Тема 09

Непрекъснатост на функция. Глобални свойства.


Глобални наричаме тези свойства на функцията, които изискват тя да бъде непрекъсната не в някоя точка от дефиниционното си множество, а в цял интервал от него. Функция е непрекъсната в интервал тогава, когато е непрекъсната във всяка точка от този интервал.


1. Ограниченост на непрекъсната функция

Ако $f(x)$ е дефинирана и непрекъсната над интервала $[a,b] \Rightarrow f(x)$ е ограничена над този интервал.
Доказателство:

2. Теорема на Вайерщрас

Теорема:
Ако $f(x)$ е непрекъсната и дефинирана над интервала $[a,b]$то нейните точни горна и долна граници в интервала $[a,b]$ съществуват и освен това се достигат в интервала.

Доказателство:

3. Теорема на Болцано

Ако $f(x)$ е непрекъсната в интервала $[a,b]$ и $f(a)f(b) < 0$, има $c \in (a,b)$ за което $f(c)=0$.

Доказателство:

Следствие:
Щом твърдението на теоремата е изпълнено, то лесно може да се докаже, че всяка стойност между супремума и инфинума на $f(x)$ в $[a,b]$ се достига за някоя точка от $[a,b]$. Нещо повече, не е необходимо $f(a)f(b) < 0$ !!. Всяка функция, която е непрекъсната в затворен интервал $[a,b]$ приема всички стойности между инфинума и супремума си.

Доказателство:

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License