Тема 11

Производна. Диференцируемост. Диференциал, лява и дясна производна. Геометричен и физичен смисъл на производната.

Диференчно частно

Дефиниция:

$\vartriangle f = f(x) - f(x_0)$ - наричаме нарастване на функцията
$\vartriangle x = x - x_0$ - наричаме нарастване на аргумента

Диференчното частно се изразява със следната формула:
$\frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = \frac {f(x) - f(x_0)}{x - x_0 }$

Тя представлява приближение за скоростта на изменение на функцията. Колкото по-близки са двете точки $x$ и $x_0$, толкова по-точно е приближението.

Производна на функция

Понятието производна на функция е било въведено от Нютон, чиято цел е била да изследва скоростта на изменение на някаква функция. Той е търсил начин да намери моментната скорост на движеща се точка, като използва за дадена функцията на изминатия от нея път.¹

Дефиниция:
Казва се, че съществува производна на функция в дадена точка(например $x_0$) ако съществува следната граница:

(1)

\begin{array} {l} \exists \underset{x \to x_0}\lim \frac{\vartriangle f}{\vartriangle x} = A \end{array}

Тази граница е точно равна на моментната скорост на изменение на $f(x)$. С други думи, това е приближението, получено от диференчното частно, но взето с безкрайна точност.
Лайбниц е стигнал до същия резултат независимо и решавайки друг проблем, а именно задачата за намиране на допирателна на произволна функция в точка. Ако вземем две точки $x$ и $x_0$ от графиката на f(x), то по оста x разстоянието между тях е $\vartriangle x$, а по оста y: $\vartriangle f(x)$. Ако през тях прекараме права с уравнение $y = ax + b$ (правата никога не е вертикална заради дефиницията на функция), то лесно може да се провери, че коефицентът a на тази права е точно $\frac{\vartriangle f(x)}{\vartriangle x}$(равен е на тангенса на ъгъла между допирателната и оста Ox). Когато $x$ се приближава безкрайно много до $x_0$ тази права се превръща в допирателна на $f(x)$ в $x_0$. Стига, естествено, търсената граница да съществува.

Диференцируемост на функция

Дефиниция:
Това може да се изрази формално със следна формула:
Ако за всяко $x_0$ от някакъв интервал X, в който функцията е дефинирана съществува число A такова, че да е изпълнено следното неравенство:

(2)

\begin{array} {l} \vartriangle x = x - x_0\\ \exists \vartriangle F = F(x) - F(x_0) = A*(x-x_0)+\epsilon(\vartriangle x) * (x-x_0) \\ \underset{\vartriangle x \to 0} \lim \epsilon(\vartriangle x) = 0 \\ \end{array}

то функцията е диференцируема в точката, а $A*\vartriangle x$ наричаме дифенециал на функцията.
Какво означава горната формула? Нищо повече от вече изложената дефиниция. Диференчното частно е равно на диференциала(A* $\vartriangle x$) + някакъв остатък $(\epsilon)$, който клони към 0 когато $x \to x_0$. Впрочем, понятието диференциал вече рядко се използва. "Производна" го замества за практически цели.
В общи линии, една функция е диференцируема в точка $x_0$, ако нейната производна съществува в тази точка. Следващата теорема илюстрира точно това.

Теорема за дифенцируемостта и производната

Теорема:
Функцията f(x) е дефинирана над X, $x_0 \in X$.
Функцията f(x) е диференцируема с диференциал А в точката $x_0$ тогава и само тогава, когато съществува производната $f'(x_0) = A$ .

Доказателство:
В правата посока:
$\Rightarrow$
Имаме, че функцията има производна, трябва да докажем че съществува диференциал.

(3)

\begin{array} {l} \vartriangle x = x - x_0\\ \vartriangle f = f(x) - f(x_0) = A + \epsilon(\vartriangle x) \\ \frac {f(x) - f(x_0)}{(x-x_0)} = A + \epsilon(\vartriangle x) \\ \underset{x \to x_0} \lim \frac {f(x) - f(x_0)}{(x-x_0)} = \underset{x \to x_0}\lim A + \underset{x \to x_0}\lim \epsilon(x-x_0) = A + 0 = f'(x_0) \\ \Rightarrow \exists A = f'(x_0) \end{array}

В обратната посока:
$\Leftarrow$
Имаме, че функцията е диференцируема в точката $x_0$, трябва да докажем че съществува производна в същата точка.

(4)

\begin{array} {l} \exists A \in \mathbb{R} \\ \vartriangle x = x - x_0 \\ \vartriangle f = f(x) - f(x_0) = A*(x-x_0)+\epsilon(\vartriangle x)*(x-x_0) \\ \underset{x \to x_0} \lim \epsilon(\vartriangle x) = 0 \\ \frac {f(x) - f(x_0)}{(x-x_0)} = A+\epsilon(\vartriangle x) \\ \epsilon(\vartriangle x) = \frac {F(x) - F(x_0)}{(x-x_0)} - A \\ \underset{x \to x_0}\lim \epsilon(x-x_0) = \underset{x \to x_0} \lim \frac {f(x) - f(x_0)}{(x-x_0)} - A = \underset{x \to x_0} \lim \frac {f(x) - f(x_0)}{(x-x_0)} - A = 0 \\ \Rightarrow \exists \underset{x \to x_0}\lim \frac {f(x) - f(x_0)}{(x-x_0)} = A = f'(x_0)\\ \end{array}

доказателстовто е елементарно, просто разписваме дефинициите за производна и диференцируемост.

Лява и дясна производни

Лява производна

Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отляво.
Дефиниция:
Казваме, че имаме лява производна на функция в дадена точка $x_0$ ако

(5)

\begin{array} {l} \exists \underset{x \to x_0 - 0} \lim \frac{\vartriangle F}{\vartriangle x} = A \end{array}

Дясна производна

Същото като производна в точка, но разглеждаме границата отдясно.
Дефиниция:
Казваме, че имаме дясна производна на функция в дадена точка $x_0$ ако

(6)

\begin{array} {l} \exists \underset{x \to x_0 + 0} \lim \frac{\vartriangle F}{\vartriangle x} = A \end{array}

Геометричен и физичен смисъл на производната

Геометрично представяне на понятието
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към нейната графиката в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.

Скорост на изменението на функцията път
Нека $s = s(t)$ е законът за пътя на праволинейното равномерно движение на материална точка. Тогава $v(t_0) = s'(t_0)$изразява моментната скорост на движението в момента от времето $t_0$. Ако вземем производната на скоростта (т.е. производната от производната на пътя) $a(t_0) = s''(t_0)$, то тя ще изразява ускорението на точката в момента $t_0$.

Въобще производната на функцията y = f(x) в точката $x_0$ изразява скоростта на изменение на функцията в точката $x_0$.

Footnotes

1. През останалото време Нютон се е опитвал да превърне чугуна в злато. Факт.