Тема 13

Правила за намиране на производни, свързани с аритметичните действия на функции. Производна на сложна функция.

Тази тема е много подобна на темата за аритметичните действия с граници и редици, доказателствата на аритметичните действия си приличат много. Хубаво ще е да запомните това, така ще е значително по-лесно да запомните и трите теми. Реално трябва само 1 от граници на функции/редици - те са взаимо заменяеими стига на изпита да сложите малко обяснения.

Сега ще изборим аритмтетичните действия с производни

Аритметични действия

(1)

\begin{array} {l} 1. (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x) \\ 2. (f-g)'(x) = f'(x)-g'(x) \\ 3. (fg)'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ 4. (\dfrac{f}{g})'(x) = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} \ g(x) \ne 0 \end{array}

Доста си приличат с предните аритметични действия.

Доказателства

За всички f и g приемаме, че са диференцируеми(от което следва, че са непрекъснати и разбира се дефинирани) над X.

(2)

\begin{array} {l} 1. (f+g)'(x) = f'(x)+g'(x) \dfrac{\vartriangle (f+g)}{\vartriangle x} = \dfrac{(f+g)(x) - (f+g)(x_0)}{x - x_0} = \\ = \dfrac{f(x)+g(x) - f(x_0) -(g)(x_0)}{x - x_0} = \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \dfrac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} \\ \Rightarrow \forall x_0 \in X , \exists \lim_{\vartriangle x \to 0} \dfrac{\vartriangle (f+g)}{\vartriangle x} = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} + \lim_{x \to x_0} \dfrac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)+g'(x_0) \end{array}

Първо разписваме диференчното частно на функцията, след това проверяваме дали за всяко $x_0$ от дефиниционната област границата на диференчното частно(тоест производната) е равна на това което искаме да е равна. И, тъй като е така, значи сме доказали правилото.
$2. (f-g)'(x) = f'(x)-g'(x)$
Второто става напълно аналогично.

$3. (fg)'(x) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
Отново разписваме диференчното частно:

(3)

\begin{array} {l} \dfrac{\vartriangle (fg)}{\vartriangle x} = \dfrac{(fg)(x) - (fg)(x_0)}{x - x_0} = \dfrac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0)}{x - x_0} = \end{array}

съшо както в предните доказателства на аритметично свойство събиране, прибавяме и изваждаме произведението на едно от "числата" и едно от функциите ($f(x_0)$ е константа защото $x_0$ e фиксирано число)

(4)

\begin{array} {l} = \dfrac{f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) + f(x_0)g(x) - f(x_0)g(x) }{x - x_0} = \dfrac{ g(x)(f(x) - f(x_0)) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) }{x - x_0} \end{array}

След математическо преобразуване на диференчното частно до желаната от нас форма, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$ и съответно тази граница е вярна за всяко число от X.

(5)

\begin{array} {l} \lim{x \to x_0 } \dfrac{ g(x)(f(x) - f(x_0)) + f(x_0)(g(x) - g(x_0)) }{x - x_0} = \\ =\lim{x \to x_0 } \dfrac{ g(x)(f(x) - f(x_0))}{x - x_0} + \lim{x \to x_0 } \dfrac{ f(x_0)(g(x) - g(x_0))}{x - x_0} = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \end{array}

Така отново достигнахме до желаната от нас производа и съответно и това правило е вярно.

$4. (\dfrac{f}{g})'(x) = \dfrac{f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)}{g^2(x)} \ g(x) \ne 0$
Онтово ще следваме същата схема, преобразуваме диференчното частно. Този път ще прибавим и извадим произведението на константите(изивнявайте че развалям изненадата в доказателстовто), и разглеждаме границата му, което е производната:

(6)

\begin{array} {l} \dfrac{\vartriangle (\dfrac{f}{g})}{\vartriangle x} = \dfrac{ \dfrac{f}{g}(x) - \dfrac{f}{g}(x_0)}{x - x_0} = \dfrac{ \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)}}{x - x_0} = \dfrac{ f(x)g(x_0)+f(x_0)g(x) }{g(x_0)g(x))}\dfrac{1}{x-x_0} = \dfrac{ f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)+f(x_0)g(x_0)-f(x_0)g(x) }{g(x_0)g(x))}\dfrac{1}{x-x_0} = \\ \\ = \dfrac{ g(x_0)(f(x)-f(x_0))+f(x_0)(g(x_0)-g(x)) }{x-x_0}\dfrac{1}{g(x_0)g(x))} = (\dfrac{ g(x_0)(f(x)-f(x_0))}{x -x_0}-\dfrac{f(x_0)(g(x)-g(x_0)) }{x-x_0})\dfrac{1}{g(x_0)g(x))} \end{array}

след като преобразувахме диференчното частно до този голям и тромав израз, ще разгледаме границата му при $x \to x_0$ като $x_0 \in X$

(7)

\begin{array} {l} \lim_{\vartriangle \to 0} \dfrac{\vartriangle (\dfrac{f}{g})}{\vartriangle x} =\lim_{x \to x_0} (\dfrac{ g(x_0)(f(x)-f(x_0))}{x -x_0}-\dfrac{f(x_0)(g(x)-g(x_0)) }{x-x_0})\dfrac{1}{g(x_0)g(x))} = \\ \\ \lim_{x \to x_0} \dfrac{1}{g(x_0)g(x))}( \lim_{x \to x_0}\dfrac{ g(x_0)(f(x)-f(x_0))}{x - x_0}-\lim_{x \to x_0}\dfrac{f(x_0)(g(x)-g(x_0)) }{x-x_0}) = \dfrac{1}{g(x_0)^2}(g(x_0)f'(x_0) - g'(x_0)f(x_0) ) \end{array}

и така стигнахме до това, че за всяко $x_0 \in X$ е вярно правилото, което и искахме да докажем.
Забележка: Това всъщност не е цялото, пълно, неоспоримо вярно доказателство. Но пълната версия разби съзнанието на последния, който се опита да я напише.

Производна на сложна функция

Сложна функция е функция във функция. Сега ще разберем каква е производната на f(g(x)) ако знаем f(x) и g(x).
f(g(x)) е диференцируема върху X. Това обаче означава малко повече в случая на сложните функции, от него следва

(8)

\begin{array} {l} g:X \longrightarrow U, U \subset \mathbb{R}, f:U \longrightarrow R, R \subset \mathbb{R} \\ \exists \ g'(x_0), \ x_0 \in X , \ f'(u_0), \ u_0 \in U \end{array}

Което означава, че за всяка стойност на $x \in X$ имаме u=g(x) в дефиниционната област на f такова, че имаме призводна в точка u за f. Сега, след като всичко това е изпълнено можем да кажем каква е производната на функцията f(g(x))

(9)

\begin{array} {l} F(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) \\ F'(x) = f'(g(x))g'(x) \end{array}

Доказателство:
Първо е добре да си припомним дефиницията за диференцифуемост на функцията f:

(10)

\begin{align} \vartriangle f = f(u) - f(u_0) = f'(u_0) (u - u_0) + \epsilon(u-u_0)(u - u_0), \hspace{3 mm} \lim_{u \to u_0} \epsilon(u-u_0) = 0 \end{align}

Т.е една функция f е диференцируема в точка $x_0$, ако са изпълнени горните 2 равенства (или по-специално, ако съществува функция епсилон, за която са изпълнени горните 2 равенства).

Тъй като в нашия случай, функцията f наистина е диференцируема в точка $u_0$ (по условие), то знаем че е изпълнено неравенството и лимеса.

Тъй като се интересуваме от наличието на производна в точка $x_0$ на функцията F, ще разгледаме диференчното частно на функцията в съответната точка (по-специално $\dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$)

(11)

\begin{eqnarray} \dfrac{F(x) - F(x_0)}{x-x_0} &\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}=& \dfrac{f(g(x)) - f(g(x_0))}{x-x_0} \\ &=& \dfrac{f(u) - f(u_0)}{x - x_0} \\ &=& \dfrac{f'(u_0)(u - u_0) + \epsilon(u - u_0)(u - u_0)}{x-x_0} \\ &=& f'(u_0) \dfrac{g(x) - g(x_0)}{x-x_0} + \epsilon(u - u_0)\dfrac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}\\ &=& f'(u_0) g'(x_0) + \epsilon(u - u_0) g'(x_0) \end{eqnarray}

Както виждате, просто заместваме $\vartriangle F$ със неговото равно от дефиницята, която припомних по-горе, използва се също, че $g(x) = u, \ g(x_0) = u_0$.

Сега да потърсим самата производна на функцията F в точка $x_0$, чрез прилагането на дефиницията за производна ( $F'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{\vartriangle F}{\vartriangle x}$ ):

(12)

\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} \dfrac{F(x) - F(x_0)}{x-x_0} &=& \lim_{x \to x_0} \big[ f'(u_0) g'(x_0) + \epsilon(u - u_0) g'(x_0) \big]\\ &=& f'(u_0) g'(x_0) + \lim_{u - u_0} \epsilon(u - u_0) g'(x_0) \\ &=& f'(u_0) g'(x_0) + 0 g'(x_0) \\ &=& f'(u_0) g'(x_0)\\ &=& f'(g(x_0)) g'(x_0) \end{eqnarray}

разбира се използвахме, че:

(13)

\begin{align} \lim_{u \to u_0} \big[ \epsilon(u - u_0) \big]= 0 \end{align}

защото функцията g(x) е непрекъсната в точка $x_0$.