Тема 18

Правило на Лопитал. Разкриване на неопределености.

---

Правило на Лопитал

Теорема(Правило на Лопитал):
Нека $f(x)$ и $g(x)$ са дефинирани върху $[a, b]$ и:

1. $\underset{x \to a}\lim f(x) = \underset{x \to a}\lim g(x) = 0$
2. $\exists f'(x)$ и $g'(x)$ върху $(a, b)$, $g'(x) \ne 0\ \forall x \in (a, b)$
3. $\exists \underset{x \to a}\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = k$

$\Longrightarrow \underset{x \to a}\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \underset{x \to a}\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = k$

С думи прости - ако търсим границата на дроб, числителя и знаменателя на която клонят към 0, можем да сменим числителя и знаменателя (едновременно) с техните производни и границата ще се запази. Това е много използвано свойство при намирането на сложни граници!

В случаите, когато $\underset{x \to a}\lim f(x) = \pm\infty$ или $\underset{x \to a}\lim g(x) = \pm\infty$, правилото също може да бъде използвано, понеже винаги може да се направи полагане, след което получаваме описания с нулите случай.

Доказателство:

Покажи

Ще използваме теоремата на Коши, която доказахме в предната точка. Ключовото обаче е, да си дефинираме 2 функции, много подобни на $f(x)$ и $g(x)$, за които обаче сме сигурни, че са 0 в точка a:
$\forall x \in (a, b):$

(1)

\begin{align} \forall x \in (a, b): F(t) = \left\{ \begin{array}{ll} f(t) & t \in (a, x]\\ 0 & t = a\\ \end{array}\right. G(t) = \left\{ \begin{array}{ll} g(t) & t \in (a, x]\\ 0 & t = a\\ \end{array}\right. \end{align}

Тези две функции са непрекъснати във всяка точка $t \in (a, x]$, но също така са непрекъснати и в точка $a$, защото $\underset{x \to a}\lim F(x) = \underset{x \to a}\lim f(x) = 0 = F(a)$ (Аналогично за $G(x)$).
Сега може да забележим, че 2те нови функции отговарят на условията от теоремата на Коши:

1. $F(x), G(x)$ непрекъснати върху $[a, x]$
2. $\exists F'(t) = f'(t), G'(t) = g'(t)\ \forall t \in [a, x]$
3. $\forall t \in [a, x] : G'(t) = g'(t) \ne 0$

(2)

\begin{align} \overset{\mathrm{Th. Koshi}}\Longrightarrow \exists c \in [a, x] : \dfrac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \dfrac{F'(c)}{G'(c)} \iff \dfrac{F(x)}{G(x)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \overset{\star}\iff \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \end{align}

$\star$ следва от факта, че и двете точки $x$ и $a$, са различни от 0, за който имаме че функциите съвпадат (както и производните им)
Горното твърдение важи за всяко $x$. Т.е може да си представим че имаме функцията $c = c(x)$ (защото за всяко $x$ съществува $c$, зависещо от това $x$). Тогава:

(3)

\begin{align} \dfrac{f(x)}{g(x)} \overset{\mathrm{(2)}}= \dfrac{f'(c(x))}{g'(c(x))} \iff \underset{x \to a}\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \underset{x \to a}\lim \dfrac{f'(c(x))}{g'(c(x))} = \underset{c \to a}\lim \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \end{align}

$c$ клони към а, защото винаги $c(x) \in [a, x] \Rightarrow a \le c = c(x) \le x$ и прилагаме теоремата за 10те полицая и електрическата крушка.