Тема 12

Връзка между непрекъснатост и диференцируемост

Това мисля, че е най-кратката тема от конспекта
Теорема:
Ако една функция е диференцируема над интервала [a,b], то тя е непрекъсната върху [a,b].

Доказателство:
Искаме да докажем, че $\forall x_0 \in [a,b], \exists \underset{x \to x_0}\lim f(x) = f(x_0)$ - това е еквивалентно на $\forall x_0 \in [a,b], \exists \underset{x \to x_0}\lim f(x) - f(x_0) = \underset{\vartriangle x \to 0} \lim \vartriangle F = 0$.
Тъй като функцията е диференцируема, то $\vartriangle F = A*\vartriangle x - \epsilon(\vartriangle x)*(\vartriangle x)$ , където $A \in R,$ и функцияата $\epsilon$ е дефинирана $\underset{x \to x_0}\lim \epsilon(x- x_0)= 0$ , a $\vartriangle x=x-x_0$

разписваме границата:
$\underset{\vartriangle x \to 0}\lim \vartriangle F = \underset{\vartriangle x \to 0} \lim A*\vartriangle x - \epsilon(\vartriangle x)*(\vartriangle x) = A*0 + 0*0 = 0$ с което доказваме перефразираното условие за непрекъснатост, следователно теоремата е доказана.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License