Теорема на Лагранж. Основна теорема на интегралното смятане. Теорема на Коши.
Теорема на Лагранж (Теорема за крайните нараствания)
Теoрема:
Ако f(x) e
1. Непрекъсната над $[a,b]$
2. $\exists f'(x) \forall x \in (a,b)$
то $\exists c \in (a,b)$, за която
$f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Забележете, че първият интервал е затворен, а вторият - отворен.
Доказателство:
Доказателсвото се основава на теоремата на Рол. Съставяме си помощна функция $F(x) = f(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)$ която е непрекъсната над $[a,b]$ и диференцируема над $(a,b)$ (използването на помощни функции е черна магия - много силно оръжие, но е трудно за научаване).
Нашата помощна функция има равни стойности в края на интервала $[a,b]$, специално сме си я избракли такава за да можем да приложим теоремата а Рол.
$F'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
От теоремата на Рол имаме, че за F има точка $c \in (a,b)$ за която $F'(c)=0$. Което означава $F'(c) = f'(c) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 \Rightarrow f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ и така намерихме $c$ коetо да отговаря на условията на теоремата. С което доказахме нашата теорема. В това доказателство трябва да запомните, че се използва теоремата на Рол и да намерите начин да запомните помощната функция(хубаво ще е да се позамислите малко, за да започнете сами да намирате подходящи помощни функции за целите които искате да постигнете).
Теорема на Коши
Теорема:
$f(x)$, $g(x)$ - диференцируеми над $(a,b)$ и непрекъснати над $[a,b]$ и $g'(x) \ne 0$
$\Rightarrow \exists c \in (a,b) : \dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$
Доказателство:
Аналогично с предното, но малко по-сложно.
Този път помощната ни функция ще е $F(x) = f(x) - \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x) - g(b))$ (тя отново е непрекъсната над $[a,b]$ и диференцируема над $(a,b)$ и $g(x)!=0$) - почти същата, както в предишната теорема. Основната разлика е g(x), което е сложено, за да можем да го прехвърлим като делител под $f'$ по-късно, след като приложим Рол1.
Отново функцията има равни стойности за $a$ и $b$.
Сега прилагаме Рол за $F$ от което следва $\exists c \in (a,b) : F'(c)=0$. Като:
$F'(x) = f'(x) - \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x) \Rightarrow f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)$
Kакто споменахме по-рано, сега ще прехвърлим $g'(x)$ под $f'(x)$ и ще се получи:
$\dfrac{f'(c)}{g'(c)} = \dfrac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}$
и така получихме това, което искахме, с което тоеремата е доказана.
Основна теорема на интегралното смятане (ОТИС)
Теорема:
Нека $f(x)$ e диференцируема над интервала $<a,b>$. Изпълнено е $f'(x) = 0$, тогава и само тогава, когато $f(x) = const$.
Доказателство:
За доказателството ще използваме теоремата на Лагранж, дефинирана и доказана по-горе (използваме я, защото тя ни дава вързка между произовдната и функцията).
Доказателство в права посока:($\Rightarrow$)
Имаме, че за всяка точка $x_0 \in <a,b> , f'(x_0) = 0$. За всяка друга точка $x \in <a,b> , x \ne x_0$ важи теоремата на Лагранж за интервала $[x,x_0]$ (за определеност сме избрали $x < x_0$).
$\exists c \in <x,x_0> : f'(c) = \dfrac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}$ ,
но $f'(x) = 0 \ \forall \ x \in <a,b>$ и така стигаме до равенстовто
$\dfrac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}=0 \Rightarrow f(x_0)=f(x)$
където $f(x)$ и $f(x_0)$ са стойности на функции, а не функции.
Можем да избираме както искаме $x_0$ и $x$, следователно теоремата е доказана. Идеята е, че стойността на функцията в точка $x_0$ е една и съща със стойността на функцията в останалите точки в интервала, следователно функцията е константа.
Доказателство в обратна посока:($\Leftarrow$)
Следва от дефиницията на производна. Производната количествено характеризира изменението на функция. Ако една функция не се изменя (т.е. е константнта), то нейното изменение е 0.
Следствие от теоремата:
Ако $f(x)$ и $g(x)$ са диференцируеми над $<a,b>$ следва, че $\exists \ c : g(x) \equiv f(x)+c \iff f'(x) = g'(x)$ върху $<a,b>$.