Тема 25

Методи за интегриране

Внимание!
От тук до края материалът е само за супер-джедаи.
Сериозно, следват много измислени неща.
Ако ти се падне това на изпита… Е, винаги има и догодина, нали?

Интегриране чрез внасяне под знака на интеграла

Нека $F(x)$ примитивна на $f(x)$. Т.е имаме:

(1)
\begin{align} \Big[F(x) \Big]'_x = f(x) \iff \int f(x) dx = F(x) + C \end{align}

Ще докажем, че

(2)
\begin{align} \int f(\varphi(t)) d\varphi (t) = F(\varphi(t)) + C = \int f(\varphi(t)) \varphi' (t) dt \end{align}

Доказателство:

Интегриране чрез смяна на променлива

Свойството гласи, че ако търсим интеграл на $f(x)$ спрямо $x$ и имаме $\varphi(t) = x$, то:

(7)
\begin{align} \int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) d \varphi(t) = \int f(\varphi(t))\varphi'(t) dt = F(t) + C = F(\varphi^{-1}(x)) + C \end{align}

Т.е ако ни е трудно директно да атакуваме интеграла от $f(x)$, но забележим някаква смяна на променливата от вида $\varphi(t) = x$, или на български - заменим всяко срещане на $x$ със функция на $t$, след което успеем да интегрираме новополучената функция - разбира се получаваме функция на новата променлива, а именно $F(t)$, то за да получим интеграла на началната функция (който и търсим) трябва просто да заменим $t$ със $\varphi^{-1}(x)$, т.е обратната функция на тази, с която сме заместили в началото.

Пример:

Ако още не е ясно - ще доказваме, че

(12)
\begin{align} \int f(x)\ dx = F(\varphi^{-1}(x)) + C \end{align}

където:

(13)
\begin{align} x = \varphi(t), \quad \int f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt = F(t) + C \end{align}

Доказателство:

Интегриране по части

Формулата за интегриране по части гласи следното:

(19)
\begin{align} \int f(x)\ dg(x) = f(x)g(x) - \int g(x)\ df(x) \end{align}

Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License