо от r(радиусa на кръга) от точката M (центъра на кръга):
$B_o(r) = \{ M \in\mathbb R^2 : |MO| \le r \}$
Окръжност
Окръжността е почти същото, като кръга, но искаме точките да са на разстояние r от центъра на окръжността:
$S_o(r) = \{M \in\mathbb R^2 : |MO| = r \}$
Равнинна фигура
Дефиниция:
Всяко множество X от $R^2$ наричаме равнинна фигура.
Ограничена фигура
Дефиниция:
Равнинна фигура Х наричаме ограничена, ако съществува кръг, който да съдържа всички точки от фигурата:
$\exists B_o(r) : X \subset B_o(r)$
Правоъгълник
Дефиниция:
P от $R^2$ наричаме правоъгълник, ако е равнинна фигура съставена от всички точки между съответните вертикални и хоризонтални прави a,b и c,d:
$P = \{ (x, y) : a \prec x \prec b , c \prec y \prec d \}$
Вътрешност на правоъгълник
Дефиниция:
Това са всички точки който са затворени между правите a,b,c,d, но не са от тях.
$P^o = \{ (x, y) : a < x < b , c < y < d \}$
Елементарно множество
Дефиниция:
Елементарно (клетъчно) множество К е множество от вида:
$K = \bigcup_{i = 1}^n P_i\mbox{ and}\ P_i^o \bigcap P_j^o = \varnothing \ (i \ne j \, i,j 1,n)$
Мислете си за клетъчно множество, като за множество съставено от правоъгълници. Формално тези правоъгълници не трябва да имат пресичащи се вътрешности, т.е може само да се допират (да имат обща страна или част от такава).
Лице на правоъгълник
Дефиниция:
Лице на правоъгълник $P$ (2 дефиниции по-нагоре) наричаме $S(P) = (b - a)(d - c)$.
Лице на елементарно множество
Дефиниция:
Лице на елементарно множество К наричаме числото S(K),
$S(K) = \underset{i =1} {\overset{n}{\sum}} S(P_i) , \forall i,j \le n : S(P_i)\bigcup S(P_j) = \emptyset$
Тоест лице на елементарно множество е сборът от всички лица на правоъгълниците, които го съставят.
Транслация
Дефиниция:
Транслацията е точно отместване на дадена фигура от едно място в равнината до друго. Разбира се фигурата не си променя лицето като бъде преместена (ако я местим правилно ;))
(1)
\begin{array} {l} K \subset R^2 ,\ M_o(x_o, y_o) \ \in\ \mbox R^2\\ \Rightarrow M_o + K = \{ (\bar x, \bar y) : \bar x = x_o + x, \bar y = y_o + y, (x,y) \ \in \ K\}\\ \end{array}
Свойства:
Aдитивност
Ако $К_1$ и $К_2$ са елементарни множества и
$K_1^o \bigcap K_2^o = \varnothing \Longrightarrow S(K_1\bigcup K_2)=S(K_1)+S(K_2)$
Ако обединим 2 непресичащи се елементарни множества, лицето на полученото е сума от лицата на началните.
Монотонност
Ако $K_1 \subset K_2 \Longrightarrow S(K_1) \le S(K_2)$
Ако едно множество е подмножество на друго (в равнината, т.е става дума за фигура, която е изцяло в друга фигура) лицето на вътрешната е по-малко.
Инвариантност
Ето и свойството гарантиращо еднакво лице на внимателно преместена фигура :)
(2)
\begin{array} {l} \forall M_o \in \mathbb R^2 , S(M_o + K) = S(K)\\ \end{array}
Измеримост
Дефиниция: Нека G - равнинна фигура. Казваме че G е измерима, ако
(3)
\begin{array} {l} \forall \ \epsilon > 0 ,\ \exists K,\ k : k \subset G \subset K\\ S(K) - S(k) < \epsilon\\ \end{array}
Където $K$ и $k$ са измерими равнинни фигури.
С други думи измерима е тази фигура, която може да бъде ограничена от 2те страни с други 2 измерими фигури, разликата в лицата на които е произволно малко число.
Лице на измерима равнинна фигура
Дефиниция:
Лице на измерима равнинна фигура G, наричаме число S(G) :
$\forall K, k : k \subset G \subset K \Rightarrow \ S(k) \le S(G) \le S(K)$
Тоест лицето е това, което е по-малко или равно от всички лица на по-големи или равни(фигури които са надмножество на нашата) фигури. И в обратната посока за по малките фигури. Тази дефиниция много прилича на свойството за монотонност споменато по-горе.
Всяка измерима равнинна фигура G има единствено лице
Теорема
Всяка измерима равнинна фигура G има единствено лице S(G), освен това
$S(G) = \underset{k \subset G}\sup S(k) \underset{K \supset G}\inf S(K)$
Доказателство:
Допускаме противното.
G е измерима и нека S(G) и S'(G) са 2 нейни лица (ще опитаме да докажем че съвпадат). Тогава от дефиницията за лице имаме:
(4)
\begin{array} {l} \forall k,\ K : k \subset G \subset K \longrightarrow S(k) \le S(G) \le S(K)\ (\star)\\ \forall k,\ K : k \subset G \subset K \longrightarrow S(k) \le S'(G) \le S(K)\ (\star\star)\\ \end{array}
Ще опитаме да докажем с малко магии с множества, че:
$\forall k,\ K ,\ k \subset G \subset K : |S(G) - S'(G)| \le S(K) - S(k)$
Ето как ще го сглобим:
(5)
\begin{array} {l} {}\left{} \begin{array}{lrcr} \overset{(\star)}\Longrightarrow & S(G) \le S(K)\\ \overset{(\star\star) * (-1)}\Longrightarrow & -S'(G) \le -S(k) \end{array} \right|+\\ +(S(G)-S'(G)) \le S(K)-S(k)\ (1)\\ \\ \left{} \begin{array}{lrcr} \overset{(\star)*(-1)}\Longrightarrow & -S(G) & \le & -S(k)\\ \overset{(\star\star)}\Longrightarrow & S'(G) & \le & S(K) \end{array} \right|+\\ -(S(G)-S'(G)) \le S(K)-S(k)\ (2)\\ \end{array}
Сега разбира се от (1) и (2) следва, че за всеки 2 елементарни множества, които ни обрграждат (едното е подмножество, другото надмножество) е изпълнено че модулът от разликата на нашите 2 предполагаеми лица е по-малък от разликата в лицата на множествата, който обграждат нашата фигура. Ще го комбинираме със дефиницията за измеримост (т.е ще вкараме епсилон) и всичко ще си дойде на мястото :)
(6)
\begin{array} {l} \\ \overset{(1),(2)}\Longrightarrow |S(G) - S'(G)| \le S(K) - S(k) \quad \forall k,\ K : k \subset G \subset K\\ \overset{\mbox{de{}f. izmerimost}}\Longrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists k_\epsilon, K_\epsilon \mbox{ elementarni mnojestva }, k_\epsilon \subset G \subset K_\epsilon \mbox{ and } |S(G) - S'(G)| \le S(K_\epsilon) - S(k_\epsilon) < \epsilon \quad (\forall \epsilon)\\ \Longrightarrow |S(G) - S'(G)| + 0 \Longrightarrow S(G) S'(G)\\ \end{array}
Тука използваме трика, че щом дадено положително число (разликата между двете лица по модул) е по-малко от епсилон, за всяко положително епсилон, то числото е 0 (ако допуснем че е A != 0 то за епсилон А/2 веднага се получава противоречие А < А/2).
Сега остава да докажем супремума и инфинума. Ще го докажем за супремума, другото е аналогично:
(7)
\begin{array} {l} \\ \underset{k \subset G}\sup S(k) = S(G) \iff\\ {}\quad\quad\mbox{1. }\forall k \subset G : S(k) \le S(G)\\ {}\quad\quad\mbox{2. }\forall \epsilon > 0,\ \exists k_\epsilon \subset G : S(k_\epsilon) > S(G) - \epsilon\\ \end{array}
Първото е вярно от дефиницията за лице, а второто ще докажем, като изберем същия епсилон от дефиницията за измеримост:
(8)
\begin{array} {l} \\ \forall \epsilon > 0, \exists k, K \mbox{ elem. mnoj }, k \subset G \subset K :\\ \epsilon > S(K) - S(k) \overset{\mbox{de{}f. lice}}> S(G) - S(k)\\ \Longrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists k \mbox{ elem. mnoj }, k \subset G : S(G) - S(k) < \epsilon\\ \iff S(k) > S(G) - \epsilon \end{array}
Просто направихме оценка за S(K) и се освободихме от него, като на преден план изпъкна твърдението което трябва да докажем :)
Критерий за измеримост
Теорема:
Равнинна фигура G е измерима тогава и само тогава, когато
(9)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0 \ \exists \ E, F - \mbox{ izmerimi } : E \subset G \subset F \\ \mbox{and } S(F) - S(E) < \epsilon \end{array}
Това ни дава по-лесен признак за определяне измеримостта на дадена фигура(досега можехме да я ограничаваме само с клетъчни множества, а след като докажем тази теорема ще можем да го правим с произволни измерими множества).
Доказателство:
(10)
\begin{array} {l} 1) \Rightarrow \\ \end{array}
Нека G е измерима
(11)
\begin{array} {l} \\ \Rightarrow \ \forall \epsilon > 0 \ \exists \ k, K - \mbox{ kletuchni mnojestva }: k \subset G \subset K\\ \mbox{and }\ S(K) - S(k) < \epsilon\\ \end{array}
но клетъчните множества са измерими => първата част е доказана.
(12)
\begin{array} {l} \\ 2) \Rightarrow \\ \mbox{Neka } \forall \ \epsilon > 0 \ , \ \exists \mbox{ izmerimi ravninni figuri E i F:}\\ E \subset G \subset F \ : \ S(F) - S(E) < \epsilon\\ \end{array}
Фиксираме ϵ., то за ϵ/2 имаме S(F) - S(E) < ϵ/2;
(13)
\begin{array} {l} \\ S(E) = \underset{k \subset E}\sup S(k) \ \Rightarrow \cfrac{\epsilon}{4} > 0 \ , \ \exists k \subset E: S(E) - \cfrac{\epsilon}{4} < S(k)\\ \Rightarrow S(E) - S(k) < \cfrac{\epsilon}{4} \ (1) \\ S(F) = \underset{F \subset K}\inf S(K) \ \Rightarrow \cfrac{\epsilon}{4} > 0 \ , \ \exists K \supset F: S(F) + \cfrac{\epsilon}{4} > S(K)\\ \Rightarrow S(K) - S(F) < \cfrac{\epsilon}{4} \ (2) \\ \end{array}
Т.е основната идея беше да разширим леко неравенството като вкараме k и K от двете му страни, за да може да ползваме дефиницията за измеримост:
(14)
\begin{array} {l} S\underbrace{(k) \le S}_{\frac{\epsilon}{4}}\underbrace{(E) \le S(G) \le S}_{\frac{\epsilon}{2}}\underbrace{(F) \le S}_{\le \frac{\epsilon}{4}}(K) \end{array}
e/2 фиксираме от даденото, а двете е/4 идват от предната теорема (супремума и инфинума).
Криволинеен трапец
Дефиниция: Нека f(x) е непрекъсната върху [a,b] и f(x) неотрицателна върху [a,b].
Множество от точки в $R^2$:
(15)
\begin{array} {l} D = \{(x, y) : a \le x \le b , 0 \le y \le f(x) \} \end{array}
се нарича криволинеен трапец.
Нарича се така, защото ако си го начертаете ще получите фигура, която в 3 от страните наподобява правоъгълен трапец, а 4тата 'страна' е леко накъдрена - затова и 'криволинеен' трапец :)
Криволинейнят трапец е измерим
Теорема:
Нека f(x) e непрекъсната и неотрицателна върху [a,b], тогава трапец
$G = \{(x, y) : a \le x \le b , 0 \le y \le f(x) \}$ e измерима равнинна фигура и $S(G) = \int_a^b f(x)\ dx$
Това е може би една от най-важните теореми през този семестър. Тя прави връзката между лице на фигура и определен интеграл. Заради тази връзка е възникнал и самия интеграл и математиката се е развила много с цел да направи тази теорема факт (по-точно математиката първо е приела тази теорема за дефиниция на определен интеграл, и после е нагласила всичко останало (суми на риман, дарбу, свойства, глупости) за да се получи реален начин за изчисляването му). Това е първото практическо приложение на интеграла (и може би едно от най-важните).
Доказателство:
f(x) - непрекъсната върху [a,b] => f(x) е интегруема върху [a,b]
(16)
\begin{array} {l} \Rightarrow \forall \ \epsilon \ > \ 0 \ , \ \exists \delta = \delta_\epsilon \ > \ 0 \ , \ \forall \tau = \{x_i\}_{i =0}^n \ , \ \\ \delta_\tau \ < \ \delta \Rightarrow S_\tau - s_\tau \ < \ \epsilon \ \\ \end{array}
(17)
\begin{array} {l} \forall \tau = \{x_i\}_{i =0}^n - \mbox{ razbivane na } [a, b]\\ \mbox{if } \ m_i = \underset{x \in [x_{i - 1}, x_i]}\inf f(x)\\ \mbox{and }M_i = \underset{x \in [x_{i - 1}, x_i]}\sup f(x)\\ \mbox{Let }k_i = \{(x, y): \ x_{i-1} \le x \le x_i \ , \ 0 \le y \le m_i \}\\ \mbox{and }K_i = \{(x, y): \ x_{i-1} \le x \le x_i \ , \ 0 \le y \le M_i \}\\ \forall \ i = 1,n\\ k = \bigcup_{i = 1}^n k_i\\ K = \bigcup_{i = 1}^n K_i\\ k \subset G \subset K \mbox{ (1)}\\ \Rightarrow S(k) = \sum_{i = 1}^n S(k_i) = \sum_{i = 1}^n m_i(x_i-x_{i -1}) = \sum_{i = 1}^n m_i \Delta x_i = s_\tau\\ \Rightarrow S(K) = \sum_{i = 1}^n S(K_i) = \sum_{i = 1}^n M_i(x_i-x_{i -1}) = \sum_{i = 1}^n M_i \Delta x_i = S_\tau\\ \end{array}
(18)
\begin{array} {l} \\ \mbox{from f(x) integrable } \Rightarrow \ \forall \epsilon > 0 \ , \ \exists \ \delta + \delta_{\epsilon} > 0 \ , \ \forall \tau = \{ x_i \}_{i =0}^n\\ \Rightarrow \ S_{\tau} - s_{\tau} < \epsilon\\ \Rightarrow \ S(K) - S(k) = S_{\tau} - s_{\tau} < \epsilon\\ \end{array}
(19)
\begin{array} {l} \\ \overset{ \mbox{(1) } }{ \Longrightarrow } \mbox{ G is measurable.}\\ \end{array}
(20)
\begin{array} {l} \int_a ^b f(x) = \underset{ \tau }\sup s_\tau = \sup S(k) = S(G)\\ \end{array}
Още една теорема, че нещо е измеримо
Теорема:
Нека $f(x)$ и $g(x)$ са непрекъснати в/у $[a,b]$ и за всяко х от [a,b] $f(x) \le g(x)$, тогава множеството $D = \{(x, y) \ : \ a \le x \le b \ , \ f(x) \le y \le g(x) \}$ е измеримо и $S(D) = \int_a^b [g(x) - f(x)]dx$
Доказателство:
(21)
\begin{array} {l} G_1 = \{(x,y) : a \le x \le b \ , \ 0 \le y \le f(x)\}\\ G_2 = \{(x,y) : a \le x \le b \ , \ 0 \le y \le g(x)\}\\ D = G_2 \backslash G_1\\ \Rightarrow \ G_2 = D \bigcup G_1\\ \mbox{and } D \cap G_1 = \varnothing\\ \Rightarrow \ S(G_2) = S(D) + S(G_1)\\ \Rightarrow \ S(D) = S(G_2) - S(G_1) = \int_a^b g(x)dx - \int_a^b f(x)dx = \int_a^b [g(x) - f(x)]dx\\ \end{array}
Полярна координатна система
Следва да обърнем внимание на полярната координатна система и как стоят нещата с приложение на определени интеграли в нея.
(22)
\begin{array} {l} \overset{ \mbox{decart} }{ M(x_o , y_o) } \longrightarrow \overset{ \mbox{polar} }{ M(\theta , \rho)}\\ \cfrac{x_o}{ \rho } = \cos \theta \ \Rightarrow x_o = \rho \cos \theta\\ \cfrac{y_o}{ \rho } = \sin \theta \ \Rightarrow y_o = \rho \sin \theta\\ \rho = \sqrt{x_o^2 + y_o^2}\\ tg \theta = \cfrac{y_o}{x_o}\\ \end{array}
Криволинеен сектор
Дефиниция:
Нека функцията $\rho = \rho( \theta ) \ , \ \theta \in \ [ \alpha , \beta ] \ (0 \le \alpha \le \beta \le \ 2 \pi)$
е непрекъсната върху [α ,β]. Kриволинеен сектор наричаме множеството $D = \{ (\theta \ , \ \rho) \ : \ \alpha \le \theta \le \beta \ , \ 0 \le \rho \le \rho ( \theta )\}$
Криволинейният сектор е измерим
Теорема:
ако $\rho = \rho( \theta )$ е непрекъсната върху $[\alpha , \beta]$
и $D = \{ (\theta \ , \ \rho) \ : \ \alpha \le \theta \le \beta \ , \ 0 \le \rho \le \rho ( \theta )\}$ следва че D е измерим и лицето и е $S(D)= \cfrac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 (\theta )d \theta$
Доказателство:
(23)
\begin{array} {l} \rho (\theta ) \mbox{ is continuous in } [\alpha, \beta] \ \Rightarrow \ \rho( \theta ) \mbox{ is integratable in }[\alpha, \beta]\\ \mbox{Let } \tau = {\theta }_{i =0}^n \mbox{is a breaking of }[\alpha , \beta ]\\ \mbox{meaning : } \alpha = \theta_o < \theta_1 \mbox{ ... } < \theta_n = \beta\\ m_i = \underset{ \theta \in [\theta_{i - 1} , \theta_i]}\inf \rho (\theta)\\ M_i = \underset{ \theta \in [\theta_{i - 1} , \theta_i]}\sup \rho (\theta)\\ \end{array}
(24)
\begin{array} {l} \mbox{Let } k_i \mbox{ - section of the circumference with center O and radius } m_i \in [\theta_{i - 1} , \theta_i ]\\ \mbox{and } K_i \mbox{ - section of the circumference with center O and radius } M_i \in [\theta_{i - 1} , \theta_i ] \\ \end{array}
(25)
\begin{array} {l} \Rightarrow k_i \mbox{ and }K_i \mbox{ measurable }\\ S(k_i) = \cfrac{m_i^2 \Delta \theta_i}{2}\\ S(K_i) = \cfrac{M_i^2 \Delta \theta_i}{2}\\ \Delta \theta = \theta_i - \theta_{i - 1}\\ \Rightarrow k = \bigcup_{i = 1}^n k_i \mbox{ and } K = \bigcup_{i = 1}^n K_i \mbox{ are measurable }\\ \ k \subset D \subset K \\ S(k) + \sum_{i = 1}^n \cfrac{m_i^2 \Delta \theta_i}{2} s_\tau (\cfrac{\rho^2 (\theta ) \Delta \theta_i}{2})\\ S(K) + \sum_{i = 1}^n \cfrac{M_i^2 \Delta \theta_i}{2} S_\tau (\cfrac{\rho^2 (\theta ) \Delta \theta_i}{2})\\ \end{array}
(26)
\begin{array} {l} \\ \forall \epsilon \ , \ \exists \delta + \delta_\epsilon > 0 , \forall \tau = \{\theta \}_{i= 0}^n : \delta{_\tau} < \delta\\ \Rightarrow S_\tau (\cfrac{\rho^2 (\theta ) \Delta \theta_i}{2}) - s_\tau (\cfrac{\rho^2 (\theta ) \Delta \theta_i}{2}) < \epsilon \\ S_\tau (\cfrac{\rho^2 (\theta ) \Delta \theta_i}{2}) - s_\tau (\cfrac{\rho^2 (\theta ) \Delta \theta_i}{2}) = S(K) - S(k) < \epsilon\\ \end{array}
следователно D е измерима равнинна фигура.
(27)
\begin{array} {l} S(D) + \underset{ k \in D }\sup S(k) = \unterset{ \theta }\sup s_\tau ( \cfrac{\rho^2}{2} ) \int_\alpha^\beta \cfrac{\rho^2 (\theta )}{2} d(\theta )\\ \end{array}
Автор: "HeypaBHoBeceH"