Тема 15

Производни от по-висок ред. Формула на Лайбниц.

Внимание!
От този момент нататък материалът е само за джедаи.
Сериозно, досега те пазехме от по-страшните неща, но вече става сложно.
Обаче аз вярвам в теб, ако се опиташ - ще се справиш.

Производни от по-висок ред

До сега сме разглеждали първа, и може би втора производна на функция. Сега ще дефинираме термина $n$-та производна:
Дефиниция(n-та производна):

• $f(x) = f^{(0)}(x)$ нулевата производна е просто самата функция
• $f'(x) = f^{(1)}(x)$ първа производна
• $f^{(n)} = \big(f^{(n-1)}(x)\big)'$ с други думи $n$-тата производна на дадена функция е производната на $n-1$-вата производна

Формално трябва да запишем:
Ako $\exists f^{(n-1)}(x)$ върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ и $\exists \big(f^{(n-1)}(x)\big)'$ в точка $x_0$, то тогава $f^{(n)}(x_0)$ наричаме n-та производна на f(x) в точка $x_0$

Примери

(1)

\begin{align} \begin{array}{lcl} & & \forall n \in \mathbb N \\ (e^x)^{(n)} &=& e^x\\ (a^x)^{(n)} &=& a^x \ln^n a\\ (x^\alpha)^{(n)} &=& \alpha (\alpha - 1) (\alpha - 2) \cdots (\alpha - n + 1) x^{\alpha - n} \\ (\ln x)^{(n)} &=& (x^{-1})^{(n-1)} = (-1)(-1 -1) \cdots (-1 -((n-1) - 1)) x ^{-1 - (n-1)} = (-1)^{n-1}(n-1)! x^{-n} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\\ & & \begin{array}{lcrcr} (\sin x)' &=& \cos x &=& \sin (x + \frac{\pi}{2})\\ (\sin x)'' &=& -\sin x &=& \sin (x + \pi)\\ (\sin x)''' &=& -\cos x &=& \sin(x + \frac{3\pi}{2})\\ (\sin x)^{(4)} &=& \sin x &=& \sin(x + 2\pi)\\ \end{array}{lcrcr}\\ (\sin x)^{(n)} &=& \sin (x + \frac{n\pi}{2})\\ (\cos x)^{(n)} &=& \cos (x + \frac{n\pi}{2})\\ \end{array}{lcl} \end{align}

n-та производна на сбор на две функции

Теорема(За намиране на n-та производна на сбор):
Нека $f(x)$ и $g(x)$ имат производни до $n$-ти ред в интервала $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Тогава:

(2)

\begin{align} \exists \big[ \lambda f(x_0) + \mu g(x_0) \big] ^{(n)} = \lambda f^{(n)}(x_0) + \mu g^{(n)}(x_0) \end{align}

Доказателство

Покажи

Условието предполага, че $f(x)$ и $g(x)$ са дефинирани върху $x_0$ и $\exists f^{(k)}(x), g^{(k)} (x)$ върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ за $k = 1, 2, \cdots, n-1$

Ще докажем теоремата с индукция по n:
При $n = 1$ имаме първа производна, т.е $\big[\lambda f(x) + \mu g(x)\big]' = \lambda f'(x) + \mu g'(x)$
Допускаме че е вярно за n.
Сега ще докажем за $n+1$:

(3)

\begin{array} {rcl} \big[\lambda f(x) + \mu g(x) \big]^{(n+1)} &\overset{\mbox{def}}=& \Big[\big[ \lambda f(x) + \mu g(x) \big] ^ {(n)} \Big]' \\ & \overset{\mbox{induction}}=& \big[ \lambda f^{(n)}(x) + \mu g^{(n)}(x)\big]'\\ & \overset{\mbox{CB}}=& \big(\lambda f^{(n)}(x)\big)' + \big(\mu g^{(n)}(x)\big)'\\ &\overset{\mbox{def}}=& \lambda f^{(n+1)}(x) + \mu g^{(n+1)}(x)\\ \end{array}

Формула на Лайбниц

Формулата на Лайбниц е просто формулата за развитие на n-та производна на произведение:
Теорема(Формула на Лайбниц):
Нека $f(x)$ и $g(x)$ имат производни до $n$-ти ред върху $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Тогава:

(4)

\begin{align} \exists \big[f(x).g(x)\big]^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) . g^{(k)}(x) \end{align}

Доказателство:

Покажи

Отново ще използваме индукция по n:

1. При $n = 1$:

(5)

\begin{array} {rcl} \big[ f(x)g(x)\big]' &=& f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \\ &=& \binom{1}{0} f^{(1-0)}(x)g^{(0)}(x) + \binom{1}{1}f^{(1-1)} g^{(1)}(x)\\ &=& \underset{k=0}{\overset{1}\sum} \binom{1}{k} f^{(1-k)}(x) g^{(k)}(x)\\ \end{array}

Т.е всичко е наред.

1. Допускаме че твърдението е вярно за $n$
2. Ще докажем при $n+1$:

(6)

\begin{eqnarray} \big[f(x)g(x)\big]^{(n+1)} &=& \Big[\big[ f(x) g(x) \big]^{(n)}\Big]'\\ &=& \Big[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) . g^{(k)}(x) \Big]'\\ &\overset{\bmox{T1}}=& \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \big[ f^{(n-k)}(x) . g^{(k)}(x) \big]'\\ &=& \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \big[ f^{(n-k+1)}(x) g^{(k)}(x) + f^{(n-k)}(x)g^{(k+1)}(x)\big]\\ &=& \underbrace{\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k+1)}(x) g^{(k)}(x)}_{A} + \underbrace{\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) g^{(k+1)} (x)}_{B}\\ &=& \overbrace{\binom{n}{0} f^{(n+1)}.g^{(0)}(x) + \underbrace{\sum_{p=1}^{n}}_{p=k} \binom{n}{p} f^{(n-p+1)}(x) g^{(p)}(x)}^{A} + \overbrace{\underbrace{\sum_{p=1}^{n}}_{p=k+1} \binom{n}{p-1} f^{(n-p+1)}(x) g^{(p)} (x) + \binom{n}{n} f^{(0)}(x) g^{(n+1)}(x)}^{B}\\ &=& \binom{n+1}{0} f^{(n+1)}.g^{(0)}(x) + \sum_{p=1}^{n} \underbrace{\Bigg( \binom{n}{p} + \binom{n}{p-1}\Bigg)}_{\binom{n+1}{p}} \Big( f^{(n-p+1)}(x) g^{(p)} (x) \Big) + \binom{n+1}{n+1}f^{(0)}(x)g^{(n+1)}(x)\\ &=& \sum_{p=0}^{n+1} \binom{n+1}{p} f^{(n+1-p)}(x) g^{(p)}(x) \end{eqnarray}

WOW това беше голямо :)

Пример

(7)

\begin{align} f^{(n)}(x) = \big(x^3 e^{2x}\big)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (e^{2x})^{(n-k)} (x^3)^{(k)}\\ \end{align}

Покажи

(8)

\begin{eqnarray} (e^{2x})' &=& 2e^{2x}\\ (e^{2x})^{(n)} &=& 2^n e^{2x}\\ \end{eqnarray}

(9)

\begin{eqnarray} (x^3)^{(1)} &=& 3x^2 & \\ (x^3)^{(2)} &=& 6x & \\ (x^3)^{(3)} &=& 6 & \\ (x^3)^{(n)} &=& 0 & \forall n \ge 4\\ \end{eqnarray}

(10)

\begin{eqnarray} f^{(n)} (x) &=& \binom{n}{0} (e^{2x})^{(n)}x^3 \\ &+& \binom{n}{1} (e^{2x})^{(n-1)}(x^3)' \\ &+& \binom{n}{2} (e^{2x})^{(n-2)}(x^3)'' \\ &+& \binom{n}{3} (e^{2x})^{(n-3)}(x^3)''' \\ &=& 2^n e^{2x} x^3\\ &+& n 2^{n-1} e^{2x} 3x^2\\ &+& \frac{n(n-1)}{2!} 2^{n-2} e^{2x} 6x\\ &+& \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} 2^{n-3} e^{2x} 6\\ &=& 2^{n-3} e^{2x} \Big[ 8x^3 + 12nx^2 + 6n(n-1)x + n(n-1)(n-2)\Big] \end{eqnarray}