Дефиниция на изпъкналост
Дефиниция:
Ако функцията f е непрекъсната над $<a,b>$
Казваме, че функцията е вдлъбната, ако $\forall x_1,x_2 \in <a,b> : \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \le f(\dfrac{x_1+x_2}{2})$.
Казваме, че функцията е изпъкнала, ако $\forall x_1,x_2 \in <a,b> : \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2} \ge f(\dfrac{x_1+x_2}{2})$.
Няма лесен начин да се запомни кое е изпъкнало и кое вдлъбнато, много хора ги бъркат много често(поне такива са моите наблюдения), помислете внимателно как да ги запомните.
тук ще има пример за графика на изпъкнала и вдлъбанта функция
Теорема:
Ако $f(x)$ е дефинирана над $(a,b)$ и $\exists f''(x)$ въху $(a,b) \Longrightarrow$
1. Ако $f''(x) \ge 0$ върху $(a,b) \Longrightarrow f(x)$ е изпъкнала върху $(a,b)$
2. Ако $f''(x) \le 0$ върху $(a,b) \Longrightarrow f(x)$ е вдлъбната върху $(a,b)$
Доказателство:
1. $x_1, x_2 \in (a,b), \ x_1 < x_2$, взимаме $x_0$ да е средата на интервала $(x_1,x_2)$ и половинката на дължината на интервала да е $h = \dfrac{x_2-x_1}{2}$. Сега имаме, $x_1=x_0-h, \ x_2 = x_0+h$. От теоремата на Тейлор, следва че
(1)
\begin{align} \exists c_1 \in (x_1,x_0) : f(x_1) = f(x_0-h) =f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x_1-x_0) + \dfrac{f''(c_1)}{2!}(x_1-x_0)^2 \end{align}
записано по друг начин
(2)
\begin{align} f(x_1) = f(x_0) - f'(x_0)h + \dfrac{f''(c_1)}{2}h^2 \end{align}
Прилагаме теоремата и за интервала $(x_0,x_2)$. И получаваме
(3)
\begin{align} f(x_2) = f(x_0) + f'(x_0)h + \dfrac{f''(c_2)}{2}h^2 \end{align}
Сега събираме равенствата (2) и (3) и получаваме следното
(4)
\begin{array} {l} f(x_1) + f(x_2) = 2f(x_0) - f'(x_0)h + f'(x_0)h + \dfrac{f''(c_1)}{2}h^2 + \dfrac{f''(c_2)}{2}h^2 \\ f(x_1) + f(x_2) = 2f(x_0) +\dfrac{f''(c_1)}{2}h^2 + \dfrac{f''(c_2)}{2}h^2 \\ \dfrac{f''(c_1)}{2}h^2 + \dfrac{f''(c_2)}{2}h^2 > 0 \Longrightarrow f(x_1) + f(x_2) > 2f(x_0) \end{array}
последното неравенство е вярно показва, че $f(x)$ е изпъкнала.
Инфлексна точка
Дефиниция:
Ако f(x) е дефинирана върху $(a,b), \ x_0 \in (a,b)$ и диференцируема в точка $x_0$. Ако $\exists (x_0-\delta,x_0+\delta)$ и $f(x)$ има различни изпъкналости в интервалите $(x_0-\delta,x_0)$ и $(x_0,x_0+\delta)$ , казваме че $x_0$ е инфлексна точка.
Пример: За $f(x)=x^3$, $x_0 = 0$ е инфлексна точка.
Необходимо условие за инфлексна точка
Теорема:
Ако $x_0$ е инфлексна точка на $f(x)$, $\exists f''(x_0)$ върху $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ и $f''(x)$ е непрекъсната в $x_0$, следва че $f''(x_0) = 0$.
Доказателство:
Допускаме противното, тоест $f''(x_0) <> 0$. Тъйкато $f(x)$ е непрекъсната в точката, следва че $\exists$ интервал $(x_0-\delta_0,x_0+\delta_0) \subset (x_0-\delta,x_0+\delta)$ такъв че $f''(x)$ си запазва знака $\Longrightarrow f(x)$ е изпъкнала в този интервал, но от дефиницията за инфлексна точка, следва че $f''(x)$ има различни знаци в интервалите $(x_0-\delta_0,x_0)$ и $(x_0,x_0+\delta_0)$ следователно имаме противоречие и теоремата е доказана.
Първо достатъчно условие за инфлексна точка
Теорема:
Ако $\exists f''(x)$ върху $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ и $f''(x)$ има разлини знаци върху $(x_0-\delta_0,x_0)$ и $(x_0,x_0+\delta_0) \Longrightarrow x_0$ е инфлексна точка.
Доказателство:
Директно следствие от дефиницията.
Второ достатъчно условие за инфлексна точка
Теорема:
(Много подобна на второто ДУ за екстремум.)
Ако $f(x)$ е дефинирана върху$(x_0-\delta, x_0+\delta)$, $\exists f''(x)$ върху $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ и $\exists f'''(x)$. Ако $f''(x_0) = 0$ и $f'''(x_0) \ne 0 \Longrightarrow x_0$ е инфлексна точка на $f(x)$.
Доказателство:
Нека $f'''(x) > 0$. Имаме че $f'''(x_0) \ne 0 \Longrightarrow f'''(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f''(x)-f''(x_0)}{x-x_0}$, но $f''(x_0) = 0$ по условие, следователно $f'''(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f''(x)}{x-x_0}$
Разписваме границата по дефиницията на Коши за $\epsilon = f'''(x_0)$ :
$\epsilon = f'''(x_0) , \exists \delta_f : x \in (x_0-\delta, x_0+\delta) , |x-x_0| < \delta_f$ $\Longrightarrow |\dfrac{f''(x)}{x-x_0} - f'''(x_0)| < f'''(x_0)$
от последното неравенство получаваме, че $0 < \dfrac{f''(x)}{x-x_0} < 2f'''(x_0)$ тоест $\dfrac{f''(x)}{x-x_0} > 0$ от което следва
1. за $x_0 > x$ тоест за $x \in (x_0-\delta_f, x_0) : \dfrac{f''(x)}{x-x_0}>0 \Longrightarrow f''(x) < 0$
2. за $x_0 < x$ тоест за $x \in (x_0, x_0+\delta_f) : \dfrac{f''(x)}{x-x_0}>0 \Longrightarrow f''(x) > 0$
От което следва, че имаме инфлексна точка в $x_0$ за $f(x)$.
