Тема 20

Критерии за монотонност на функция

Дефиниции за монотонност

Дефиниция:

  1. Казваме че функцията $f(x)$ е монотонно растяща, в интервал <a,b>, ако с нарастване на x, f(x) расте или не намалява т.е. ако $\forall x_1, x_2 \in <a,b>, x_1 < x_2 : f(x_1) \le f(x_2)$
  2. Казваме че функцията $f(x)$ е монотонно намаляваща, в интервал <a,b>, ако с нарастване на x, f(x) намалява или не расте т.е. ако $\forall x_1, x_2 \in <a,b>, x_1 < x_2 : f(x_1) \ge f(x_2)$
  3. Казваме че функцията $f(x)$ е строго монотонно растяща, в интервал <a,b>, ако с нарастване на x, f(x) строго расте т.е. ако $\forall x_1, x_2 \in <a,b>, x_1 < x_2 : f(x_1) < f(x_2)$
  4. Казваме че функцията $f(x)$ е строго монотонно намаляваща, в интервал <a,b>, ако с нарастване на x, f(x) строго намялява т.е. ако $\forall x_1, x_2 \in <a,b>, x_1 < x_2 : f(x_1) > f(x_2)$

Сигурно дефинициите ви изглеждат еднакви, ако да - прави сте, много си приличат и се помнят лесно.

Теорема, свързваща първа производна и монотонност на функция

Теорема:
Ако f(x) e дифенерцируема над интервала <a,b>, можем да определим нейната монотонност чрез първата производна както следва:

  1. $f'(x) \ge 0 \iff$ върху интервала <a,b>, то функцията е монотонно растяща върху интервала <a,b>
  2. $f'(x) \le 0 \iff$ върху интервала <a,b>, то функцията е монотонно намаляваща върху интервала <a,b>
  3. $f'(x) > 0 \Longrightarrow$ върху интервала <a,b>, то функцията е строго монотонно растяща върху интервала <a,b>
  4. $f'(x) < 0 \Longrightarrow$ върху интервала <a,b>, то функцията е строго монотонно намаляваща върху интервала <a,b>

Доказателство:

Забележка: Забележете, че за 3 и 4 не е изпълнено обратното твърдение. Например $f(x) = x^3$ е строго монотонно растяща функция, но $f'(x) = 3x^2 \Longrightarrow f'(0) = 0$, тоест за интервала [-1, 1] например, въпреки че f(x) е строго монотонно растяща, има стойност на х, при която производната й не е по-голяма от нула.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License