Тема 4

Свойства на определения интеграл


В тази точка ще докажем 6 много важни свойства, които ще ни помагат да изчисляваме по-лесно определени интеграли (защото само от дефиницията не е особено приятно). Чак в следващата точка е връзката между определения и неопределения интеграл, но при нейното доказателство се ползват точно тези 6 свойства (може би не всичките :)).

Свойство 1

Това свойство ни помага да се справяме с константни интеграли (т.е интеграли върху константни функции):

(1)
\begin{array} {l} \\ \int_a^b 1\ dx = b - a \end{array}

Доказателство:

Стойноста на интеграла е всъщност супремума от малките суми на Дарбу за всяко разбиване (този факт важи за всички функции - не само константните):

(2)
\begin{array} {l} \\ \mathrm I = \int_a^b 1\ dx = \underset{\tau}\sup\ s_\tau = \underset{\tau}\sup\ \sum_{i=1}^n 1 \Delta x_i = \underset{\tau}\sup\ b - a = b - a \end{array}

Дефиниция:
Интеграл върху интервал с дължина 0.

(3)
\begin{array} {l} \int_a^a f(x)\ dx = 0\\ a < b \Longrightarrow \int_b^a f(x)\ dx = -\int_a^b f(x)\ dx\\ \end{array}

Свойство 2

Това е едно от най-важните свойства - че интегралът всъщност е линеен функционал (яко звучи, а?):

(4)
\begin{array} {rcl} \int_a^b \Big[f(x) \pm g(x)\Big]\ dx & = & \int_a^b f(x)\ dx \pm \int_a^b g(x)\ dx \\ \int_a^b \lambda f(x)\ dx & = & \lambda \int_a^b f(x)\ dx\\ \end{array}

Разбира се функциите f, g са интегруеми върху [a, b] и λ е реално.

Доказателство:

Ще докажем първото свойство като използваме дефиницията за интегруемост на функциите f и g и после ще докажем (пак чрез дефиницията), че стойността на интеграла от сумата е сума на интегралите от f и g:

(5)
\begin{align} \begin{array}{l} f(x) \mbox{ integrable}\\ \Longrightarrow \exists\ \mathrm I_1,\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta_1 = \delta_1(\epsilon) > 0,\ {}\\ \forall \tau' = \{x_i'\}_{i=0}^n,\ \delta_{\tau'} < \delta_1,\ \forall c' = \{c_i'\}_{i=1}^n, c_i' \in [x_{i-1}', x_i'] :\\ |\boldsymbol\sigma_{\tau'}(f, c') - \mathrm I_1| < \dfrac{\epsilon}2\ (\star)\\ \\ g(x) \mbox{ integrable}\\ \Longrightarrow \exists\ \mathrm I_2,\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta_2 = \delta_2(\epsilon) > 0,\ {}\\ \forall \tau'' = \{x_i''\}_{i=0}^n,\ \delta_{\tau''} < \delta_2,\ \forall c'' = \{c_i''\}_{i=1}^n, c_i'' \in [x_{i-1}'', x_i''] :\\ |\boldsymbol\sigma_{\tau''}(g, c'') - \mathrm I_2| < \dfrac{\epsilon}2 (\star\star)\\ \\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \min \{\delta_1, \delta_2\} : \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n,\ \delta_\tau < \delta\\ \forall \tau,\ \delta_\tau < \delta,\ \forall c:\\ \begin{array}{rcl} |\boldsymbol\sigma_\tau(f+g,c) - (\mathrm I_1 + \mathrm I_2)| &=& |\boldsymbol\sigma_\tau(f, c) + \boldsymbol\sigma_\tau(g, c) - (\mathrm I_1 + \mathrm I_2)| \\ &\le& |\boldsymbol\sigma_\tau(f, c) - \mathrm I_1| + |\boldsymbol\sigma_\tau(g, c) - \mathrm I_2| \\ &\overset{(\star), (\star\star)} < & \dfrac{\epsilon}2 + \dfrac{\epsilon}2 = \epsilon \end{array} \end {array} \end{align}

Ключовото в случая е, че при този избор на δ си гарантираме, че големината на разбиването τ ще е достатъчно малка, за да е изпълнено условието в (*) и (**) за големина на разбиването (други условия няма => спокойно ги ползваме и си доказваме свойството).
Доказателството на 2рото свойство е напълно аналогично:

(6)
\begin{align} \begin{array}{l} \\ f(x) \mbox{ integrable}\\ \Longrightarrow \exists\ \mathrm I_3,\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta_3 = \delta_3(\epsilon) > 0,\ {}\\ \forall \tau''' = \{x_i'''\}_{i=0}^n,\ \delta_{\tau'''} < \delta_3,\ \forall c''' = \{c_i'''\}_{i=1}^n, c_i''' \in [x_{i-1}''', x_i'''] :\\ |\boldsymbol\sigma_{\tau'''}(f, c''') - \mathrm I_3| < \dfrac{\epsilon} \lambda \ (\star\star\star)\\ \\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta_3 : \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n,\ \delta_\tau < \delta\\ \forall \tau,\ \delta_\tau < \delta,\ \forall c:\\ \begin{array}{rcl} |\boldsymbol\sigma_\tau( \lambda f,c) - \lambda \mathrm I_3| &=& | \lambda \boldsymbol\sigma_\tau(f, c) - \lambda \mathrm I_3| \\ &=& \lambda |\boldsymbol\sigma_\tau(f, c) - \mathrm I_3| \\ &\overset{(\star\star\star)}<& \lambda \dfrac{\epsilon} \lambda = \epsilon \end {array} \end {array} \end{align}

Свойство 3

Интеграл от неотрицателна функция е неотрицателно число:

(7)
\begin{array} {l} \\ f(x) \mbox{ integrable over } [a, b] \mbox{ and } f(x) \ge 0,\ \forall x \in [a, b]\\ \Longrightarrow \mathrm I = \int_a^b f(x)\ dx \ge 0\\ \end{array}

Доказателство:

Ще докажем това свойство използвайки малка сума на Дарбу. Ключовото в случая е, че минимума върху всеки интервал е неотрицателен, от където следва, че сумата от минимумите по дължините на интервалите е неотрицателна:

(8)
\begin{array} {l} \forall \tau: s_\tau = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i, \mbox{ where } m_i = \underset{x \in [x_{i-1}, x_i]}\inf f(x) \ge 0, \mbox{ since } f(x) \ge 0\\ \Longrightarrow \forall \tau : s_\tau = \sum_{i=1}^n \underbrace{m_i}_{\ge 0} \underbrace{\Delta x_i}_{\ge 0} \ge 0\\ \Longrightarrow \mathrm I = \underset{\tau}\sup\ s_\tau \ge 0 \end{array}

Доказахме, че всички суми на Дарбу са неотрицателни => супремумът им също е неотрицателен.

Следствие:
Като комбинираме свойство 2 със свойство 3 получаваме следното много важно следствие:

(9)
\begin{array} {l} \\ f, g \mbox{ integrable over } [a, b] \mbox { and } f(x) \ge g(x)\ \forall x \in [a, b]\\ \Longrightarrow \int_a^b f(x)\ dx \ge \int_a^b g(x)\ dx \end{array}

Доказателство:

(10)
\begin{array} {l} \\ f(x) \ge g(x) \Longrightarrow f(x) - g(x) \ge 0\\ 0 \overset{(CB.3)}\le \int_a^b \Big[f(x) - g(x)\Big]\ dx \overset{(CB.2)}= \int_a^b f(x)\ dx - \int_a^b g(x)\ dx\\ \Longrightarrow 0 \le \int_a^b f(x)\ dx - \int_a^b g(x)\ dx \iff \int_a^b f(x)\ dx \ge \int_a^b g(x)\ dx\\ \end{array}

Свойство 4

Това са 2 удобни факта свързани с модули, които ще използваме по нататък. Ако мислите за определения интеграл като за лице на фигура под графиката на функция (а вие трябва да мислите така в общия случай, защото помага при разсъжденията повече, отколкото дефиницията) и вземете предвид, че ако графиката е под Ox, то лицето се взима с обратен знак, тогава ако обърнем цялата графика на функцията отгоре (т.е сложим модул), лицето на цялото нещо ще е повече от лицето преди обръщането (разбира се - нали сме махнали отрицателните неща и сме ги сложили като положителни ;) — тук някой да нарисува картинка).

(11)
\begin{array} {l} \\ f(x) \mbox{ integrable over } [a, b]\\ \Longrightarrow\\ {}\hspace{10 mm}\mbox{1. } |f(x)| \mbox{ integrable over } [a, b]\\ {}\hspace{10 mm}\mbox{2. } |\int_a^b f(x)\ dx| \le \int_a^b |f(x)|\ dx\\ \end{array}

Доказателство:

Доказателството на първия факт използва едно неравенство с модули и критерия за интегруемост с осцилация:

(12)
\begin{array} {l} f(x) \mbox { integrable over } [a, b] \Longrightarrow \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0,\ \forall \tau, \delta_\tau < \delta \Longrightarrow \sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i < \epsilon\\ \omega_i(|f|) = \underset{x', x'' \in [x_{i-1}, x_i]}\sup ||f(x')| - |f(x'')|| \le \underset{x', x'' \in [x_{i-1}, x_i]}\sup |f(x') - f(x'')| = \omega_i(f)\\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0,\ \forall \tau, \delta_\tau < \delta \Longrightarrow \sum_{i=1}^n \omega_i(|f|) \Delta x_i \le \sum_{i=1}^n \omega_i(f) \Delta x_i < \epsilon \Longrightarrow |f(x)| \mbox{ integrable}\\ \end{array}

Колкото до второто твърдение - използваме простия факт, че $x \le |x|$ и $-x \le |x|$

(13)
\begin{align} \begin{array}{l} \\ \begin{array}{rcc} f(x) &\le& |f(x)|\\ -f(x) &\le& |f(x)|\\ \end {array} \Longrightarrow\\ \int_a^b f(x)\ dx \le \int_a^b |f(x)|\ dx (\star)\\ \int_a^b -f(x)\ dx \le \int_a^b |f(x)|\ dx \iff -\int_a^b f(x)\ dx \le \int_a^b |f(x)|\ dx (\star\star)\\ \overset{(\star), (\star\star)}\Longrightarrow |\int_a^b f(x)\ dx| \le \int_a^b |f(x)|\ dx \end {array} \end{align}

Щом $x \le a$ и $-x \le a \Longrightarrow |x| \le a$ (защото |x| е или x или -x)

Свойство 5

Ако функция е интегруема върху даден интервал, то тя е интегруема и върху всеки подинтервал.

(14)
\begin{array} {l} \\ f(x) \mbox{ integrable over } [a, b]\\ \forall\ [c, d] \subset [a, b] \Longrightarrow f(x) \mbox{ integrable over } [c, d] \end{array}

Доказателство:

Това очевидно свойство има може би не чак толкова очевидно доказателство :). Ще използваме критерия за интегруемост с осцилация и ще покажем, че за всяка сума на осцилациите върху малкия интервал съществува сума на осцилациите върху големия (т.е едното разбиване ще бъде 'вътре' в другото); така понеже всички членове са положителни, търсената сума е < ϵ

(15)
\begin{array} {l} \forall \tau^{[c, d]} : \delta_{\tau^{[c, d]}} < \delta,\ \exists \tau^{[a, b]} : \tau^{[a, b]} \supset \tau^{[c, d]} \mbox{ and } \delta_{\tau^{[a, b]}} < \delta \end{array}

`

т.е за всяко разбиване на интервала [c, d] с големина < δ съществува разбиване на интервала [a, b] с големина < δ, така че разбиването на големия интервал 'добавя' точки към разбиването на малкия (разбиването на малкия е подмножество на разбиването на големия). Сега просто ще напишем сумата на осцилациите за малкия интервал и ще видим, че съществува по-голяма сума (от осцилации на големия интервал), за която сме сигурни, че е по-малка от ϵ.

(16)
\begin{array} {l} \\ f(x) \mbox { integrable over } [a, b]\\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta_x(\epsilon) > 0,\ \forall \tau^{[a, b]} = \{x_i\}_{i=0}^n: \delta_{\tau^{[a, b]}} < \delta\\ \Longrightarrow \sum_{i=1}^n \omega_i^{[a, b]}(f) \Delta x_i < \epsilon\ (\star)\\ \\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta_x(\epsilon) > 0,\ {} \forall \tau^{[c, d]} = \{x_i'\}_{i=0}^m, \delta_{\tau^{[c, d]}} < \delta:\\ \sum_{i= 1}^m \omega_i^{[c, d]}(f) \Delta x_i' \overset{\Diamond}\le \sum_{i=1}^n \omega_i^{[a, b]}(f) \Delta x_i \overset{(\star)}< \epsilon\\ \end{array}

⧫ e вярно, защото конструираме разбиването на големия интервал по показания в началото на доказателството начин. Това построяване ни гарантира, че осцилациите на малкия интервал са равни на съответните им осцилации на големия, само че в сумата при големия има още (добавени) осцилации. Т.е неравенството е изпълнено, защото към една сума добавяме положителни елементи.

Свойство 6

(17)
\begin{array} {l} \\ f(x) \mbox{ intergrable over } [a, b] \mbox { and } a < c < b\\ \Longrightarrow \int_a^b f(x)\ dx = \int_a^c f(x)\ dx + \int_c^b f(x)\ dx\\ \end{array}

Доказателство:

(18)
\begin{array} {l} f(x) \mbox{ integrable over } [a, b] \overset{\mbox{CB.5}}\Longrightarrow f(x) \mbox{ integrable over } [a, c] \mbox{ and } [c, b]\\ \end{array}

Ще означим с i, ii и iii фактите от определенията на интегруема функция за f(x) върху интервали [a, c], [c, b] и [a, b]. (т.е в момента само разписваме определения не правим никакви логически заключения:))

(19)
\begin{align} \begin{array}{l} \\ f(x) \mbox{ integrable over } [a, c] \overset{\mbox{de{}f.}}\Longrightarrow\\ (i)\hspace{5 mm} \exists \mathrm I_1 : \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta_1 = \delta_1(\epsilon) : \forall \tau' + \{x_i'\}_{i=0}^{n'}: \delta_{\tau'} < \delta_1,\\ \forall c' + \{c_i'\}_{i=1}^{n'}, c_i' \in [x_{i-1}', x_i']\\ \Longrightarrow |\boldsymbol\sigma_\tau'(f, c') - \mathrm I_1| < \epsilon\\ \\ f(x) \mbox{ integrable over } [c, b] \overset{\mbox{de{}f.}}\Longrightarrow\\ (ii)\hspace{5 mm} \exists \mathrm I_2 : \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta_2 = \delta_2(\epsilon) : \forall \tau'' + \{x_i''\}_{i=0}^{n''}: \delta_{\tau''} < \delta_2,\\ \forall c'' + \{c_i''\}_{i=1}^{n''}, c_i'' \in [x_{i-1}'', x_i'']\\ \Longrightarrow |\boldsymbol\sigma_\tau''(f, c'') - \mathrm I_2| < \epsilon\\ \\ f(x) \mbox{ integrable over } [a, b] \overset{\mbox{de{}f.}}\Longrightarrow\\ (iii)\hspace{5 mm} \exists \mathrm I : \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta(\epsilon) : \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^{n}: \delta_{\tau} < \delta,\\ \forall c + \{c_i\}_{i=1}^{n}, c_i \in [x_{i-1}, x_i]\\ \Longrightarrow |\boldsymbol\sigma_\tau(f, c) - \mathrm I| < \epsilon\\ \\ \forall \epsilon, \exists \delta_0 = \min \{\delta(\epsilon), \delta_1(\epsilon), \delta_2(\epsilon)\}.\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{Let. } \bar\tau = \bar\tau' \cup \bar\tau'' : \delta_{\bar\tau'} < \delta_0, \delta_{\bar\tau''} < \delta_0\\ {}\hspace{10 mm}\bar\tau' \mbox{ razbivane na } [a, c]\\ {}\hspace{10 mm}\bar\tau'' \mbox{ razbivane na } [c, b]\\ {}\hspace{10 mm}\Longrightarrow \bar\tau \longrightarrow \mbox{ razbivane na } [a, b]\\ {}\hspace{5 mm}\mbox{Let. } \bar c = \bar c' \cup \bar c''\\ {}\hspace{10 mm}\bar c' \mbox{ nabor v/u } \bar\tau'\\ {}\hspace{10 mm}\bar c'' \mbox{ nabor v/u } \bar\tau''\\ {}\hspace{10 mm}\Longrightarrow \bar c \longrightarrow \mbox { nabor v/u } [a, b]\\ \\ \overset{\mbox{construction of }\bar\tau\mbox{ and }\bar c}\Longrightarrow \boldsymbol\sigma_{\bar\tau} (f, \bar c) = \boldsymbol\sigma_{\bar\tau'} (f, \bar c') + \boldsymbol\sigma_{\bar\tau'} (f, \bar c'')\ (\star)\\ \left\{ \begin{array}{lcccl} \overset{(i)}\Longrightarrow & |\boldsymbol\sigma_{\bar\tau'} (f, \bar c') - \mathrm I_1| &<& \epsilon \\ \overset{(ii)}\Longrightarrow & |\boldsymbol\sigma_{\bar\tau''} (f, \bar c'') - \mathrm I_2| &<& \epsilon \\ \overset{(iii)}\Longrightarrow & |\boldsymbol\sigma_{\bar\tau} (f, \bar c) - \mathrm I| &<& \epsilon \\ \end {array} \right\} (\heartsuit)\\ \\ \begin{array}{rcl} |\mathrm I - (\mathrm I_1 + \mathrm I_2)| &=& |\mathrm I - \boldsymbol\sigma_{\bar\tau} (f, \bar c) + \boldsymbol\sigma_{\bar\tau} (f, \bar c) - (\mathrm I_1 + \mathrm I_2)| \\ &\le& |\mathrm I - \boldsymbol\sigma_{\bar\tau} (f, \bar c)| + |\boldsymbol\sigma_{\bar\tau} (f, \bar c) - (\mathrm I_1 + \mathrm I_2)|\\ &\overset{(*)}=& |\mathrm I - \boldsymbol\sigma_{\bar\tau} (f, \bar c)| + |\boldsymbol\sigma_{\bar\tau'} (f, \bar c') + \boldsymbol\sigma_{\bar\tau'} (f, \bar c'') - (\mathrm I_1 + \mathrm I_2)|\\ &\le& |\mathrm I - \boldsymbol\sigma_{\bar\tau} (f, \bar c)| + |\boldsymbol\sigma_{\bar\tau'} (f, \bar c') - \mathrm I_1| + |\boldsymbol\sigma_{\bar\tau'} (f, \bar c'') - \mathrm I_2|\\ &\overset{(\heartsuit)}\le& \epsilon + \epsilon + \epsilon = 3\epsilon \end {array}\\ \Longrightarrow |\mathrm I - (\mathrm I_1 + \mathrm I_2)| = 0\\ \Longrightarrow \mathrm I = \mathrm I_1 + \mathrm I_2\\ \Longrightarrow \int_a^b f(x)\ dx = \int_a^c f(x)\ dx + \int_c^b f(x)\ dx\\ \end {array} \end{align}

Done!

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License