Тема 22

Изпъкналост на функции

Дефиниция на изпъкналост

Дефиниция:
Ако функцията f е непрекъсната над $<a,b>$
Казваме, че функцията е вдлъбната, ако $\forall x_1,x_2 \in <a,b> : \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \le f(\dfrac{x_1+x_2}{2})$.
Казваме, че функцията е изпъкнала, ако $\forall x_1,x_2 \in <a,b> : \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \ge f(\dfrac{x_1+x_2}{2})$.

Няма лесен начин да се запомни кое е изпъкнало и кое вдлъбнато, много хора ги бъркат много често(поне такива са моите наблюдения), помислете внимателно как да ги запомните.

тук ще има пример за графика на изпъкнала и вдлъбанта функция

Теорема:
Ако $f(x)$ е дефинирана над $(a,b)$ и $\exists f''(x)$ въху $(a,b) \Longrightarrow$
1. Ако $f''(x) \ge 0$ върху $(a,b) \Longrightarrow f(x)$ е изпъкнала върху $(a,b)$
2. Ако $f''(x) \le 0$ върху $(a,b) \Longrightarrow f(x)$ е вдлъбната върху $(a,b)$

Доказателство:

Инфлексна точка

Дефиниция:
Ако f(x) е дефинирана върху $(a,b), \ x_0 \in (a,b)$ и диференцируема в точка $x_0$. Ако $\exists (x_0-\delta,x_0+\delta)$ и $f(x)$ има различни изпъкналости в интервалите $(x_0-\delta,x_0)$ и $(x_0,x_0+\delta)$ , казваме че $x_0$ е инфлексна точка.

Пример: За $f(x)=x^3$, $x_0 = 0$ е инфлексна точка.

Необходимо условие за инфлексна точка

Теорема:
Ако $x_0$ е инфлексна точка на $f(x)$, $\exists f''(x_0)$ върху $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ и $f''(x)$ е непрекъсната в $x_0$, следва че $f''(x_0) = 0$.
Доказателство:

Първо достатъчно условие за инфлексна точка

Теорема:
Ако $\exists f''(x)$ върху $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ и $f''(x)$ има разлини знаци върху $(x_0-\delta_0,x_0)$ и $(x_0,x_0+\delta_0) \Longrightarrow x_0$ е инфлексна точка.
Доказателство:
Директно следствие от дефиницията.

Второ достатъчно условие за инфлексна точка

Теорема:
(Много подобна на второто ДУ за екстремум.)
Ако $f(x)$ е дефинирана върху$(x_0-\delta, x_0+\delta)$, $\exists f''(x)$ върху $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ и $\exists f'''(x)$. Ако $f''(x_0) = 0$ и $f'''(x_0) \ne 0 \Longrightarrow x_0$ е инфлексна точка на $f(x)$.

Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License