Тема 10

Равномерна непрекъснатост

Темата за Равномерна непрекъснатост се състои от една дефиниция и една теорема, но това не пречи да ги объркате :)

Равномерна непрекъснатост

Дефиниция:
$f(x)$ дефинирана върху $X$.
Казваме, че f(x) e равномерно непрекъсната, ако
за всяко положително число епсилон съществува положително делта $( \delta = \delta(\epsilon) )$, което е максималната дължина на подинтервал на $X$. За всеки подинтервал на $X$ с дължина по-малка от делта имаме, че разликата межу максимума и минимума на $f(x)$ в този интервал е по-малка от епсилон.

(1)

\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0, \exists \delta = \delta(\epsilon) >0 : \forall x',x'' \in X , |x' - x''| < \delta \Rightarrow | f(x')-f(x'') |< \epsilon \end{array}

В случаят интервалът е $[x', x'']$.
Внимание:
Горното твърдение щеше да бъде вярно за абсолютно всяка непрекъсната функция, ако нямаше още едно ограничение.
Числото делта трябва да зависи единствено от епсилон. Не и от аргумента на функцията.
Например, за $f(x) = x$ при $\delta = \epsilon$ дефиницията е изпълнена за всеки интервал $[x', x'']$.
Но въпреки, че за $f(x) = x^2$ можем да докажем непрекъснатост върху цялата реална права, това не може да стане с делта, която да не зависи от x(Но всеки оптимист има правото да се опита).

Още информация:

Покажи

Геометричен смисъл на теоремата
Ако една функция $f(x)$ е равномерно непрекъсната, можем да я разделим на вертикални ленти с ширина по-малка от $\delta$ и във всяка лента разликата между най-малката и най-голямата стойност на $f(x)$ ще е по-малко от $\epsilon$. Нещо повече, това важи при произволно разделяне на ленти с такава ширина. Последното може да звучи странно сега, но се използва през почти целия курс по Анализ 2.

Изказано неформално, твърдението гласи "Можем да поставим горна граница на скоростта на изменение на функцията". Например, в интервала $[0, 3]$ функцията $f(x) = x^2$ е равномерно непрекъсната, защото за всяко $\epsilon \le 9$ можем да вземем например $\delta = \frac{\epsilon}{6}$ и условието ще е изпълнено.
А за $f(x) = x^2$, дефинирана за всички реални числа - това не може да се направи.

Теорема за равномерната непрекъснатост

Теорема:
$f(x)$ дефинирана върху $X$.
Ако $f(x)$ e непрекъсната върху крайния затворен интервал $[a,b]$, то $f(x)$ е равномерно непрекъсната в него.
Доказателство:

Покажи

Допускаме противното. Тоест, че дефиницията за равномерна непрекъснатост не е вярна за някое $\epsilon$ :

(2)

\begin{array} {l} \exists \epsilon_0 > 0: \\ \forall \delta > 0: \exists x',x'' \in X, |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \ge \epsilon_0 \end{array}

за всяко делта имаме $x', \ x''$ и съответно построяваме редици за $\delta = \delta_n = \dfrac{1}{n}$

(3)

\begin{array} {l} \forall n \in \mathbb{N} \exists \delta_n = \dfrac{1}{n} \\ \exists x'_n, x''_n \in X : | x'_n - x''_n | < \delta_n \\ \{x'_n\}_{n=1}^{\infty} \\ \{x''_n\}_{n=1}^{\infty} \\ | f(x'_n) - f(x''_n) | \ge \epsilon_0 \end{array}

Направихме си две безкрайни числови редици от $x'$ и $x''$, всички членове на които са в $[a,b]$.
Позоваваме се на теоремата на Болцано-Вайерщрас.
Оттам следва, че съществуват сходящи подредици $\{x'_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ и $\{x''_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ на $\{x'_n\}_{n=1}^{\infty}$ и $\{x''_n\}_{n=1}^{\infty}$, за които:

(4)

\begin{array} {l} 1. |x'_{n_k}-x''_{n_k}| < \frac{1}{n_k} \\ 2. |f(x'_{n_k})-f(x''_{n_k})| \ge \epsilon_0 \end{array}

пускаме k да клони към безкрайност и разписваме 1-то неравенство

(5)

\begin{array} {l} x''_{n_k} -\frac{1}{n_k} < x'_{n_k} < x''_{n_k} + \frac{1}{n_k} \\ \\ \underset{k \to +\infty}\lim \frac{1}{n_k} = 0 \\ \Rightarrow \underset{k \to +\infty}\lim x'_{n_k} = \underset{k \to +\infty}\lim x''_{n_k} = x_0 \\ \end{array}

Разглеждаме го при $n_k \rightarrow +\infty$ и така се стига до теоремата за полицаите, от която следва, че при $n_k \to \infty$ $x'$ и $x''$ клонят към една и съща стойност, която наричаме $x_0$. От непрекъснатостта на функцията следва, че $\underset{x \to x_0}\lim f(x) = f(x_0)$.
Това означава, че в някаква околност на $x_0$ функцията е ограничена:

(6)

\begin{array} {l} \lim_{n_k \to +\infty} |f(x'_{n_{k'}}) - f(x''_{n_{k'}})| = 0\\ \Rightarrow \ \forall \epsilon > 0 \\ \exists \delta > 0, k > 0 : |x'_{n_k} - x''_{n_k}| < \delta , |f(x'_{n_{k'}}) - f(x''_{n_{k'}})| < \epsilon \end{array}

Тоест за всяко $\epsilon > 0$ имаме интервал с дължина по-малка от $\delta$, за който при достатъчно голямо k (приближаване на $x'_{n_k}$ и $x''_{n_k}$ едно към друго), за всеки две още по-близки $x'_{n_k'}$ и $x''_{n_k'}$ имаме, че $f(x'_{n_{k'}})$ и $f(x''_{n_{k'}})$ се приближават достатъчно близо едно до друго, за да са по-малки от $\epsilon$

Това е в противоречие с предположението, че съществува $\epsilon_0$, дефинирано по-горе.
Следователно сме доказали нашата теорема.

Всичко това е вярно, но трябва да кажем защо не важи за отворен интервал $(a,b)$. Функцията $f(x)$ е непрекъсната и следователно $\forall x_0 \in (a,b) \exists \underset{x \to x_0}\lim = f(x_0)$, но ако при $x_0$ клонящо към $a$ или $b$ функцията приема безкрайно големи стойности. Не можем да ограничим нарастването на $y= f(x)$, защото то става произволно голямо с приближаване на границите на интервала. Ако функцията е непрекъсната над затворения интервал, тя ще приема крайни стойност във всяка точка от интервала - на това се позовава теоремата. Забележете, че теоремата казва кои функции са равномерно непрекъснати, но не казва кои не са. Една функция може да не удовлетворява горепосочените изисквания, но пак да е равномерно непрекъсната.