Тема 15

Производни от по-висок ред. Формула на Лайбниц.

Внимание!
От този момент нататък материалът е само за джедаи.
Сериозно, досега те пазехме от по-страшните неща, но вече става сложно.
Обаче аз вярвам в теб, ако се опиташ - ще се справиш.

Производни от по-висок ред

До сега сме разглеждали първа, и може би втора производна на функция. Сега ще дефинираме термина $n$-та производна:
Дефиниция(n-та производна):

  • $f(x) = f^{(0)}(x)$ нулевата производна е просто самата функция
  • $f'(x) = f^{(1)}(x)$ първа производна
  • $f^{(n)} = \big(f^{(n-1)}(x)\big)'$ с други думи $n$-тата производна на дадена функция е производната на $n-1$-вата производна

Формално трябва да запишем:
Ako $\exists f^{(n-1)}(x)$ върху $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ и $\exists \big(f^{(n-1)}(x)\big)'$ в точка $x_0$, то тогава $f^{(n)}(x_0)$ наричаме n-та производна на f(x) в точка $x_0$

Примери

(1)
\begin{align} \begin{array}{lcl} & & \forall n \in \mathbb N \\ (e^x)^{(n)} &=& e^x\\ (a^x)^{(n)} &=& a^x \ln^n a\\ (x^\alpha)^{(n)} &=& \alpha (\alpha - 1) (\alpha - 2) \cdots (\alpha - n + 1) x^{\alpha - n} \\ (\ln x)^{(n)} &=& (x^{-1})^{(n-1)} = (-1)(-1 -1) \cdots (-1 -((n-1) - 1)) x ^{-1 - (n-1)} = (-1)^{n-1}(n-1)! x^{-n} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}\\ & & \begin{array}{lcrcr} (\sin x)' &=& \cos x &=& \sin (x + \frac{\pi}{2})\\ (\sin x)'' &=& -\sin x &=& \sin (x + \pi)\\ (\sin x)''' &=& -\cos x &=& \sin(x + \frac{3\pi}{2})\\ (\sin x)^{(4)} &=& \sin x &=& \sin(x + 2\pi)\\ \end{array}{lcrcr}\\ (\sin x)^{(n)} &=& \sin (x + \frac{n\pi}{2})\\ (\cos x)^{(n)} &=& \cos (x + \frac{n\pi}{2})\\ \end{array}{lcl} \end{align}

n-та производна на сбор на две функции

Теорема(За намиране на n-та производна на сбор):
Нека $f(x)$ и $g(x)$ имат производни до $n$-ти ред в интервала $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Тогава:

(2)
\begin{align} \exists \big[ \lambda f(x_0) + \mu g(x_0) \big] ^{(n)} = \lambda f^{(n)}(x_0) + \mu g^{(n)}(x_0) \end{align}

Доказателство

Формула на Лайбниц

Формулата на Лайбниц е просто формулата за развитие на n-та производна на произведение:
Теорема(Формула на Лайбниц):
Нека $f(x)$ и $g(x)$ имат производни до $n$-ти ред върху $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Тогава:

(4)
\begin{align} \exists \big[f(x).g(x)\big]^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)}(x) . g^{(k)}(x) \end{align}

Доказателство:

Пример

(7)
\begin{align} f^{(n)}(x) = \big(x^3 e^{2x}\big)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (e^{2x})^{(n-k)} (x^3)^{(k)}\\ \end{align}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License