Тема 19

Формула на Тейлор


Полином на Тейлор

Ще започнем с малък пример, илюстриращ полином на Тейлор от степен 1.


Сега ще видим как стоят нещата с производни от по-висок ред.

Лема 1:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$
и нека $\exists f^{(k)}(x_0)\ (k = 1, 2, \cdots, n)$.
Тогава съществува полином $P_n(x)$ от степен не по-голяма от $n$, такъв че $P_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)\hspace{3 mm}(k = 1, 2, \cdots, n)$

Такъв полином ще наричаме полином на Тейлор в точка $x_0$.

Доказателство:

Развитие на функция в ред на Тейлор

Преди да се докопаме до теоремата за развитие в ред на Тейлор, трябва да докажем още една лемичка.
Лема 2:
Нека $\varphi(x), \psi(x)$ са дефинирани върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ и такива, че:

(8)
\begin{array} {ll} \mathrm{1.} & \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \Rightarrow \exists \varphi^{(k)}(x), \psi^{(k)}(x) \hspace{3 mm} (k = 1, 2, \cdots, n+1)\\ \mathrm{2.} & \varphi(x_0) = \varphi'(x_0) = \cdots = \varphi^{(n)}(x_0) = 0\\ & \psi (x_0) = \psi'(x_0) = \cdots = \psi^{(n)}(x_0) = 0\\ \mathrm{3.} & \psi^{(k)} \ne 0\ \forall x \ne x_0,\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \hspace{3 mm} (k = 0, 1, 2, \cdots, n, n + 1)\\ \\ \Longrightarrow & \forall x \ne x_0,\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\hspace{3 mm} \exists c \in \left\{\begin{align}(x, x_0)\\(x_0, x)\end{align}\right\} :\\ & \dfrac{\varphi(x)}{\psi(x)} = \dfrac{\varphi^{(n+1)}(c)}{\psi^{(n+1)}(c)} \end{array}

Както може да се досетите тука всичко е много нагласено с цел да се използва по-нататък, така че без паника!

Доказателство:

Вече сме на прага на теоремата на Тейлор. Какво гласи тя? Ами че всяка функция дефинирана върху околност на точка, и имаща производни до n+1 ред може да бъде разписана като полином.
Теорема(За равзитие на функция в ред на Тейлор):
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ и има производни до $(n+1)$ ред върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Тогава $\forall x \ne x_0,\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\ \exists c = c(x) \in \left\{\begin{align}(x, x_0)\\(x_0, x)\end{align}\right\} :$

(14)
\begin{align} f(x) = \underbrace{\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k}_{P_n(x)} + \underbrace{\dfrac{f^{(n+1)}(c(x))}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}}_{c_n(x)} \end{align}

Едната част от израза (познайте от 3 пъти коя) за изненада се оказва полинома на Тейлор, докато оставащата частичка наричаме остатък във формулата на Тейлор във вид на Лагранж, и понеже ни мързи ще му викаме само остатък.
Нарочно оставих във остатъка $c(x)$, за да не забравяте, че всъщност това $c$ е различно за различните $x$.

Доказателство:

Формула на Маклорен

Дефиниция:
Формула на Тейлор при $x_0 = 0$ наричаме формула на Маклорен

Пример(развитие на $e$ във ред на Тейлор):

(23)
\begin{align} e\ =\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \end{align}
(24)
\begin{align} \sin x = \sum_{k=0}^n (-1)^k \dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + r_{n+2}(x)\hspace{7 mm} \left(\mbox{hint: }\sin^{(k)}(x) = \sin\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)\right) \end{align}
(25)
\begin{align} \cos x = \sum_{k=0}^n (-1)^k \dfrac{x^{2k}}{(2k)!} + r_{2n+1} (x)\hspace{7 mm} \left(\mbox{hint: }\cos^{(k)}(x) = \cos\left(x + \frac{k\pi}{2}\right)\right) \end{align}
(26)
\begin{align} \ln(1+x) = \sum_{k+1}^n \dfrac{(-1)^{n-1}.x^n}{n} + r_n(x) \hspace{7mm} \big(\mbox{hint: }\ln^{(k)}(1 + x) = (-1)^{k-1} . (k-1)! \big) \end{align}
(27)
\begin{align} \ln(1-x) = - \sum_{k+1}^n \dfrac{x^n}{n} + r_n(x)\hspace{7 mm} \big(\mbox{hint: } \ln^{(k)}(1-x) = -(k-1)! \big) \end{align}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License