Суми на Дарбу. Критерий за интегруемост на функция.

Малка и голяма суми на Дарбу

Дефиниция:
Нека $f(x)$ е ограничена върху $[a, b]$
$\tau$ e разбиване на интервала $[a, b]$

(1)
\begin{array} {l} m_i = \underset{x \in [x_{i-1}, x_i]}\inf\, f(x);\, \rightarrow s_\tau = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i \\ M_i = \underset{x \in [x_{i-1}, x_i]}\sup\, f(x);\, \rightarrow S_\tau = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i \end{array}

Това са съответно малка и голяма суми на Дарбу.

Те са важни, защото дават долна и горна граница на всички суми на Риман при фиксирано разбиване τ. Наборът на малката сума са най-малките стойности на $f(x)$ във всеки интервал, а на голямата - най-големите.(което опростява донякъде работата). Сега ще разгледаме 5 свойства, които ще ни помогнат да докажем така наречения критерий за интегруемост, който помага да разберем дали дадена функция е интегруема, или не. (Както се досещате теоремата ще ни дава по-обозрим начин от същинската дефиниция).

Свойства на сумите на Дарбу

Свойство 1

Всяка сума на Риман за произволно разбиване е по-голяма от малката и по-малка от голямата сума на Дарбу за съответното разбиване.

(2)
\begin{array} {l} \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n,\, \forall c = \{c_i\}_{i=1}^n : c_i \in [x_{i-1}, x_i] \\ \Longrightarrow s_\tau \le \boldsymbol{\sigma}_\tau (f, c) \le S_\tau \end{array}

Доказателство:

Свойство 2

Mалката сума на Дарбу за дадено разбиване е минимума от всички Риманови суми върху това разбиване и произволен набор.
Почти същото в обратната посока за голямата сума на Дарбу.

(4)
\begin{array} {l} s_\tau = \underset{c}{\inf}\, \boldsymbol{\sigma}_\tau (f, c) \\ S_\tau = \underset{c}{\sup}\, \boldsymbol{\sigma}_\tau (f, c) \end{array}

Доказателство:

Свойство 3

Неформално това свойство гласи, че при добавяне на произволен брой точки към дадено разбиване, новата малка сума на Дарбу ще бъде по-голяма от старата, а новата голяма сума на Дарбу ще бъде по-малка от старата (с други думи със увеличаването на броя точки сумите на Дарбу се приближават една към друга (разбира се не е важна бройката на точките, а това че разбиването с повече точки ще съдържа разбиването с по-малко точки))

(8)
\begin{array} {l} \forall \tau, \tau': \tau \subset \tau' \\ s_\tau \le s_{\tau'} \le S_{\tau'} \le S_\tau \\ \end{array}

Доказателство:

Свойство 4

Mалката сума на Дарбу винаги е не по-голяма от голямата сума на Дарбу, независимо от разбиването, което сме избрали. (в 1-во свойство доказахме че малката сума на Дарбу е по-малка от голямата, ако и двете са върху едно разбиване).

(12)
\begin{array} {l} \forall \tau, \tau' \Longrightarrow s_\tau \le S_{\tau'} \end{array}

Доказателство:

Свойство 5

Съществуват най-голяма малка и най-малка голяма суми на Дарбу. Най-голямата от малките е по-малка от най-малката от големите.

(14)
\begin{array} {l} \exists\ \underset{\tau}\sup\ s_\tau = \underline{\mathrm{I}}\\ \exists\ \underset{\tau}\inf\ S_\tau = \bar{\mathrm{I}}\\ \underline{\mathrm{I}} \le \bar{\mathrm{I}} \end{array}

Доказателство:

Критерий за интегруемост

Tеорема:
Тази теорема ни дава лесен и удобен начин да доказваме интегруемост на произволна функция, чрез използване на сумите на Дарбу.
Всъщност, това може да се брои за самата дефиниция на интеграл.
Нека $f(x)$ e дефинирана и ограничена върху $[a,b]$. $f(x)$ е интегруема върху $[a,b]$
$\iff \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n,\ \delta_\tau < \delta\ \Longrightarrow S_\tau - s_\tau < \epsilon$
f(x) е интегруема тогава и само тогава когато за всяко разбиване с големина клоняща към 0 разликата между голямата и малката суми на Дарбу клони към 0(записано с епсилон-делта дефиниция). Тоест ако малката и голямата суми на дарбу клонят към едно и също число то функцията е интегруема.
Доказателство:

Осцилация

Дефиниция:
Нека f(x) е ограничена върху [a, b].
Колебание (осцилация) на f(x) върху [a, b] наричаме:
$\omega(f) = M - m$, където

(22)
\begin{array} {l} {}\hspace{10 mm}M = \underset{x \in [a, b]}\sup f(x)\\ {}\hspace{10 mm}m = \underset{x \in [a, b]}\inf f(x)\\ \end{array}

С думи прости: разликата между максималната и минималната стойност на фукция в даден интервал е нейното колебание (осцилация).

Теорема:
Ако f(x) е ограничена върху [a, b], то:

(23)
\begin{array} {l} \omega(f) = \underset{x', x'' \in [a, b]}\sup |f(x') - f(x'')| \end{array}

Доказателство:

Kритерий за интегруемост с осцилация

Сега ще дадем еквивалентна теорема на доказаната преди малко, но дефинирана чрез осцилации на интервалите на $\tau$.
Tеорема:
Нека $f(x)$ е ограничена върху $[a, b]$
$f(x)$ е интегруема върху $[a, b]$, ако

(26)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n,\ \delta_\tau < \delta\\ \Longrightarrow \sum_{i= 1}^n \omega_i(f)\Delta x_i < \epsilon \end{array}

където
$\omega_i(f) = \omega (f)$ върху $[x_{i-1}, x_i]$
т.е заместваме разликата на сумите на Дарбу със сума от разликите между минимума и максимума във всеки един интервал (т.е осцилацията в този интервал). Идеята е, че осцилацията умножена по дължината на интервала е точно разликата между голямата и малката суми на Дарбу(поелементно) и искаме тя да клони към 0. Няма да доказвам тази теорема, понеже тя е 1:1 с горната, просто формулирана по различен начин.


Автор: Искрен Чернев

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License