Определен Риманов интеграл - дефиниция. Необходимо условие за интегруемост.

Разбиване на интервал


Дефиниция:

(1)
\begin{array} {l} \tau = \{x_i\}_{i=0}^n \ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b \end{array}

се нарича разбиване на интервала [a, b].
Тоест, разделяме интервала на N подинтервала от 1 до N, като големината на интервал i е:

(2)
\begin{array} {l} \Delta x_i = x_i - x_{i-1} \end{array}

Големина на разбиване

Дефиниция:

(3)
\begin{array} {l} \delta_\tau = \overset{n}{\underset{i=1}{\max}}\Delta x_i \end{array}

се нарича големина на разбиването $\tau$(равна е на най-големия интервал от разбиването).

Набор от точки, отговарящ на разбиване $\tau$


Дефиниция:
Нека е дадено разбиване $\tau,\ \tau = \{x_i\}_{i=0}^n \ a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$. Тогава

(4)
\begin{array} {l} \zeta = \{\zeta_i\}_{i=1}^n,\ \zeta_i \in [x_{i-1}, x_i],\ \forall i \in \{1...n\} \end{array}

се нарича набор от точки, отговарящ на разбиване $\tau$.
За напред често вместо $\zeta$ ще пишем c.

Сума на Риман

Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана и ограничена върху $[a,b]$

(5)
\begin{align} \tau = \{x_i\}_{i=0}^n, c = \{c_i\}_{i=1}^n : c_i \in [x_{i-1}, x_i] \newline \boldsymbol{\sigma}_\tau(f, c) &=& \sum_{i=1}^{n} f(c_i)\Delta x_i \end{align}

се нарича Сума на Риман за разбиване $\tau$ на функция $f$ и стойности $c$.
Сумата на Риман е апроксимация за лицето на фигурата под графиката на функцията $f$. За всеки интервал вземаме по една(произволна) стойност на $f$ от него, която умножаваме по дължината на интервала. Сумата на Риман е сума от всички такива произведения. Графичното представяне на сумата на Риман е разбиване на графиката на правоъгълници, лицето на всеки от които е приближение за лицето под функцията в неговия интервал. Естествено, това важи само за функции, които са винаги неотрицателни. Трябва да се направи уточнението, че когато в някой интервал f(x) е отрицателна, то "лицето" там се взема с отрицателен знак(т.е. вече не е лице в математическия смисъл, преподаван в гимназията).

Обяснено една идея по-просто

Тъй като Wikidot нещо се дърпа на вграждане на външен HTML, последвайте този линк.

Интеграл на Риман

Дефиниция:
Числото $I$ се нарича определен интеграл на Риман от функцията $f$, върху интервал $[a, b]$, ако

(6)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0, \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall \tau = \{x_i\}_{i=0}^n : \delta_\tau < \delta, \forall c = \{c_i\}_{i=1}^n : c_i \in [x_{i-1}, x_i] \newline \Rightarrow |\boldsymbol{\sigma}_\tau(f, c) - I| < \epsilon \end{array}

С колкото "по-тънки" правоъгълници покриваме функцията, толкова по-близко приближение ще получваме. Горната формула ни казва, че ако всички правоъгълници са безкрайно тънки(големината на разбиването клони към 0), то ще получим безкрайно точно приближение на функцията.

Следната дефиниция е по-кратка и е еквивалентна, но пропуска да опише всичко междинно което използва, затова на изпит не се приема:

(7)
\begin{align} I = \underset{\delta_\tau \to 0} {\lim} \boldsymbol{\sigma}_\tau (f, c) \end{align}

Интеграл се означава така:

(8)
\begin{align} I = \int_a^b f(x) dx \end{align}

Забележка: По никакъв начин не е гарантирано, че горното число $I$ всъщност съществува.

Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху интервала [a,b]. $f(x)$ е интегруема върху интервала [a,b] ако съществува определен интеграл от $f(x)$ върху [a,b]. В противен случай функцията не е интегруема върху този интервал.

Забележка: Областта е [a,b] - макар да не е написана във всички дефиниции, всяко разбиване е в [a,b]. На изпит трябва да се повториш десетина пъти1.

Необходимо условие за интегруемост

Tеорема:
Връзка между интегруемост и ограниченост.
Нека $f(x)$ е интегруема върху интервала $[a, b] \Longrightarrow f(x)$ e ограничена върху $[a, b]$
Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License