Тема 18

Правило на Лопитал. Разкриване на неопределености.


Правило на Лопитал

Теорема(Правило на Лопитал):
Нека $f(x)$ и $g(x)$ са дефинирани върху $[a, b]$ и:

  1. $\underset{x \to a}\lim f(x) = \underset{x \to a}\lim g(x) = 0$
  2. $\exists f'(x)$ и $g'(x)$ върху $(a, b)$, $g'(x) \ne 0\ \forall x \in (a, b)$
  3. $\exists \underset{x \to a}\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = k$

$\Longrightarrow \underset{x \to a}\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \underset{x \to a}\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = k$

С думи прости - ако търсим границата на дроб, числителя и знаменателя на която клонят към 0, можем да сменим числителя и знаменателя (едновременно) с техните производни и границата ще се запази. Това е много използвано свойство при намирането на сложни граници!

В случаите, когато $\underset{x \to a}\lim f(x) = \pm\infty$ или $\underset{x \to a}\lim g(x) = \pm\infty$, правилото също може да бъде използвано, понеже винаги може да се направи полагане, след което получаваме описания с нулите случай.

Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License