Определен Риманов интеграл - дефиниция. Необходимо условие за интегруемост.
Разбиване на интервал
Дефиниция:
(1)
\begin{array} {l} \tau = \{x_i\}_{i=0}^n \ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b \end{array}
се нарича разбиване на интервала [a, b].
Тоест, разделяме интервала на N подинтервала от 1 до N, като големината на интервал i е:
(2)
\begin{array} {l} \Delta x_i = x_i - x_{i-1} \end{array}
Големина на разбиване/диаметър
Дефиниция:
(3)
\begin{array} {l} \delta_\tau = \overset{n}{\underset{i=1}{\max}}\Delta x_i \end{array}
се нарича големина на разбиването $\tau$(равна е на най-големия интервал от разбиването).
Набор от точки, отговарящ на разбиване $\tau$
Дефиниция:
Нека е дадено разбиване $\tau,\ \tau = \{x_i\}_{i=0}^n \ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$. Тогава
(4)
\begin{array} {l} \zeta = \{\zeta_i\}_{i=1}^n,\ \zeta_i \in [x_{i-1}, x_i],\ \forall i \in \{1...n\} \end{array}
се нарича набор от точки, отговарящ на разбиване $\tau$.
За напред често вместо $\zeta$ ще пишем c.
Сума на Риман
Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана и ограничена върху $[a,b]$
(5)
\begin{align} \tau = \{x_i\}_{i=0}^n, c = \{c_i\}_{i=1}^n : c_i \in [x_{i-1}, x_i] \newline \boldsymbol{\sigma}_\tau(f, c) &=& \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\Delta x_i \end{align}
се нарича Сума на Риман за разбиване $\tau$ на функция $f$ и стойности $c$.
Сумата на Риман е апроксимация за лицето на фигурата под графиката на функцията $f$. За всеки интервал вземаме по една(произволна) стойност на $f$ от него, която умножаваме по дължината на интервала. Сумата на Риман е сума от всички такива произведения. Графичното представяне на сумата на Риман е разбиване на графиката на правоъгълници, лицето на всеки от които е приближение за лицето под функцията в неговия интервал. Естествено, това важи само за функции, които са винаги неотрицателни. Трябва да се направи уточнението, че когато в някой интервал f(x) е отрицателна, то "лицето" там се взема с отрицателен знак(т.е. вече не е лице в математическия смисъл, преподаван в гимназията).
Обяснено една идея по-просто
Тъй като Wikidot нещо се дърпа на вграждане на външен HTML, последвайте този линк.
Интеграл на Риман
Дефиниция:
Числото $I$ се нарича определен интеграл на Риман от функцията $f$, върху интервал $[a, b]$, ако
(6)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0, \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n : \delta_\tau < \delta, \forall c = \{c_i\}_{i=1}^n : c_i \in [x_{i-1}, x_i] \newline \Rightarrow |\boldsymbol{\sigma}_\tau(f, c) - I| < \epsilon \end{array}
С колкото "по-тънки" правоъгълници покриваме функцията, толкова по-близко приближение ще получваме. Горната формула ни казва, че ако всички правоъгълници са безкрайно тънки(големината на разбиването клони към 0), то ще получим безкрайно точно приближение на функцията.
Следната дефиниция е по-кратка и е еквивалентна, но пропуска да опише всичко междинно което използва, затова на изпит не се приема:
(7)
\begin{align} I = \underset{\delta_\tau \to 0} {\lim} \boldsymbol{\sigma}_\tau (f, c) \end{align}
Интеграл се означава така:
(8)
\begin{align} I = \int_a^b f(x) dx \end{align}
Забележка: По никакъв начин не е гарантирано, че горното число $I$ всъщност съществува.
Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху интервала [a,b]. $f(x)$ е интегруема върху интервала [a,b] ако съществува определен интеграл от $f(x)$ върху [a,b]. В противен случай функцията не е интегруема върху този интервал.
Забележка: Областта е [a,b] - макар да не е написана във всички дефиниции, всяко разбиване е в [a,b]. На изпит трябва да се повториш десетина пъти.
Необходимо условие за интегруемост
Tеорема:
Връзка между интегруемост и ограниченост.
Нека $f(x)$ е интегруема върху интервала $[a, b] \Longrightarrow f(x)$ e ограничена върху $[a, b]$
Доказателство:
Дoпускаме, че $f(x)$ не е ограничена върху $[a, b]$.
Тъй като $f(x)$ е интегруема върху $[a, b] \Longrightarrow$
(9)
\begin{array} {l} \exists I \in \mathbb{R} : \forall \epsilon > 0, \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n, \delta_\tau < \delta : \forall c = \{c_i\}_{i=1}^n, c_i \in [x_{i-1}, x_i] \newline \Rightarrow |\boldsymbol{\sigma}_\tau(f, c) - I| < \epsilon \end{array}
фиксираме $\epsilon = 1$(може да е произволно число), избираме съответното му $\delta$ и фиксираме произволно разбиване τ, такова че $\delta_\tau < \delta$
Tъй като функцията не е ограничена върху интервала [a, b], то тя не е ограничена върху поне един интервал $[x_{i-1}, x_i]$. За определеност можем да считаме, че не е ограничена върху първия интервал $[x_0, x_1]$. Следователно:
(10)
\begin{array} {l} \exists c_1 \in [x_0, x_1] : f(c_1) \rightarrow \pm\infty \end{array}
Фиксираме произволен набор $c$, като избираме само числа във 2ри, 3ти … n-ти интервал (т.е пропускаме първия)
Сега за всяко едно число от първия интервал построяваме набор, който съдържа него + всички фиксирани преди малко. Разглеждаме следствието от интегруемостта за всички фиксирани в момента неща:
(11)
\begin{array} {l} I - 1 < \boldsymbol{\sigma}(f, c) = f(c_1)\Delta x_1 + \underbrace{\sum_{i=2}^n f(c_i)\Delta x_i}_{\sum_0} < I + 1 \end{array}
Не забравяме, че $c_1$ всъщност е всяко едно число в първия интервал (който е неограничен, значи важи за произволно големи/малки числа). Сега остава само да премеснем сумата и да разделим на $\Delta x_1$, и получаваме ограничение за $f(c_1)$, което води до противоречие с факта, че $f(x)$ не е ограничена в първия интервал:
(12)
\begin{array} {l} \dfrac{I - 1 - \sum_0}{\Delta x_1} < f (c_1) < \dfrac{I + 1 - \sum_0}{\Delta x_1} \end{array}
С това теоремата е доказана!
Доказателството може да е дълго, но важното в случая е, че имаме краен брой събираеми, които имат ограничена сума. Няма как някое от събираемите да не бъде ограничено (защото ако беше - то и цялата сума щеше да бъде неограничена)
Забележка:
Обратното не е вярно - не всяка ограничена функция е интегруема - например функцията на Дирихле е ограничена, но не е интегруема (това лесно се показва като се вземе c първо да е подмножество на $\mathbb{Q}$, а след това c да е подмножество на $\mathbb{I}$ и се оказва, че I трябва да е безкрайно близо както до 0, така и до 1, което е невъзможно).
