Тема 23

Асимптоти. Построяване на графика на функция.

Дефиниция на вертикална асимптота

Дефиниция:
Имаме, че $f(x)$ e дефинирана над $X$ и $x_0$ точка на сгъстяване. Ако $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$, правата $p: x = x_0$ наричаме вертикална асимптота на $f(x)$.

Дефиниция на наклонена асимптота

Дефиниция:
Имаме, че $f(x)$ е дефинирана над $(-\infty,a)$ и/или $(a,+\infty)$. Ако $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (kx+l)] = 0$, правата $p: y = kx+l$ наричаме наклонена асимптота на $f(x)$

Забележка, една функция може да има най-много 2 наклонени асимптоти. Когато k = 0 казваме, че функцията има хоризонтална асимптота.

Теорема за асимптотите

Теорема:
Ако $f(x)$ e дефинирана върху $(-\infty,a)$ и/или $(a,+\infty)$ тя има наклонена асимптота $p: y=kx+l$ тогава и само тогава, когато

(1)
\begin{array} {|l} \exists \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = k \\ \exists \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = l \end{array}

Доказателство

Посторяване на графика на функция

Как се постороява графика на функция?
Ето как! Само трябва да следвате тези 10 лесни стъпки.

1. $D(f)=?$ - определяне на дефиниционната област на функцията.
2. Изледване за четност, нечетност и периодичност.
3. $G(f) \cup O_x, \ G(f) \cup O_y$ Намиране на пресечни точки с абцисната и ординатната оси на графиката на функцията.
4. Изледване на поведението на $f$ в границите на $D(f)$.
5. Намиране на критични точки - къде първата производна е 0.
6. Намиране на интервали на монотонност - къде $f'(x)>0, \ f'(x)<0$.
7. Намиране на точки на локални екстремуми.
8. Определяне на изпъкналост, намиране на инфлексни точки.
9. Правене на таблица за стойностите на $x$.

$x$ пресечни точки с осите, краища на интервалите на Д.О., критични точки, инфлексни точки
$f(x)$
$f'(x)$
$f''(x)$

10. Построяване на графиката.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License