Тема 21

Локални екстремуми на функции

Точка на локален екстремум

Дефиниция:
$f(x)$ - дефинирана върху множеството $X$ и $x_0 \in X$
1. Казваме, че $f(x)$ деф. над $X$ има локален максимум в точка $x_0$, ако
$\exists (x_0-\delta,x_0+\delta) \subset X$ за която $\forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \Rightarrow f(x) \le f(x_0)$
Разяснения по дефиницията:

Казваме, че имаме локален максимум в точка $x_0$, ако съществува околност на точката ($(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$), изцяло попадаща в $X$, в която всички стойности на функцията са по-малки или равни от тази в точка $x_0$ (тоест, че това е върха на графиката, но не забравяйте, че може да сме в много много малка околност на $x_0$ ).

2. Казваме, че $f(x)$ деф. над $X$ има локален минимум в точка $x_0$ ако
$\exists (x_0-\delta,x_0+\delta) \subset X$ за което $\forall x \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \Rightarrow f(x) \ge f(x_0)$

Теорема (Необходимо условие в точка да имаме локален ексремум)

Теорема:
Ако $f(x)$ е дефинирана над $X$ и има локален екстремум в точка $x_0 \Rightarrow$ или $\nexists f'(x_0)$ или $f'(x_0) = 0$.
Доказателство

Следва от теоремата на Ферма, в нея се казва, че в точката имаме максимум или минимум, което всъщност е екстремум.

Теорема (Първо достатъчно условие за една точка да е екстремум)

Теорема:
Ако $f(x)$ e дефинирана над $X$, непрекъсната върху $(x_0-\delta,x_0+\delta) \subset X$ и диференцируема поне върху $(x_0-\delta,x_0+\delta) \setminus \{x_0\}$.
1. Имаме лок. min ако $\begin{cases} \forall x \in (x_0-\delta,x_0) & \ f'(x) \le 0 \\ \forall x \in (x_0,x_0+\delta) & \ f'(x) \ge 0\\ \end{cases}$
2. Имаме лок. max ако $\begin{cases} \forall x \in (x_0-\delta,x_0) & \ f'(x) \ge 0 \\ \forall x \in (x_0,x_0+\delta) & \ f'(x) \le 0\\ \end{cases}$
Тоест ако производната на функцията си сменя знака в точка $x_0$ (забележете, че в самата точка знака не ни интересува - даже може да не е диференцируема - пример $f(x) = |x|$) имаме локален екстремум в тази точка.

Доказателство:

Ще докажем само за локален минимум - за максимум е аналогично.
За доказателството ще използваме теоремата на Лагранж.

Разглеждаме функцията върху интервала $[x,x_0]$ за $\forall x \in (x_0-\delta,x_0)$.
В този интервал функцията е непрекъсната и $\exists f'$ върху $(x,x_0)$. От теоремата на Лагранж следва

(1)

\begin{align} \exists c \in (x,x_0) \ : \ \underbrace{f'(c)}_{\overset{\underset{\mathrm{po \ uslovie}}{}}\le 0}\underbrace{(x_0-x)}_{> 0} = f(x_0) - f(x) \end{align}

От тук следва, че за $\forall x \in (x_0 - \delta, x_0)\ f(x_0) \le f(x)$.
А сега разглеждаме функцията за интервала $[x_0,x]$ за $\forall x \in (x_0,x_0+\delta)$ аналогично на горното получаваме, че $f(x_0) \le f(x)$

И така получаваме, че $\forall x \in (x_0-\delta,x_0), \ f(x) \ge f(x_0)$ и $\forall x \in (x_0,x_0+\delta), \ f(x) \ge f(x_0)$ от което следва, че имаме min в точка $x_0$ от дефиницията за локален минимум.

Теорема (Второ достатъчно условие за една точка да е екстремум)

Теорема:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $X$ и $x_0 \in X$.
Ако $\exists (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset X$, такъв че

1. $\exists f'(x)\hspace{3 mm} \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$
2. $f'(x_0) = 0$
3. $\exists f''(x_0) \ne 0$

Тогава $\Longrightarrow x_0$ e локален екстремум.

1. $f''(x_0) > 0$ - локален минумум
2. $f''(x_0) < 0$ - локален максимум

Доказателство:

За доказателството на този факт ще разпишем дефиницията за производна на 2рата производна (т.е ще направим диференчното частно $\frac{\vartriangle f'}{\vartriangle x}$)
$f''(x_0) > 0 \Longrightarrow \lim_{x \to x_0} \dfrac{f'(x) - f'(x_0)}{x - x_0} = f''(x_0) > 0$
$\mathrm{fix. }\ \epsilon_0 = f''(x_0) > 0, \exists \delta_0 = \delta_0 (\epsilon_0) : \forall x \in X,\ x \ne x_0 |x - x_0| < \delta_0 \Longrightarrow \left|\dfrac{f'(x) - f'(x_0)}{x - x_0} - f''(x_0) \right| < \epsilon_0 = f''(x_0)$
$\iff 0 < \dfrac{f'(x) - \overbrace{f'(x_0)}^{0}}{x - x_0} < 2f''(x_0)$
$\dfrac{f'(x)}{x-x_0} > 0$

(2)

\begin{align} \begin{matrix} \forall x \in (x_0 - \delta_0, x_0) f'(x) < 0\\ \forall x \in (x_0, x_0 + \delta_0) f'(x) > 0\\ \end{matrix}\Longrightarrow x_0 \mathrm{loc.\ min} \end{align}