Тема 09

Непрекъснатост на функция. Глобални свойства.

---

Глобални наричаме тези свойства на функцията, които изискват тя да бъде непрекъсната не в някоя точка от дефиниционното си множество, а в цял интервал от него. Функция е непрекъсната в интервал тогава, когато е непрекъсната във всяка точка от този интервал.

---

1. Ограниченост на непрекъсната функция

Ако $f(x)$ е дефинирана и непрекъсната над интервала $[a,b] \Rightarrow f(x)$ е ограничена над този интервал.
Доказателство:

Покажи

Разбира се, допускаме противното - допускаме, че $f(x)$ не е ограничена. Тогава следното твърдение е изпълнено:

(1)

\begin{array} {l} \forall M > 0, \exists x_M \in [a,b] : |f(x_M)| > M \end{array}

Построяваме редицата $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty}$, за която:

(2)

\begin{eqnarray} &1.& x_n \in [a,b] \\ &2.& |f(x_n) | > n \end{eqnarray}

От $\{x_n\}_{n=1}^{+\infty} \subset [a,b]$ следва, че редицата е ограничена(за редицата $x_1, x_2, \cdots$ става въпрос). Следователно от теоремата на Болцано-Вайерщрас следва, че съществува сходяща подредица $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{+\infty}$. Нека да я разгледаме:

(3)

\begin{align} \lim_{k \to +\infty} x_{n_k} = x_0 \end{align}

ясно е, че $x_0 \in [a,b]$. От непрекъснатостта на $f(x)$ следва, че

(4)

\begin{align} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \Rightarrow \underset{k \to +\infty}\lim f(x_{n_k}) = f(x_0) \Rightarrow \{f(x_{n_k})\}_{k=1}^{+\infty} \end{align}

е сходяща следователно е ограничена. Но ние построихме редицата така, че да не е ограничена:
$\forall k: |f(x_{n_k})| > n_k$ а получихме, че при $n_k \rightarrow +\infty$ функцията клони към числото $f(x_0)$, което определено не е безкрайност.
Получихме противоречие с допуснатото, следователно то е грешно, следователно теоремата е доказана.

2. Теорема на Вайерщрас

Теорема:
Ако $f(x)$ е непрекъсната и дефинирана над интервала $[a,b]$то нейните точни горна и долна граници в интервала $[a,b]$ съществуват и освен това се достигат в интервала.

Доказателство:

Покажи доказателство с безкрайни числови редици

$f(x)$ e непрекъсната над $[a,b]$ от първата теорема следва, че тя е ограничена следователно

(5)

\begin{align} \exists \sup_{[a,b]}{f(x)} = max \And \inf_{[a,b]}{f(x)} = min \end{align}

$max$ e супреум, следователно (от дефиницията за супремум):

(6)

\begin{eqnarray} &1.& f(x) < max\ \forall x \in [a,b] \\ &2.& \forall \epsilon > 0,\ \exists x_\epsilon \in [a,b] : max - \epsilon < f(x_\epsilon) \end{eqnarray}

Може да ви изглежда, че това е достатъчно, за да докажем теоремата, но не е. Трябва не просто да докажем, че има максимална и минимална стойност, а че тези сойности се приемат за някое $x$ от $[a,b]$. (Ако интервала не беше затворен $f(x) = x$ в интервала $[0, 1)$ не изпълнява условието)
За да докажем това отново ще си постройм безкрайна сходяща редица(надявам се вече започва да ви харесва да си правите такива редици).
Разглеждаме по-внимателно следствие 2 от съществуването на супреума max. $\forall \epsilon > 0, \exists x_\epsilon \in [a,b] : max - \epsilon < f(x_\epsilon)$.
То е вярно за всяко $\epsilon$ следователно е вярно и за $\epsilon = \frac{1}{n}$ за $\forall n \in \mathbb{N}$. Така си построяваме редицата $\{ x_n \}_{n=1}^{+\infty}$ където $x_n$ e $x_\epsilon$ от горната дефиниция за супреум. От теоремата на Болцано-Вайерщрас следва, че редицата ни има безкрайна сходяща подредица $\{x_{n_k}\}}_{k=1}^{+\infty}$ като за нея $\underset{k \to +\infty}\lim x_{n_k} = x_0$ редицата се състои само от числа от затворения интервал $[a,b]$ следователно и границата на нашата БЧР е от интервала $x_0 \in [a,b]$.

Разписваме последното неравенство от следствие 2.
$max - \frac{1}{n_k} < f(x_{n_k})$ за $max$ знаем, че е най-голямо следователно $\forall x \in [a,b], f(x) \le max \Rightarrow max - \frac{1}{n_k} < f(x_{n_k}) < max < max + \frac{1}{n_k}$ при $k$ клонящо към бекрайност получаваме (теоремата за 2^мата полицая) $max \le f(x_0) \le max$ така получихме, че $f(x_0) = max$ с което доказахме, че има $x_{max} = x_0 \in [a,b]$ за което $\forall x \in [a,b] : f(x) \le f(x_{max})$.

Доказателството за $min$ e аналогично.

Покажи доказателство с теорема на Кантор

$f(x)$ e непрекъсната над $[a,b]$ от първата теорема следва, че тя е ограничена следователно

(7)

\begin{align} \exists \sup_{[a,b]}{f(x)} = max \And \inf_{[a,b]}{f(x)} = min \end{align}

Доказахме, че границите съществуват, но това е само началото.
Да докажем, че супремумът се достига. Ще използваме теоремата на Кантор.
Разделяме интервала $[a,b]$ на 2 равни части - $[a,c]$ и $[c,b]$. Поне единият от тези два интервала има супремум равен на супремума на интервала $[a,b]$ (Проверката е с допускане на противното). Вземаме този интервал, който има по-голям супремум. Без ограничение можем да приемем, че това е $[a,c]$. Сега разделяме него на два равни по-малки подинтервала - $[a,d]$ и $[d,c]$. И отново в единия от двата супремумът е равен на $max$. Продължаваме по този начин, формирайки си последователност от вложени интервали, дължината на която клони към 0 (което удовлетворява изискванията от теоремата на Кантор). Следователно, съществува точно една точка $x_0$, която принадлежи на всички интервали. Но те са формирани така, че всеки един от тях да има супремум равен на $max$. Следователно точката $x_0$, която принадлежи на всички е точно такава, че $f(x_0) = max$. Можем да твърдим това от самото следствие на теоремата: "Съществува такава точка и тя е само една". Естествено, при добро желание можем да приемем, че стойността в точката $x_0$ е по-малка от $max$ и да постигнем противоречие поради факта, че тази точка излиза глобален максимум, по-малък от супремума.
Доказателството за $min$ e аналогично.

3. Теорема на Болцано

Ако $f(x)$ е непрекъсната в интервала $[a,b]$ и $f(a)f(b) < 0$, има $c \in (a,b)$ за което $f(c)=0$.

Доказателство:

Покажи

Отново за доказателството ще се използва теоремата на Кантор.
За определеност ще приемем:

(8)

\begin{align} f(a)<0,\ f(b)>0 \end{align}

взимаме средата на интервала $[a,b]$ - нека я кръстим $c$. Ако $f(c) = 0$, то теоремата е доказана. Приемаме, че $f(c) \ne 0$. В такъв случай поне единият от двата интервала $[a,c]$, $[c,b]$ има различни знаци в двата си края (ако c e положително - това е първи интервал, иначе е втория). Да кръстим този интервал $[a_1, b_1] : a_1 < 0,\ b_1 > 0$
Повтаряме операцията направена с $[a,b]$ с $[a_1,b_1]$ и така получаваме безкрайно много вложени интервали.

(9)

\begin{eqnarray} & & [a,b] \supset [a_1,b_1] \supset [a_2,b_2] \supset \cdots \supset [a_n,b_n] \supset \cdots\\ & & |[a_n,b_n]|=\dfrac{|a-b|}{2^n} \\ & & \lim_{n \to \infty}|[a_n,b_n]| = 0 \\ \end{eqnarray}

Според теоремата на Кантор има точно една точка, която принадлежи на всички интервали. Но, също така всеки един от тези интервали е с различни знаци в двата си края.

Внимание:
Сега ще се случи едно малко трудно доказване на противоречие.
Нека точката от т.Кантор да се казва $x \ (a < x < b)$. Ако $f(x) > 0$, то от непрекъснатостта на $f$ получаваме разни свойства. Именно, първото локално свойство на непрекъсната в точка функция: $f$ не си сменя знака в някой интервал $( x - \epsilon, x + \epsilon )$. Това означава, че в целия този интервал $f$ е положителна. Обаче, за достатъчно голямо $n$ $x - \epsilon < a_n < b_n < x + \epsilon$. А по дефиниция $a_n$ и $b_n$ имат различни знаци. Следователно предположението, че $f(x) > 0$ е невъзможно. По съвсем същия начин следва и, че $f(x) < 0$ е невъзможно. В такъв случай, единствената останала възможност е $f(x) = 0$. За щастие, там няма противоречие и теоремата е доказана.

Ето и едно малко по-лесно доказателство на противоречието, което пак се възползва от непрекъснатостта на $f(x)$:

(10)

\begin{eqnarray} \{a_n\}_{n=1}^{+\infty} = c & \Longrightarrow & \lim_{n \to +\infty} f(a_n) = f(c),\ f(a_n) \overset{\underset{\forall n \in \mathbb N}{}}< 0 \Rightarrow f(c) \le 0\\ \{b_n\}_{n=1}^{+\infty} = c & \Longrightarrow & \lim_{n \to +\infty} f(b_n) = f(c),\ f(b_n) \overset{\underset{\forall n \in \mathbb N}{}}> 0 \Rightarrow f(c) \ge 0\\ \end{eqnarray}

При граничен преход строгите неравенства минават в нестроги (т.е $f(a_n) < 0$ но границата $f(c) \le 0$)

Следствие:
Щом твърдението на теоремата е изпълнено, то лесно може да се докаже, че всяка стойност между супремума и инфинума на $f(x)$ в $[a,b]$ се достига за някоя точка от $[a,b]$. Нещо повече, не е необходимо $f(a)f(b) < 0$ !!. Всяка функция, която е непрекъсната в затворен интервал $[a,b]$ приема всички стойности между инфинума и супремума си.

Доказателство:

Покажи

Първо, ще отхвърлим тривиалния случай, когато функцията е константна ($f(x) = C$), защото там единствената стойност $C$ очевидно се достига.
Ако $f(a_1) = inf$ и $f(b_1) = sup$ и за определеност $a \le a_1 < b_1 \le b$. Ако докажем твърдението за $[a_1, b_1]$, то ще е вярно и за $[a,b]$, тъй като функционалните стойности на $f$в единия интервал са равни на тези в другия.
Ако искаме да докажем че стойността $h$ се достига, просто създаваме функцията $g(x) = f(x) - h$. Приемаме, че $h$ не е равно нито на супремума, нито на инфинума на функцията, защото за тях вече доказахме, че се достигат:

(11)

\begin{array} {l} inf < h < sup \\ g(a_1) = inf - h, g(b_1) = sup - h \\ g(a_1) < 0, g(b_1) > 0 \end{array}

Вече имаме интервал, в двата края на който g(x) е с противоположни знаци и е доказано, че в някоя точка $x_0$ $g(x_0) = 0$. Следователно $f(x_0) = h$.