Тема 28

Интегриране на тригонометрични функции

Table of Contents

Тригонометрична функция е R(sinx, cosx), интеграл от нея е:
$I = \int R(\sin x, \cos x) dx$, където R(u,v) е рационална функция
$t= \tan \frac{x}{2} \Longrightarrow x=2\arctan(t) \Longrightarrow dx=d\big(2\arctan (t)\big) = \dfrac{2}{1+t^2}dt$
$\sin(x)=\dfrac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}} = \dfrac{2t}{1+t^2}$
$\cos (x) = \dfrac{1-\tan^2 \frac{x}{2}} {1+\tan^2 \frac{x}{2}}= \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$
$I = R(\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{1-t^2}{1+t^2})\dfrac{2}{1+t^2}dt = F(t)+C$
Ако $R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)$ т.е R е четна спрямо sin и cos полагаме
$t = \tan(x) \Longrightarrow$
$\sin^2(x)= \dfrac{\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} = \dfrac{t^2}{1+t^2}$,
$\cos^2(x) = \dfrac{1}{1+\tan^2(x)} = \dfrac{1}{1+t^2}$
$\sin(x)cos(x) = \dfrac{\tan(x)}{1+\tan^2(x)} = \dfrac{t}{1+t^2}$
Ако имаме нечетност спрямо една от тригоноретричните функции, внасяме тази функция под диференциала, за да стане като другата функция и полагаме другата функция за t. Доста неясно а? Сега ще стане по-ясно
Ако $R(-\sin x,\cos x) = -R(\sin x,\cos x)$ полагаме $t = \cos x$ и внасяме $\sin x$ под $d$
Ако $R(\sin x,-\cos x) = -R(\sin x,\cos x)$ полагаме $t = \sin x$ и внасяме $\cos x$ под $d$

И на края една лемичка, за интегриране на обратните кръгови функции и натърален логаритъм:

(1)
\begin{align} \int R'(x)A(x)dx = \int A(x)dR(x) = R(x)A(x) -\int R(x)dA(x) = R(x)A(x) -\int R(x)A'(x)dx \end{align}

Където $A(x) = \{ln x, \ arccos x, \ arcsin x, \ arctan x, \ arccotan x \}$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License