Тема 27

Интегриране на ирационални функции

Полином на много променливи

Дефиниция:
Полином на $n$ променливи - $x_1,x_2,x_3,..,x_n$ наричаме функция от вида

(1)

\begin{array} {l} P_m(x_1,x_2,..,x_n) = \underset{\alpha_1+\alpha_2+..+\alpha_n \le m}{\underset{a_1,a_2,..,a_n \in \mathbb{R}}{\sum} } a_1a_2a_3..a_n x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}...x_n^{\alpha_n} \end{array}

Рационална функция на много променливи

Дефиниция:
Рационална функция наричаме функция от вида :
$R(x_1,x_2,x_3,..,x_n) = \dfrac{P_k(x_1,x_2,x_3,..,x_n)}{Q_m(x_1,x_2,x_3,..,x_n)}$

Интеграли, съдържащи ирационалности от дробнолинеен израз

Това са интерграли от вида

(2)

\begin{align} \int R\Big(x,(\dfrac{ax+b}{cx+d})^{\frac{m_1}{k_1}},(\dfrac{ax+b}{cx+d})^{\frac{m_2}{k_2}},(\dfrac{ax+b}{cx+d})^{\frac{m_3}{k_3}}...(\frac{ax+b}{cx+d})^{\frac{m_n}{k_n}}\Big) dx \end{align}

Решават се с полагане на $t^k = \dfrac{ax+b}{cx+d}$ където $k$ e най-малко общо кратно на $k1,...k_n$

Интеграли, съдържащи квадратична ирационалност от квадратен двучлен

Ойлеров интеграл (субституция на Ойлер)

Това са интеграли от вида

(3)

\begin{align} \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx \end{align}

Решават се по следния алгоритъм

---

1. ако $a>0$
изразяваме $x$ чрез $t$ от следното ирационално уравнение
$\sqrt{ax^2+bx+c} = \sqrt{a}x+t$ вдигаме на втора степен и след малко математически преобразувания, получаваме
$x = \dfrac{t^2-c}{b-2\sqrt{a}t} = \varphi(t)$ следователно можем да представим търсения от нас интеграл по следния начин
$I = \int R(\varphi (t), \sqrt{a}\varphi(t)+t) \varphi'(t) dt = F(t) + C = F(\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{a}x )+ C$

---

2.ако $c > 0$
$\sqrt{ax^2+bx+c} = xt + \sqrt{c}$ и получаваме $x = \dfrac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2} = \varphi (t)$
$I = \int R\Big( \varphi (x), (\varphi(t)t+\sqrt{c}) \Big) \varphi'(x) dx = F(t) +C = F (..$

---

3. ако $ax^2+bx+c = 0$ има реални корени $\alpha, \beta \ \alpha : \ne \beta$
$\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-\alpha)t$
$x = \dfrac{a\beta-\alpha t^2}{a - t^2} = \varphi (t)$
$I = \int R\Big( \varphi(t),(\varphi(t)-\alpha)t \Big)\varphi'(t) dt = F(t)+C = F (..$

Интеграли от биномен диференциал

$I = \int x^m(a+bx^n)^p dx, \ a,b \in \mathbb{R}; \ m,n,p \in \mathbb{Q}$

1. $p \in \mathbb{Z}$
$x = t^k$ k = НОК(знаменател на m, знаменател на n)
2. $p \notin \mathbb{Z}$
ако $\dfrac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}, \ a+bx^n = t^k$ където k e знаменаталят на p
3. $p \notin \mathbb{Z}, \ \dfrac{m+1}{n} \notin \mathbb{Z}, \ \dfrac{m+1}{n}+p \in \mathbb{Z}$
$I = \int x^m(a+bx^n)^p dx = \int x^{m-pn}(b+ax^{-n})^p dx$, $b+ ax^{-n} = t^k$ където k е знаменател на p