Тема 20

Критерии за монотонност на функция

Дефиниции за монотонност

Дефиниция:

1. Казваме че функцията $f(x)$ е монотонно растяща, в интервал <a,b>, ако с нарастване на x, f(x) расте или не намалява т.е. ако $\forall x_1, x_2 \in <a,b>, x_1 < x_2 : f(x_1) \le f(x_2)$
2. Казваме че функцията $f(x)$ е монотонно намаляваща, в интервал <a,b>, ако с нарастване на x, f(x) намалява или не расте т.е. ако $\forall x_1, x_2 \in <a,b>, x_1 < x_2 : f(x_1) \ge f(x_2)$
3. Казваме че функцията $f(x)$ е строго монотонно растяща, в интервал <a,b>, ако с нарастване на x, f(x) строго расте т.е. ако $\forall x_1, x_2 \in <a,b>, x_1 < x_2 : f(x_1) < f(x_2)$
4. Казваме че функцията $f(x)$ е строго монотонно намаляваща, в интервал <a,b>, ако с нарастване на x, f(x) строго намялява т.е. ако $\forall x_1, x_2 \in <a,b>, x_1 < x_2 : f(x_1) > f(x_2)$

Сигурно дефинициите ви изглеждат еднакви, ако да - прави сте, много си приличат и се помнят лесно.

Теорема, свързваща първа производна и монотонност на функция

Теорема:
Ако f(x) e дифенерцируема над интервала <a,b>, можем да определим нейната монотонност чрез първата производна както следва:

1. $f'(x) \ge 0 \iff$ върху интервала <a,b>, то функцията е монотонно растяща върху интервала <a,b>
2. $f'(x) \le 0 \iff$ върху интервала <a,b>, то функцията е монотонно намаляваща върху интервала <a,b>
3. $f'(x) > 0 \Longrightarrow$ върху интервала <a,b>, то функцията е строго монотонно растяща върху интервала <a,b>
4. $f'(x) < 0 \Longrightarrow$ върху интервала <a,b>, то функцията е строго монотонно намаляваща върху интервала <a,b>

Доказателство:

Покажи

Права посока
Имаме, че $f'(x) \ge 0$ над <a,b>, ще докажем, че функцията е монотонно растяща за интервала <a,b>.
Взимаме си произволни $x_1,x_2$ такива, че $x_1,x_2 \in <a,b>, \ x_1<x_2$ (когато си взимаме произволни, означава че това което ще докажем важи за всички $x_1, \ x_2$ отговарящи на условитео). Взимаме интервала $[x_1,x_2]$ и Прилагаме теоремата на Лагранж за него :
$\exists c \in [x_1,x_2] : f'(c) =\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ по условие имаме $f'(x) \ge 0$ от което следва
$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \ge 0$
имамe и $x_2-x_1 > 0$ следователно $f(x_2)-f(x_1) \ge 0 \Longrightarrow f(x_2) \ge f(x_1)$ това важи за прозиволно избрани $x_1,x_2$ от което следва че теоремата е вярна в първия случай.
Остналите случаи са аналогични.

Обратна посока
Имаме че функцията е монотонно растяща за интервала <a,b>, ще докажем че $f'(x) \ge 0$.
От дефиницията за производна имаме че $f'(x) = \underset{x \to x_0}\lim \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. От монотонноста имаме, че за $x_1,x_2 \in <a,b>, \ x_1<x_2 \Longrightarrow f(x_1) \le f(x_2)$ и така:
$x_0 > x, \ f'(x) = \underset{x \to x_0}\lim \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \ge 0$
имаме граница на положително число върху положително, което е положително, а за $x_0 < x$ имаме граница на отрицателно върху отрицателно, което също е положително, като добавим и че знаменателят не може да ставa 0 $\Longrightarrow f'(x) \ge 0$.
Аналогично и за останалите случаи.

Забележка: Забележете, че за 3 и 4 не е изпълнено обратното твърдение. Например $f(x) = x^3$ е строго монотонно растяща функция, но $f'(x) = 3x^2 \Longrightarrow f'(0) = 0$, тоест за интервала [-1, 1] например, въпреки че f(x) е строго монотонно растяща, има стойност на х, при която производната й не е по-голяма от нула.