Внимание!
От тук до края материалът е само за супер-джедаи.
Сериозно, следват много измислени неща.
Ако ти се падне това на изпита… Е, винаги има и догодина, нали?
Интегриране чрез внасяне под знака на интеграла
Нека $F(x)$ примитивна на $f(x)$. Т.е имаме:
(1)
\begin{align} \Big[F(x) \Big]'_x = f(x) \iff \int f(x) dx = F(x) + C \end{align}
Ще докажем, че
(2)
\begin{align} \int f(\varphi(t)) d\varphi (t) = F(\varphi(t)) + C = \int f(\varphi(t)) \varphi' (t) dt \end{align}
Доказателство:
Ще разгледаме производната на $F(\varphi(t)) + C$ относно $t$ и относно $\varphi(t)$:
(3)
\begin{align} \Big[ F(\varphi(t)) + C \Big]'_t = \Big[F(\varphi(t))\Big]'_{\varphi(t)} \Big[ \varphi(t) \Big]'_t = f(\varphi(t)) \varphi'(t) \end{align}
Разбира се използвахме правилото за намиране на производна на сложна функция. Това което получихме, всъщност означава, че $F(\varphi(t)) + C$ е примитивна на функцията $f(\varphi(t)) \varphi'(t)$ спрямо $t$, т.е че имаме следната връзка:
(4)
\begin{align} \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) d t = F(\varphi(t)) + C \quad (\star) \end{align}
Сега да видим относно $\varphi(t)$:
(5)
\begin{align} \Big[ F(\varphi(t)) + C \Big]'_{\varphi(t)} = f(\varphi(t)) \end{align}
Т.е $F(\varphi(t)) + C$ също така е и примитивна на $f(\varphi(t))$ спрямо $\varphi(t)$, откъдето следва връзката:
(6)
\begin{align} \int f(\varphi(t))d \varphi(t) = F(\varphi(t)) + C \quad (\star\star) \end{align}
Сега просто комбинираме $\star$ и $\star\star$ и получаваме исканото равенство.
Интегриране чрез смяна на променлива
Свойството гласи, че ако търсим интеграл на $f(x)$ спрямо $x$ и имаме $\varphi(t) = x$, то:
(7)
\begin{align} \int f(x) dx = \int f(\varphi(t)) d \varphi(t) = \int f(\varphi(t))\varphi'(t) dt = F(t) + C = F(\varphi^{-1}(x)) + C \end{align}
Т.е ако ни е трудно директно да атакуваме интеграла от $f(x)$, но забележим някаква смяна на променливата от вида $\varphi(t) = x$, или на български - заменим всяко срещане на $x$ със функция на $t$, след което успеем да интегрираме новополучената функция - разбира се получаваме функция на новата променлива, а именно $F(t)$, то за да получим интеграла на началната функция (който и търсим) трябва просто да заменим $t$ със $\varphi^{-1}(x)$, т.е обратната функция на тази, с която сме заместили в началото.
Пример:
Търсим
(8)
\begin{align} \int \sqrt{1 - x^2}\ dx = ? \end{align}
Сещаме се да направим следната субституция:
(9)
\begin{align} x = \sin t \quad t \in [ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ] \end{align}
След което разписваме (и в последствие решаваме) новополучения интеграл:
(10)
\begin{eqnarray} \int \sqrt{1 - x^2}\ dx &=& \int \sqrt{1 - \sin^2 t}\ d \sin t \\ &=& \int \sqrt{\cos^2 t}\ d \sin t \\ &=& \int |\cos t| \cos t\ d t \\ &=& \int \cos^2 t\ dt\\ &=& \int \dfrac{1 + \cos 2t}{2}\ dt\\ &=& \dfrac{1}{2} \Big[ \int 1\ dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t\ d 2t \Big]\\ &=& \dfrac{1}{2} \Big[ t + \frac{1}{2} \sin 2t \Big] + C\\ \end{eqnarray}
Единственото нещо, което остава да направим е да заместим $t$ със $\varphi^{-1} (x) = \sin^{-1} x = \arcsin x$
(11)
\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2} \Big[ t + \frac{1}{2} \sin 2t \Big] + C &=& \dfrac{1}{2} \Big[ \arcsin x + \frac{1}{2} \sin (2\arcsin x) \Big] + C\\ &=& \dfrac{1}{2} \Big[ \arcsin x + \frac{1}{2} 2 \sin (\arcsin x) \cos (\arcsin x) \Big] + C\\ &=& \dfrac{1}{2} \Big[ \arcsin x + \sin (\arcsin x) \sqrt{1 - \sin^2 (\arcsin x)} \Big] + C\\ &=& \dfrac{1}{2} \Big[ \arcsin x + x \sqrt{1 - x^2} \Big] + C\\ &=& \dfrac{\arcsin(x) + x\sqrt{1-x^2}}{2} + C\\ \end{eqnarray}
И намерихме интеграла на търсената функция
Ако още не е ясно - ще доказваме, че
(12)
\begin{align} \int f(x)\ dx = F(\varphi^{-1}(x)) + C \end{align}
където:
(13)
\begin{align} x = \varphi(t), \quad \int f(\varphi(t))\varphi'(t)\ dt = F(t) + C \end{align}
Доказателство:
Както в предното доказателство, тук отново ще намерим производната на $F(\varphi^{-1}(x)) + C$ спрямо $x$.
(14)
\begin{eqnarray} \Big[ F(\varphi^{-1}(x)) + C \Big]'_x &=& \Big[ F(\varphi^{-1}(x)) \Big]'_{\varphi^{-1}(x)} \Big[ \varphi^{-1}(x) \Big]'_x \quad (\square) \end{eqnarray}
Да се вгледаме в 2та множителя по отделно. В първия търсим производната на функцията $F(\varphi^{-1}(x))$ спрямо $\varphi^{-1}(x)$. Но ние знаем, че $F(t)$ е примитивна на $f(\varphi(t)) \varphi'(t)$ спрямо $t$ от условието. Така, след като заместим $t$ със $\varphi^{-1}(x)$ получаваме:
(15)
\begin{eqnarray} \Big[ F(\varphi^{-1}(x)) \Big]'_{\varphi^{-1}(x)} &=& f(\varphi(\varphi^{-1}(x))) \Big[ \varphi(\varphi^{-1}(x)) \Big]'_{\varphi^{-1}(x)} \\ &=& f(x) \Big[ \varphi(\varphi^{-1}(x)) \Big]'_{\varphi^{-1}(x)} \\ &=& f(x) \varphi'(\varphi^{-1}(x)) \quad (\star) \\ \end{eqnarray}
Сега за да намерим производната на 2рия множител трябва да диференцираме 2те страни на равенството $\varphi(\varphi^{-1}(x)) = x$ :
(16)
\begin{eqnarray} \varphi(\varphi^{-1}(x)) &=& x\\ \Big[ \varphi(\varphi^{-1}(x)) \Big]'_x &=& \Big[ x \Big]'_x\\ \Big[ \varphi(\varphi^{-1}(x)) \Big]'_{\varphi^{-1}(x)} \Big[ \varphi^{-1}(x) \Big]'_x &=& 1\\ \varphi'(\varphi^{-1}(x)) \Big[ \varphi^{-1}(x) \Big]'_x &=& 1 \\ \Rightarrow \Big[ \varphi^{-1}(x) \Big]'_x &=& \frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(x)) } \quad (\star\star) \end{eqnarray}
И сега вече заместваме във $\square$
(17)
\begin{align} \square \overset{\underset{(\star) (\star\star)}{}}= f(x) \varphi'(\varphi^{-1}(x)) \frac{1}{\varphi'(\varphi^{-1}(x)) } = f(x) \end{align}
Т.е получихме, че примитивната функция на $f(x)$ спрямо $x$ e $F(\varphi^{-1}(x)) + C$. Т.е че
(18)
\begin{align} \int f(x)\ dx = F(\varphi^{-1}(x)) + C \end{align}
Интегриране по части
Формулата за интегриране по части гласи следното:
(19)
\begin{align} \int f(x)\ dg(x) = f(x)g(x) - \int g(x)\ df(x) \end{align}
Доказателство:
Ще разпишем производната на $f(x)g(x)$:
(20)
\begin{equation} [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{equation}
И ще използваме факта, че интеграл от производната на нещо е самото нещо (+ константа разбира се):
(21)
\begin{align} \int (h(x))'\ dx = h(x) \end{align}
сега просто заместваме $h(x)$ със $f(x)g(x)$:
(22)
\begin{eqnarray} f(x)g(x) &=& \int (f(x)g(x))'dx \\ &=& \int \Big[ f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \Big]\ dx \\ &=& \int g(x)f'(x)\ dx + \int f(x)g'(x)\ dx\\ &=& \int g(x)\ df(x) + \int f(x)\ dg(x) \\ \end{eqnarray}
Прехвърляме от правилната страна и получаваме:
(23)
\begin{align} \int f(x) d g(x) = f(x)g(x) - \int g(x) d f(x) \end{align}
