Тема 5

Интеграл с променлива горна граница.Формула на Нютон-Лайбниц.


В момента определеният интеграл за нас е абстрактно понятие, свързано с риманови суми (и много квантори - "за всичко" и "съществува"), а неопределен интеграл е съвкупност от функции, примитивни на дадена(еднакви с точност до константа) - две на пръв поглед несвързани с нищо понятия1.В тази точка ще докажем една теорема, която показва фундаменталната връзка между двете, позволяваща да пресмятаме определен интеграл, като използваме неопределен.

Ще използваме свойство 5 от предходната точка, а именно:

(1)
\begin{array} {l} \\ \mbox{Let } f(x) \mbox{ integrable over } [a, b]\\ \Longrightarrow \forall x \in [a, b]\\ {}\hspace{5 mm}f(x) \mbox{ integrable over } [a, x] \longrightarrow F(x) = \int_a^x f(t)\ dt\\ {}\hspace{5 mm}f(x) \mbox{ integrable over } [x, b] \longrightarrow G(x) = \int_x^b f(t)\ dt\\ \end{array}

Ще използваме означенията F(x), G(x) занапред в теоремите без да ги описваме!

Теорема за непрекъснатостта

Tеорема:
Нека f(x) интегруема върху [a, b]
=> F(x) е непрекъсната (continuous) върху [a, b]

Доказателство:

Ще използваме дефиницията за непрекъснатост, която знаем от първия семестър. След това ще ограничим нарастването на F и ще използваме теоремата за 2мата полицая (и студентът от КН).

(2)
\begin{array} {l} F(x) \mbox{ continuous over } [a, b] \overset{\mbox{de{}f.}}\iff \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim \big(F(x_0 + \Delta x) - F(x_0)\big) = 0\hspace{3 mm} \forall x_0 \in [a, b]\\ \end{array}
(3)
\begin{array} {l} \mbox{Let. } x_0 \in [a, b]\\ \end{array} \begin{array}{rcl} \Delta F(x_0) &=& F(x_0 + \Delta x) - F(x_0)\\ &=& \int_a^{x_0 + \Delta x} f(x)\ dx - \int_a^{x_0} f(x)\ dx\\ &=& \int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)\ dx\ (\star)\\ \end{array} \begin{array}{rcl} f(x) \mbox{ integrable over } [a, b] \Longrightarrow f(x) \mbox{ bounded over } [a, b] \Longrightarrow \exists M : |f(x)| \le M\hspace{3 mm}\forall x \in [a, b]\ (\star\star)\\ \end{array} \begin{array}{rcl} |\Delta F(x_0)| &\overset{(\star)}=& |\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)\ dx|\\ &\overset{(CB.4)}\le& |\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} |f(x)|\ dx|\\ &\overset{(\star\star)}\le& |\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} M\ dx|\\ &=& |M \Delta x|\\ &=& |M||\Delta x| \end{array} \begin{array}{cclcc} 0 & \le & |\Delta F(x_0)| & \le & |M||\Delta x|\\ \downarrow & & \hspace{5 mm}\downarrow \mbox{T2P} & & \downarrow\\ 0 & & \hspace{5 mm}0 & & 0\\ \end{array} \begin{array}{cclcc} \Longrightarrow \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim |\Delta F(x_0)| = 0\hspace{3 mm}\forall x_0\\ F(x) \mbox{ continuous in every } x_0 \in [a, b] \Longrightarrow F(x) \mbox{ continuous over } [a, b]\\ \end{array}

С което доказахме, че F(x) е непрекъсната! (T2P е теоремата за 2мата полицая ;))∎

Най-важната теорема в тази тема

Тази теорема всъщност е основната в тази точка. Формулата на Нютон-Лайбниц се доказва на 2 реда като се използва тази. Тя гласи, че съществува производната на F(x) в точките в които f(x) е непрекъсната и тази производна е точно f(x) (F'(x) = f(x) за всяко x за което f(x) е непрекъсната).
Така доказваме, че F(x) е примитивна на f(x) ако тя е непрекъсната в [a, b] (какъвто беше случая с неопределения интеграл).
Tеорема:
Нека $f(x)$ e интегруема върху $[a,b]$ и непрекъсната в $x_0 \Longrightarrow \exists \ F'(x_0) = f(x_0)$

Доказателство:

Ще докажем теоремата, като използваме дефиницията на производна в точка - а именно нарастването на функцията върху нарастването на аргумента. Ще развием израза $\Delta F/ \Delta x - f(x_0)$ и ще докажем, че клони към 0.

(4)
\begin{align} \begin{array}{l} \mbox{Let }\Delta F(x_0) = F(x_0 + \Delta x) - F(x_0)\\ \begin{array}{rcl} \dfrac{\Delta F(x_0)}{\Delta x} - f(x_0) &=& \frac{1}{\Delta x} \int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)\ dx - f(x_0)\\ &=& \frac{1}{\Delta x}\Big(\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)\ dx - f(x_0) \Delta x\Big)\\ &=& \frac{1}{\Delta x}\Big(\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)\ dx - \int_{x_0}^{x_0 + \Delta x}f(x_0)\ dx\Big)\\ &=& \frac{1}{\Delta x}\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} \big(f(x) - f(x_0)\big)\ dx\\ \end{array}\\ \Longrightarrow \Big|\dfrac{\Delta F(x_0)}{\Delta x} - f(x_0)\Big| = \frac{1}{|\Delta x|} \Big|\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} \big(f(x) - f(x_0)\big)\ dx\Big|\\ \le \frac{1}{|\Delta x|} \Big|\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} \big|f(x) - f(x_0)\big|\ dx\Big|\ (\star)\\ \\f(x) \mbox{ continuous in } x_0 \Longrightarrow\\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta_x(\epsilon) > 0 : \forall x \in [x_0 - \delta,x_0 + \delta] \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon\\ \mbox{Fix. } \epsilon_0 > 0,\ \delta_0 = \delta_x(\epsilon_0) > 0\\ \forall |\Delta x| < \delta_0 \Longrightarrow |f(x) - f(x_0)| < \epsilon_0\hspace{3 mm}\forall x \in [x_0-\Delta x, x_0+\Delta x]\\ \Longrightarrow (\star) \le \frac{1}{|\Delta x|} \Big|\int_{x_0}^{x_0 + \Delta x} \big|\epsilon_0\big|\ dx\Big| = \frac{1}{|\Delta x|} \epsilon_0 |\Delta x| = \epsilon_0\\ \Longrightarrow \forall \epsilon,\ \exists \delta = \delta_x(\epsilon) : \forall \Delta x < \delta \Longrightarrow \Big|\dfrac{\Delta F(x_0)}{\Delta x} - f(x_0)\Big| < \epsilon\\ \Longrightarrow \underset{\Delta x \longrightarrow 0}\lim \dfrac{\Delta F(x_0)}{\Delta x} = f(x_0)\\ \Longrightarrow \exists F'(x_0) = f(x_0) \end{array}\\ \end{align}

Първо сведохме разликата |ΔF/Δx - f(x_0)| до интеграл в който участва f(x) - f(x_0), после просто използвахме дефиницията за непрекъснатост в точка. Тъй като Δx клони към 0, то винаги можем да го изберем по-малко от δ_0.

Формула на Нютон-Лайбниц

Tеорема:
Нека f(x) е непрекъсната върху [a, b] и Φ(x) е нейна примитивна върху [a, b]. Тогава:

(5)
\begin{array} {l} \int_a^b f(x)\ dx = \Phi(b) - \Phi(a) = \Phi(x)\Big|_a^b \end{array}

Доказателство:

Ще използваме Основната Теорема на Интегралното Смятане (ОТИС), а именно че 2 примитивни функции на дадена се различават с константа. Оттам нататък използваме предишната теорема и свеждаме F(b) до Φ(b) - Φ(a):

По дефиниция имаме, че $F(x) = \int_a^x f(x)\ dx\quad\forall x \in [a, b]$. Доказахме в предната теорема, че $F'(x) = f(x)\quad\forall x \in [a, b]$ защото f(x) е непрекъсната върху [a, b]. Следователно F(x) е примитивна на f(x) върху [a,b].
Взимаме примитивната функция на f(x) от дефиницията за примитивна функция $\Phi '(x) = f(x)$ (разбира се примитивна за интервала [a,b]). Следователно имаме, че $\exists c\in \mathbb{R} : \forall x \in [a,b] \Rightarrow \Phi(x) = F(x)+c$.

(6)
\begin{array} {lcl} \Longrightarrow \Phi(x)\Big|_a^b = \Phi(b) - \Phi(a) = F(b) + c - (F(a) + c) = F(b) - F(a)\\ = \int_a^b f(x)\ dx - \int_a^a f(x)\ dx = \int_a^b f(x)\ dx - 0 = \int_a^b f(x)\ dx\\ \end{array}

Теорема за средните стойности на определен интеграл

Tеорема:
Нека f(x) е непрекъсната върху [a, b]

(7)
\begin{array} {l} \Longrightarrow \exists c \in (a, b) : \int_a^b f(x)\ dx = f(c)(b - a) \end{array}

Доказателство:

Доказателството използва теоремата на Лагранж от първия семестър:
Ако f(x) e:

  1. непрекъсната върху [a, b]
  2. диференцируема върху (a, b)

Тогава съществува c от [a, b]:

(8)
\begin{array} {l} \\ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}\\ \iff f'(c)(b-a) = f(b) - f(a) \end{array}

Сега ще използваме тази теорема върху примитивна функция на f(x) в интервала [a, b]:

Нека $\Phi (x)$ примитивна на $f(x)$ върху [a, b].
$\Longrightarrow$
${1. } \Phi(x)$ непрекъсната върху [a, b]. (следва от Теорема за непрекъснатостта от тази тема)
${2. } \exists \Phi'(x)\hspace{3 mm}\forall x \in (a, b)$
От теоремата на Лагранж $\Longrightarrow \exists c \in (a, b): \Phi'(c)(b - a) = \Phi(b) - \Phi(a)$ коет от Теоремата на Нютон-лайбниц е точно $\int_a^b f(x)\ dx$
Но $f(c)$ е непрекъсната в точка $c \Rightarrow \Phi'(c) = f(c) \Longrightarrow f(c)(b - a) = \int_a^b f(x)\ dx$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License