Тема 10

Равномерна непрекъснатост

Темата за Равномерна непрекъснатост се състои от една дефиниция и една теорема, но това не пречи да ги объркате :)

Равномерна непрекъснатост

Дефиниция:
$f(x)$ дефинирана върху $X$.
Казваме, че f(x) e равномерно непрекъсната, ако
за всяко положително число епсилон съществува положително делта $( \delta = \delta(\epsilon) )$, което е максималната дължина на подинтервал на $X$. За всеки подинтервал на $X$ с дължина по-малка от делта имаме, че разликата межу максимума и минимума на $f(x)$ в този интервал е по-малка от епсилон.

(1)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0, \exists \delta = \delta(\epsilon) >0 : \forall x',x'' \in X , |x' - x''| < \delta \Rightarrow | f(x')-f(x'') |< \epsilon \end{array}

В случаят интервалът е $[x', x'']$.
Внимание:
Горното твърдение щеше да бъде вярно за абсолютно всяка непрекъсната функция, ако нямаше още едно ограничение.
Числото делта трябва да зависи единствено от епсилон. Не и от аргумента на функцията.
Например, за $f(x) = x$ при $\delta = \epsilon$ дефиницията е изпълнена за всеки интервал $[x', x'']$.
Но въпреки, че за $f(x) = x^2$ можем да докажем непрекъснатост върху цялата реална права, това не може да стане с делта, която да не зависи от x(Но всеки оптимист има правото да се опита).

Още информация:

Теорема за равномерната непрекъснатост

Теорема:
$f(x)$ дефинирана върху $X$.
Ако $f(x)$ e непрекъсната върху крайния затворен интервал $[a,b]$, то $f(x)$ е равномерно непрекъсната в него.
Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License