Полином на Тейлор
Ще започнем с малък пример, илюстриращ полином на Тейлор от степен 1.
Нека $f(x)$ е диференцируема в точка $x_0$.
(1)
\begin{align} \overset{\mathrm{de{}f}}\Longrightarrow \Delta f = f(x) - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) + \epsilon(x - x_0)(x - x_0),\quad \underset{x \to x_0}\lim \epsilon(x - x_0) = 0 \end{align}
Сега ще прехвърлим $f(x)$ от едната страна, и като игнорираме множителя с епсилон (защото клони към 0) ще получим полинома:
(2)
\begin{array} {rcl} f(x) &=& \underbrace{f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)}_{\mathrm{y-e.}} + c(x), \quad \lim c(x) = 0\\ f(x) &\approx& f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\\ P_1(x) &=& f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\\ \Longrightarrow & & P_1(x_0) = f(x_0)\\ & & P_1'(x_0) = (f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0))_{x_0}' = (f(x_0) + 0)'_{x_0} = f'(x_0)\\ \end{array}
Примерът показва как може да си направим полином, чиято нулева и първа производна в дадена точка да съвпадат с нулевата и първата производна на произволна фукция (все пак те трябва да съществуват).
Сега ще видим как стоят нещата с производни от по-висок ред.
Лема 1:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$
и нека $\exists f^{(k)}(x_0)\ (k = 1, 2, \cdots, n)$.
Тогава съществува полином $P_n(x)$ от степен не по-голяма от $n$, такъв че $P_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)\hspace{3 mm}(k = 1, 2, \cdots, n)$
Такъв полином ще наричаме полином на Тейлор в точка $x_0$.
Доказателство:
Ще докажем един прост факт за една интересна функция, и после излиза веднага (умен съм бил сетил съм се style):
(3)
\begin{align} \varphi_m (x) = (x -x_0)^m \quad (m \in \mathbb N) \end{align}
Ще докажем:
(4)
\begin{align} \forall k \in \mathbb N : \varphi_m^{(k)}(x_0) = \left\{\begin{array}{lr} 0 & k \ne m\\ m! & k = m \end{array}\right\} \end{align}
Ще разгледаме какво се случва при $k$ по-малко, равно и по-голямо от m:
(5)
\begin{array} {rcl} \mathrm{1.} & k < m & \varphi_m^{(k)}(x_0) = \big(m(m-1)\cdots(m-k+1)\big)\underbrace{(x-x_0)^{m-k}}_{= 0}\\ \mathrm{2.} & k = m & \varphi_m^{(k)}(x_0) = \big(m(m-1)\cdots\underbrace{(m-(m-1))}_{=1}\big) = m!\\ \mathrm{3.} & k > m & \varphi_m^{(k)}(x_0) = 0\\ \end{array}
След като доказахме това интересно свойство за тази още по-интересна функция, трабва да си конструираме и полинома. Ето го и него:
(6)
\begin{align} P_n(x) = \sum_{k = 0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \underbrace{(x - x_0)^k}_{=\varphi_k(x)} \end{align}
(7)
\begin{align} \forall s : 1 \le s \le n \Rightarrow P_n^{(s)}(x_0) = \sum_{k=0}^n \underbrace{\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}}_{\mathrm{const}}\varphi_k^{(s)}(x_0) = \dfrac{f^{(s)}(x_0)}{s!} s! = f^{(s)}(x_0) \end{align}
Обърнете внимание, че понеже всички членове на сумата, освен един (s-тия), имат нулев коефициент ($\varphi_k^{(s)}(x_0),\ s \ne k$) и само един има ненулев (който се оказва точно k!), то цялата сума се редуцира до този множител, който за щастие се оказва точно s-та производна на нашата функция в точка $x_0$.
Развитие на функция в ред на Тейлор
Преди да се докопаме до теоремата за развитие в ред на Тейлор, трябва да докажем още една лемичка.
Лема 2:
Нека $\varphi(x), \psi(x)$ са дефинирани върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ и такива, че:
(8)
\begin{array} {ll} \mathrm{1.} & \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \Rightarrow \exists \varphi^{(k)}(x), \psi^{(k)}(x) \hspace{3 mm} (k = 1, 2, \cdots, n+1)\\ \mathrm{2.} & \varphi(x_0) = \varphi'(x_0) = \cdots = \varphi^{(n)}(x_0) = 0\\ & \psi (x_0) = \psi'(x_0) = \cdots = \psi^{(n)}(x_0) = 0\\ \mathrm{3.} & \psi^{(k)} \ne 0\ \forall x \ne x_0,\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \hspace{3 mm} (k = 0, 1, 2, \cdots, n, n + 1)\\ \\ \Longrightarrow & \forall x \ne x_0,\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\hspace{3 mm} \exists c \in \left\{\begin{align}(x, x_0)\\(x_0, x)\end{align}\right\} :\\ & \dfrac{\varphi(x)}{\psi(x)} = \dfrac{\varphi^{(n+1)}(c)}{\psi^{(n+1)}(c)} \end{array}
Както може да се досетите тука всичко е много нагласено с цел да се използва по-нататък, така че без паника!
Доказателство:
Ще използваме n пъти теоремата на Коши, като всеки път ще правим връзка, между производните от ред k и k+1. Накрая ще събрем всичко в едно дълго равенство и ще се получи:
Нека $x \ne x_0,\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta),\ x_0 \overset{\mathrm{BOO}}< x$
Да разгледаме $\varphi, \psi$ върху интервала $[x_0, x]$:
(9)
\begin{array} {ll} \mathrm{1.} & \varphi, \psi \mbox{ continuous over } [x_0, x]\\ \mathrm{2. } & \exists \varphi', \psi' \mbox{ over } (x_0, x)\\ \mathrm{3. } & \psi(x) \ne 0 \mbox{ over } (x_0, x)\\ \end{array}
Тогава условията от теоремата на Коши са изпълнени и можем да я приложим:
(10)
\begin{align} \exists c_1,\ x_0 < c_1 < x : \dfrac{\varphi(x) - \overbrace{\varphi(x_0)}^{0}}{\psi(x) - \underbrace{\psi(x_0)}_{0}} = \dfrac{\varphi'(c_1)}{\psi'(c_1)} \iff \dfrac{\varphi(x)}{\psi(x)} = \dfrac{\varphi'(c_1)}{\psi'(c_1)} \hspace{5 mm}\mathrm{(1)} \end{align}
Ето това е първата връзка - видяхме че отношението на 2те функции в точка $x$ е същото като отношението на производните им в точка, по-близка до $x_0$ от $x$.
Ще продължим по същия начин със 2ра, 3та итн производни. Ще покажа само за 2ра за да хванете идеята:
Разгледаме $\varphi', \psi'$ върху интервала $[x_0, c_1]$:
(11)
\begin{array} {ll} \mathrm{1.} & \varphi', \psi' \mbox{ continuous over } [x_0, c_1]\\ \mathrm{2. } & \exists \varphi'', \psi'' \mbox{ over } (x_0, c_1)\\ \mathrm{3. } & \psi'(x) \ne 0 \mbox{ over } (x_0, c_1)\\ \end{array}
Прилагаме теоремата на Коши за функциите $\varphi'(x), \psi'(x)$:
(12)
\begin{array} {cccccc} \Longrightarrow & \exists c_2 & x_0 < c_2 < c_1 & \dfrac{\varphi'(c_1) - \varphi'(x_0)}{\psi'(c_1) - \psi'(x_0)} = \dfrac{\varphi''(c_2)}{\psi''(c_2)} \iff & \dfrac{\varphi'(c_1)}{\psi'(c_1)} = \dfrac{\varphi''(c_2)}{\psi''(c_2)}& \mathrm{(2)}\\ \vdots\\ \Longrightarrow & \exists c_{n+1} & \ x_0 < c_{n+1} < c_n & & \dfrac{\varphi^{(n)}(c_n)}{\psi^{(n)}(c_n)} = \dfrac{\varphi^{(n+1)}(c_{n+1})}{\psi^{(n+1)}(c_{n+1})} & \mathrm{(n)} \end{array}
от (1), (2), $\cdots$(n) $\Longrightarrow$
(13)
\begin{array} {cc} \dfrac{\varphi(x)}{\psi(x)} = \dfrac{\varphi'(c_1)}{\psi'(c_1)} = \dfrac{\varphi''(c_2)}{\psi''(c_2)} = \cdots = \dfrac{\varphi^{(n)}(c_n)}{\varphi^{(n)}(c_n)} = \dfrac{\varphi^{(n+1)}(c_{n+1})}{\varphi^{(n+1)}(c_{n+1})} & x < c_{n+1} < c_n < \cdots < c_1 < x_0\\ \Downarrow & \Downarrow\\ \dfrac{\varphi(x)}{\psi(x)} = \dfrac{\varphi^{(n+1)}(c_{n+1})}{\varphi^{(n+1)}(c_{n+1})} & x < c_{n+1} < x_0 \end{array}
Вече сме на прага на теоремата на Тейлор. Какво гласи тя? Ами че всяка функция дефинирана върху околност на точка, и имаща производни до n+1 ред може да бъде разписана като полином.
Теорема(За равзитие на функция в ред на Тейлор):
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ и има производни до $(n+1)$ ред върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$. Тогава $\forall x \ne x_0,\ x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\ \exists c = c(x) \in \left\{\begin{align}(x, x_0)\\(x_0, x)\end{align}\right\} :$
(14)
\begin{align} f(x) = \underbrace{\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k}_{P_n(x)} + \underbrace{\dfrac{f^{(n+1)}(c(x))}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}}_{c_n(x)} \end{align}
Едната част от израза (познайте от 3 пъти коя) за изненада се оказва полинома на Тейлор, докато оставащата частичка наричаме остатък във формулата на Тейлор във вид на Лагранж, и понеже ни мързи ще му викаме само остатък.
Нарочно оставих във остатъка $c(x)$, за да не забравяте, че всъщност това $c$ е различно за различните $x$.
Доказателство:
(15)
\begin{equation} c_n(x) = f(x) - P_n(x) \end{equation}
Сега ще си образуваме 2 функции, който по случайност ще изпълняват условията на Лема 2, така че ще може да я приложим.
(16)
\begin{align} \mbox{Let } \begin{array}{|rcl}\varphi(x) &=& c_n(x)\\ \psi(x) &=& (x-x_0)^{n+1}\end{array} \end{align}
(17)
\begin{array} {l} \varphi^{(k)}(x_0) = \big(c_n(x_0)\big)^{(k)} = f^{(k)}(x_0) - P_n^{(k)}(x_0) \overset{\mbox{Lema 1}}= f^{(k)}(x_0) - f^{(k)}(x_0) = 0 \hspace{3 mm} \forall k < n + 1\\ \psi(x) = (x - x_0)^{n+1} \ne 0\hspace{3 mm} \forall x \ne x_0\\ \forall k = \overline{1..n}\ \psi^{(k)}(x) = \big((n+1)n(n-1)\cdots(n+1-(k-1))\big)(x-x_0)^{n+1-k} \ne 0 \mbox{ for } x \ne x_0\\ \psi^{(k)}(x_0) = 0 \mbox{ for } k < n+1 \end{array}
Следователно са изпълнени условията на Лема 2.
Тогава:
(18)
\begin{align} \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)\hspace{3 mm} \exists c \in (x, x_0):\\ \begin{array}{ccc} \dfrac{\varphi(x)}{\psi(x)} & = \dfrac{\varphi^{(n+1)}(c)}{\psi^{(n+1)}(c)} = \dfrac{f^{(n+1)}(c) - \overbrace{P_n^{(n+1)} (x)}^{0}}{(n+1)!} =& \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\\ \downarrow & & ||\\ \dfrac{f(x) - P_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}} &=& \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\\ \end{array} \end{align}
Умножаваме по $(x-x_0)^{n+1}$ и сме готови:
(19)
\begin{align} \Longrightarrow f(x) = P_n(x) + \dfrac{f^{(n+1)}(c)(x - x_0)^{n+1}}{(n+1)!} \end{align}
Формула на Маклорен
Дефиниция:
Формула на Тейлор при $x_0 = 0$ наричаме формула на Маклорен
Пример(развитие на $e$ във ред на Тейлор):
(20)
\begin{align} f(x) = e^x\ \forall x \in \mathbb R\ x \ne 0 \hspace{2 mm} \exists c \in (0, c): \end{align}
(21)
\begin{array} {rcl} e^x &=& \sum_{k = 0}^n \dfrac{(e^x)^{(k)}_{x = x_0}}{k!}x^k + \dfrac{(e^x)^{(n+1)}_{k = c}}{(n+1)!} x^{n+1}\\ &=& \underset{k=0}{\overset{n}\sum} \dfrac{e^{x_0}.x^k}{k!} + r_n(x)\\ &=& \underset{k=0}{\overset{n}\sum} \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{e^c.x^{n+1}}{(n+1)!}\\ \end{array}
(22)
\begin{array} {rcl} e^1 &=& \underset{k=0}{\overset{n}\sum} \dfrac{1}{k!} + \dfrac{e^c . 1^{n+1}}{(n+1)!}\\ &=& \underset{k=0}{\overset{n}\sum} \dfrac{1}{k!} + \dfrac{e^c}{(n+1)!},\hspace{4 mm} \text{като }\lim_{n \to \infty} \dfrac{e^c}{(n+1)!} = 0, \end{array}
(23)
\begin{align} e\ =\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!} \end{align}
(24)
\begin{align} \sin x = \sum_{k=0}^n (-1)^k \dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + r_{n+2}(x)\hspace{7 mm} \left(\mbox{hint: }\sin^{(k)}(x) = \sin\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)\right) \end{align}
(25)
\begin{align} \cos x = \sum_{k=0}^n (-1)^k \dfrac{x^{2k}}{(2k)!} + r_{2n+1} (x)\hspace{7 mm} \left(\mbox{hint: }\cos^{(k)}(x) = \cos\left(x + \frac{k\pi}{2}\right)\right) \end{align}
(26)
\begin{align} \ln(1+x) = \sum_{k+1}^n \dfrac{(-1)^{n-1}.x^n}{n} + r_n(x) \hspace{7mm} \big(\mbox{hint: }\ln^{(k)}(1 + x) = (-1)^{k-1} . (k-1)! \big) \end{align}
(27)
\begin{align} \ln(1-x) = - \sum_{k+1}^n \dfrac{x^n}{n} + r_n(x)\hspace{7 mm} \big(\mbox{hint: } \ln^{(k)}(1-x) = -(k-1)! \big) \end{align}
