Производни на основните елементарни функции.
1. $F'(x) = (c)' = 0$
2. $F'(x) = (x) ' = 1 \forall x \in \mathbb{R}$
Първите 2 са елементарни и следват директно от разписване на диференчното частно. Следващите ще доказваме.
3. $F'(x) = (x^n)' = nx^{n-1} , \ n \in \mathbb{N}$
$\dfrac {\vartriangle F}{\vartriangle x} = \dfrac {f(x+ \vartriangle x) - f(x))}{\vartriangle x} = \dfrac{(x+ \vartriangle x)^n - x^n}{\vartriangle x} =$
Развиваме $(x+ \vartriangle x)^n$ като Нютонов бином.
$= \dfrac{ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}{\vartriangle x}^k- x^n}{\vartriangle x} = \dfrac{ x^n + nx^{n-1} \vartriangle x + \binom{n}{2}x^{n-2}\vartriangle x^2 + ....+ \binom{n}{n}\vartriangle x^n - x^n }{\vartriangle x} = { nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\vartriangle x^1 + ....+ \binom{n}{n}\vartriangle x^{n-1} }$
И сега смятаме границата на диференчното частно.
$\lim_{\vartriangle n \to 0} ( { nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\vartriangle x^1 +....+ \binom{n}{n}\vartriangle x^{n-1} } )=nx^{n-1} + 0 + 0 +..+0 \Rightarrow \lim_{\vartriangle x \to 0} = nx^{n-1}$
$4. F'(x) = (\sin{x})' = \cos x$
$\dfrac {\vartriangle F}{\vartriangle x} = \dfrac{ \sin(x+\vartriangle x) + \sin{x} }{\vartriangle x} = \dfrac{2 \sin(\dfrac{\vartriangle x}{ 2 })\cos(x+\dfrac{\vartriangle x}{2})}{\vartriangle x}$
Търсим границата на диференчното частно (като имаме предвид, че $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$ )
$\lim_{\vartriangle n \to 0} \dfrac{ \sin(\dfrac{\vartriangle x}{ 2 })\cos(x+\dfrac{\vartriangle x}{2})}{\dfrac{\vartriangle x}{2}} = 1\lim_{\vartriangle n \to 0}\cos(x+\dfrac{\vartriangle x}{2}) = \cos(x)$
$5. F'(x) = (\cos{x})' = -\sin x$
Производната на косинус намираме по същите формули, като изпозлваме $\cos x = \sin( \dfrac{\pi}{2} - x)$
$6. F'(x) = (\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2x}$
$7. F'(x) = (cotg x)' = -\dfrac{1}{\sin^2x}$
Горните 2 получаваме чрез аритметични действия с производни, използвайки производните на sin и cos.
$8. F'(x) =(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
Забележка: Единствено $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ и $\lim_{x \to \infty} (1+\dfrac{1}{x})^x = e$
Разбира се производната е само за областа над която функцията е дефинирана т.е. искаме x > 0
(1)
\begin{array} {l} \dfrac{\vartriangle \ln x}{\vartriangle x} = \dfrac{\ln(x+\vartriangle x) -\ln x }{\vartriangle x} = \dfrac{1}{\vartriangle x} \ln \dfrac{x+\vartriangle x}{ x} = \dfrac{1}{\vartriangle x}\ln(1+\dfrac{\vartriangle x}{x}) = \\ \\ = \dfrac{1}{\vartriangle x}\dfrac{x}{\vartriangle x}\dfrac{\vartriangle x}{x}\ln(1+\dfrac{\vartriangle x}{x}) = \dfrac{1}{\vartriangle x}\dfrac{\vartriangle x}{x}\ln(1+\dfrac{\vartriangle x}{x}) ^{\dfrac{x}{\vartriangle x}} = \dfrac{1}{ x}\ln(1+\dfrac{\vartriangle x}{x}) ^{\dfrac{x}{\vartriangle x}} \\ \\ \lim_{\vartriangle x \to 0} \dfrac{\vartriangle \ln x}{\vartriangle x} = \dfrac{1}{ x}\ln e = \dfrac{1}{ x} \end{array}
Отново направихме съшото - разписахме диференчното частно и намерихме границата му,много важен момент е да се досетим да прекараме през $\ln e$ и как да получим неперовото число в натуралния логаритъм.
$9. F'(x) =(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$
$10. F'(x) =(a^x)' = a^x lna$
$11. F'(x) =(x^a)' = ax^{a-1}$ за $a \in \mathbb{R}$
$12. F'(x) = (\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$13. F'(x) = (\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$14. F'(x) = (\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$
$15. F'(x) = (arccotg x)' = -\dfrac{1}{1+x^2}$
Доказателствата на обратните функции става използвайки основното свойстов на обратни фукниции. Те се извеждат от производните на правите им функции.
Основното свойство на обратна функция e, че за $\forall y=f(x), f^{-1}(y) = x \Rightarrow f(f^{-1}(x)) \equiv x$
от това следва че
$[f(f^{-1}(x))]' = [x]'$
тоест
$f'(f^{-1}(x))f^{-1}(x) = 1$
сега преобразуваме математически
$[f^{-1}(x) ]'= \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \dfrac{1}{f'(y)}$
А ето как става и извеждането на $\arcsin x$, аналогично е и за другите функции.
(2)
\begin{array} {l} y = F(x) = \arcsin x \\ x = F^{-1}(y) = \sin y \\ (\arcsin x)'_x = \dfrac{1}{(\sin y)'_y} = \dfrac{1}{\cos y} = \dfrac{1}{\sqrt{1-sin^2 y}} = \dfrac{1}{\sqrt{1-sin^2(arcsin x)}} = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{array}
На кратко, за да намерите производна на елементарна функция, трябва да преобразувате диференчното частно до подходяща форма, за да му намерите лесно границата след това. Изключение правят обратните функции, за който извеждаме от производните на правите им функции.
