Тема 24

Неопределен интеграл - дефиниция, свойства. Таблица на основните неопределени интеграли.

---

Операцията интегриране е в известен смисъл конструирана като обратната на диференциране. Тоест ако знаем във всяка точка скоростта на изменение на една функция(нейната производна) можем да кажем коя е тази функция. Разбира се, тъй като производната на константа е 0 и информацията за нея се губи при диференциране, можем да намерим функцията с точност до константа. Тоест, неопределено е отместването на функцията спрямо $O_y$. За да стане малко по-ясно - имайки производната на една функция за интервал <a,b> и две точки от интервала $x_1, \ x_2$, ние можем да определим "формата" на графиката на f(x) в този интервал, но не и например точната стойност на $f(x_1)$.

---

Примитивна функция

Дефиниция:
Нека $F(x)$ е дефинирана над $\Delta$. Ако за $\forall x \in \Delta : F'(x) = f(x)$ казваме, че $F(x)$ е примитивна на $f(x)$ върху $\Delta$.

Връзка между примитивни на една и съща функция

Теорема:
Ако $F(x)$ и $G(x)$ са примитивни на $f(x)$ върху $\Delta$, следва че $\exists c \in \mathbb{R} : F(x) = G(x)+c$ върху $\Delta$.

Доказателство:
Имаме, че $\forall x \in \Delta, F'(x) = f(x)$ и $G'(x)=f(x)$. Очевидно $F'(x) = G'(x)$. От основната теорема на интегралното смятане следва, че $\exists c \in \mathbb{R} : F(x) = G(x)+c$

Неопределен интеграл

Дефиниция:
$f(x)$ дефинирана върху $\Delta$. $F(x)$ - примитивна на $f(x)$ върху $\Delta$. Множеството от всички примитивни функции на $f(x)$ - $\{F(x)+c | c \in \mathbb{R}\}$ наричаме неопределен интеграл на $f(x)$. Запсиваме по следния начин $\int f(x)\, dx = \{F(x)+c\ | c \in \mathbb{R}\}$

Свойства на неопределения интеграл

1. $[\int f(x) dx]' = f(x)$

Доказателство
Съвсем просто е:
$[\int f(x) dx]' = [F(x)+c]' = F'(x)$ + 0 = f(x)

2. $\int[f(x)+g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$

Доказателство
Нека $F(x)$ и $G(x)$ са примитивните на съответно на $f(x)$ и $g(x)$. Тогава имаме, че $[F(x)+G(x)]' = f(x)+g(x)$, но $\int[f(x)+g(x)] dx = F(x)+G(x)+c = (F(x)+c_1) + (G(x)+c_2)$$= \int f(x) dx + \int g(x) dx$. Където $c = c_1+c_2$

3. $\int\lambda f(x) dx = \lambda \int f(x) dx$

Доказателство
Нека $F(x)$ е примитивна на $f(x)$. Тогава $[\lambda F(x)]' = \lambda f(x)$, но $\int\lambda f(x) dx = \lambda F(x) +c = \lambda(F(x)+c_{\lambda}) = \lambda \int f(x) dx$

Таблица на основните интеграли

(1)

\begin{align} \begin {array}{lcl} 1. \int 0 dx = c \\ 2. \int 1 dx = x+c \\ 3. \int x^{\alpha} dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c, \ \alpha \in \mathbb{R}, \alpha \ne -1 \\ 4. \int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x|+c \\ 5. \int e^x dx = e^x +c \\ 6. \int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} +c \\ 7. \int \sin (x) dx = -\cos(x) + c \\ 8. \int \cos (x) dx = \sin (x) + c \\ 9. \int \dfrac{1}{cos^2(x)} dx = tg(x)+c \\ 10. \int \dfrac{1}{sin^2(x)} dx = -cotg(x)+c \\ 11. \int \dfrac{1}{1+x^2} dx = \begin{cases} arctan(x)+c \\ -arccotg(x)+c \end{cases} \\ 12. \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \begin{cases} arcsin(x)+c \\ -arccos(x)+c \end{cases} \\ 13. \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx = ln|x+\sqrt{x^2-1}| +c \\ 14. \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = ln|x+\sqrt{x^2+1}| +c \\ \end{array} \end{align}

Доказателство на 13 (няма общо с това, че 13 е "фатално" число)

(2)

\begin{array} {l} F(x) = ln|x+\sqrt{x^2-1}| +c , \ D(F) = (-\infty,-1)\cup(1,+\infty) \\ x > 1 \Rightarrow (ln|x+\sqrt{x^2-1}|)' = (ln(x+\sqrt{x^2-1}))' = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\Big( 1+ \dfrac{2x}{2\sqrt{(x^2-1)}}\Big) = \\ = \dfrac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\dfrac{x+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \\ \end{array}

А ето защо ни трябва модул:

(3)

\begin{array} {l} x<-1 \Rightarrow \sqrt{x^2 -1} < \sqrt{x^2} = |x| = -x \Rightarrow \sqrt{x^2 -1} < -x \Rightarrow \sqrt{x^2 -1} + x <0 \end{array}