Тема 6

Интегриране по части и смяна на променливата в определения интеграл


Формула за интегриране по части на определен интеграл

Теорема:
Формулата за интегриране по части при определения интеграл има вида

(1)
\begin{array} {l} \int_{a}^{b} f(x).g'(x)\ dx = f(x).g(x) \Big|_a^b - \int_{a}^{b} g(x).f'(x)\ dx \end{array}

Доказателство:

Смяна на променливата в определен интеграл

При пресмятането на определени интеграли понякога е по-удобно да се прибегне към смяна на променливата:
Теорема
Нека функцията f(x) е непрекъсната в интервала [a,b], а функцията $\varphi(t)$ е диференцируема и притежава непрекъсната производна в един интервал [α,β] като нейните функционални стойности принадлежат на интервала [a,b] и

(5)
\begin{array} {l} \varphi ( \alpha ) = a,\hspace{3 mm}\varphi ( \beta ) = b \end{array}

Тогава е в сила равенството

(6)
\begin{array} {l} \int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f[ \varphi( t )]. \varphi^\prime(t)\, dt \end{array}

Доказателство:


Автор: "gotinata_16"

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License