Анализ 1 Тема 16

Теорема на Ферма. Теорема на Рол.

Критична точка

Дефиниция(критична точка):
Точка, в която $\nexists f'(x_0)$ или $f'(x_0) = 0$ се нарича критична.

Теорема на Ферма

Теорема:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ за произволно $\delta>0$, като в точка $x_0,\ f(x)$ приема своята най-голяма (най-малка стойност) (локален екстремум). Тогава $x_0$ е критична: $\Longrightarrow \nexists f'(x_0)$ или $f'(x_0) = 0$ (т.е. или нямаме производна, или производната е 0).

Уточнение:
Обратното съвсем не е вярно:
1. Ако $\nexists f'(x_0)$, то $f(x_0)$ може да е каквато си поиска (ако има стойност въобще).
2. Ако $f'(x_0) = 0$, то може $x_0$ да е инфлексна (производната на $x^3$ в 0) и затова да нямаме нито максимум, нито минимум.

Доказателство:

За опеделеност ще приемем, че в точка $x_0,\ f(x)$ приема най-голяма стойност. Т.е:
$\forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$

(1)

\begin{align} \left\{\begin{matrix} f'(x_0) &=& f'(x_0 + 0) &=& \underset{x \to x^+_0}\lim \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} &\le &0\\ f'(x_0) &=& f'(x_0 - 0) &=& \underset{x \to x^-_0}\lim \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} &\ge& 0\\ \end{matrix}\right\} \iff f'(x_0) = 0 \end{align}

Теорема на Рол

Теорема:
Нека $f(x)$ е определена върху краен затворен интервал $[a, b]$ и такава че:

1. $f(x)$ е непрекъсната върху [a, b]
2. $\exists f'(x)\hspace {3 mm} \forall x \in (a, b)$
3. $f(a) = f(b)$

(2)

\begin{align} \Longrightarrow \exists c \in (a, b) : f'(c) = 0 \end{align}

Доказателство:

Ще използваме теоремата на Вайерщрас, която гласи, че всяка непрекъсната функция върху краен затворен интервал достига своята най-голяма и най-малка стойност за някакви стойности принадлежащи на интервала. Т.е

(3)

\begin{align} \exists x_0, x_1 \in [a, b] : f(x_1) = \max_{x \in [a, b]} f(x) ; f(x_0) = \min_{x \in [a, b]} f(x) \end{align}

• Ако минимумът и максимумът са равни, тогава функцията е константа, т.е производна нула навсякъде - т.е теоремата е доказана
• Ако минимумът и максимумът се различават, тогава със сигурност поне едно от $x_0, x_1$ще бъде различно от $a$ и $b$ (защото $f(x_0) \ne f(x_1)$, а $f(a) = f(b))$. Без ограничение на общността допускаме, че $x_0 \ne a$ и $x_0 \ne b$.

Тогава $x_0 \in (a, b)$, $x_0$ локален екстремум $\overset{\mbox{Th Ferma}}\Rightarrow f'(x_0) = 0.$.
Готово - намерихме точка от отворения интервал, с нулева производна.