Тема 23

Асимптоти. Построяване на графика на функция.

Дефиниция на вертикална асимптота

Дефиниция:
Имаме, че $f(x)$ e дефинирана над $X$ и $x_0$ точка на сгъстяване. Ако $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$, правата $p: x = x_0$ наричаме вертикална асимптота на $f(x)$.

Дефиниция на наклонена асимптота

Дефиниция:
Имаме, че $f(x)$ е дефинирана над $(-\infty,a)$ и/или $(a,+\infty)$. Ако $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (kx+l)] = 0$, правата $p: y = kx+l$ наричаме наклонена асимптота на $f(x)$

Забележка, една функция може да има най-много 2 наклонени асимптоти. Когато k = 0 казваме, че функцията има хоризонтална асимптота.

Теорема за асимптотите

Теорема:
Ако $f(x)$ e дефинирана върху $(-\infty,a)$ и/или $(a,+\infty)$ тя има наклонена асимптота $p: y=kx+l$ тогава и само тогава, когато

(1)

\begin{array} {|l} \exists \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = k \\ \exists \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = l \end{array}

Доказателство

Покажи

В права посока $\Longrightarrow$
Имаме, че $p: y=kx+l$ е наклонена асимптота на $f(x)$. Трябва да докажем, че системаката по-горе е вярна.
Избираме си помощна функция $\alpha(x) = f(x) - (kx+l)$, следователно $f(x) = \alpha(x) + (kx+l)$
Границата и е $\lim_{x \to \infty} \alpha(x) = 0$ по условие. Сега разпсваме границата на $\dfrac{f(x)}{x}$

(2)

\begin{array} \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\alpha (x) + l + kx}{x} = = \lim_{x \to \infty}( \underbrace{\dfrac{\alpha (x)}{x}}_{\frac{0}{\infty}}+ \underbrace{\dfrac{l}{x}}_{\frac{l}{\infty}} + \dfrac{kx}{x}) = 0 + 0 + k \\ \end{array}

Сега ще намерим и втората граница - границата на $f(x) - kx$

(3)

\begin{array} {l} \lim_{x \to \infty} [f(x) - kx] = \lim_{x \to \infty} [\alpha(x) +kx +l - kx] = \lim_{x \to \infty} [\alpha(x) +l] = 0+l \end{array}

Така доказахме, че и двете граници са толкова, следователно теоремата е изпълнена в тази посока.

Сега ще докажем теоремата в обратна посока $\Longleftarrow$
Имаме, че е изпълнена системата, трябва да докажем, че $p: y=kx+l$ е асимптота на $f(x)$. Значително по-лесно е в тази посока.
От първата граница $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = k$ имаме, че $k$ съществува.

Разписваме втората граница

(4)

\begin{array} {l} \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = l \iff \\ \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx -l) = 0 \iff \\ \lim_{x \to \infty} (f(x) - (kx+l)) = 0 \end{array}

Стигнахме до дефиницията за асимптота, следователно имаме асимптота и тя е $p: y=kx+l$.

Посторяване на графика на функция

Как се постороява графика на функция?
Ето как! Само трябва да следвате тези 10 лесни стъпки.

1. $D(f)=?$ - определяне на дефиниционната област на функцията.
2. Изледване за четност, нечетност и периодичност.
3. $G(f) \cup O_x, \ G(f) \cup O_y$ Намиране на пресечни точки с абцисната и ординатната оси на графиката на функцията.
4. Изледване на поведението на $f$ в границите на $D(f)$.
5. Намиране на критични точки - къде първата производна е 0.
6. Намиране на интервали на монотонност - къде $f'(x)>0, \ f'(x)<0$.
7. Намиране на точки на локални екстремуми.
8. Определяне на изпъкналост, намиране на инфлексни точки.
9. Правене на таблица за стойностите на $x$.

$x$	пресечни точки с осите, краища на интервалите на Д.О., критични точки, инфлексни точки
$f(x)$
$f'(x)$
$f''(x)$

10. Построяване на графиката.