Сходящи безкрайни числови редици - определение, свойства. Неперово число.
Безкрайна числова редица
Дефиниция:
Да вземем множеството на естествените числа ( $N = {1, 2, 3, \cdots}$ ).
На всяко от тях по някакво правило ще съпоставим по едно реално число и ще наречем тези числа съответно $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$.
Получената последователност от реални числа ще наричаме Безкрайна числова редица, или просто редица.
Важно е да се помни, че в курса по анализ няма да работим с крайни числови редици.
$a_n$ наричаме общ член на редицата. $a_i$ е член на редицата с индекс i.
Редиците могат да бъдат дефинирани по произволен начин.
(1)
\begin{eqnarray} A &=& a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \\ A &=& \{ a_i \}_{i=1}^{+\infty} \\ \end{eqnarray}
Например чрез формула за общия член:
(2)
\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{n} \\ A &=& \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots\\ A &=& \left\{ \frac{1}{i} \right\}_{i = 1}^{+\infty} \end{eqnarray}
С рекурентна формула:
(3)
\begin{array} {l} a_1 = 1 \\ a_2 = 1 \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \\ A = 1, 1, 2, 3, 5, 8, \cdots \end{array}
С някакво по-сложно правило:
(4)
\begin{array} {l} a_n = \begin{cases} -1 & n = 2k \\ 1 & n = 2k+1 \\ \end{cases} \\ A = 1, -1, 1, -1, \cdots \end{array}
Или просто като опишем общия член с думи:
N-тият член на A е N-тото просто число
(5)
\begin{align} A = 2, 3, 5, 7, 11, 13, \cdots \end{align}
Подредици
Един начин да си конструираме безкрайна числова редица е чрез вземане на подредица на вече съществуваща такава. Това означава, че относителната подредба на елементите остава същата - не може да се размества нищо.
Подредица наричаме всяко подмножество на БЧР, което продължава да бъде редица спрямо вече установената терминология.
Тоест, подредицата също е безкрайна. Например, ако използваме редицата $A$ съставена от всички последователни естествени числа $1, 2, 3, \cdots$, то множеството ${2, 4, 6}$ не е нейна подредица. Но ако вземем всички четни числа подред $2, 4, 6, \cdots, 2n, \cdots$ - това е подредица на А.
Сходящи редици
Една редица A наричаме сходяща, ако с увеличаване на индекса нейните членове се приближават произволно близко до някаква стойност L.
Числото L наричаме граница на редицата A.
Например редицата $A = \frac{1}{n}: \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots$. Като увеличаваме n, $a_n$ все повече се приближава до 0. Или редицата $A = 3: 3, 3, 3, 3, 3$. Тя също е сходяща, защото всеки нейн член е безкрайно близко до нейната граница …3.
Неформално казано, една редица е сходяща, когато можем да разберем каква ще бъде нейната стойност "в безкрайност".
Сега ще дефинираме формален критерий, чрез прилагането на който да можем да определяме дали една редица е сходяща или не.
Дефиниция за сходимост
Казваме, че редицата A е сходяща и има граница L ако за всяко положително число $\epsilon$ можем да намерим такова число $n_0$, че всички членове от $n_0$-вия нататък са на разстояние по-малко от $\epsilon$ от L.
(6)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0,\exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n > n_0 \Rightarrow | a_n - L |< \epsilon \end{array}
Граница на редица записваме по този начин:
(7)
\begin{array} {l} \underset{n \to \infty}\lim a_n = L \end{array}
След определено число n всички членове са в $\epsilon$ околност на L.
И след като това е изпълнено за всяко $\epsilon > 0$, колкото и малко да е то, значи можем да твърдим, че от когато n клони към безкрайност, членовете на редицата са произволно близки до L. Безкрайно близки до L.
Дефиниция за сходимост на Коши
Съществува още една дефиниция за сходяща редица, която ще наричаме дефиниция на Коши.
Дефиниция:
Една редица е сходяща, ако за всяко $\epsilon > 0$ можем да намерим някакво число N такова, че за всяко m и n по-големи от N да следва:
(8)
\begin{align} |a_n - a_m | < \epsilon \end{align}
Забележете, че тук нищо не се казва за самата граница на редицата. Тази дефиниция се използва основно когато не сме сигурни за стойността на границата.
Характеристики на редица
Ограниченост
Дефиниция:
Една редица A наричаме ограничена отгоре, ако съществува такова число X, че за всяко $a_n, n \in N$ от A да е изпълнено $a_n < X$.
Редица ограничена отдолу се дефинира аналогично - ако съществува такова число Y, че за всяко $a_n, n \in N$ от A да е изпълнено $a_n > Y$, то редицата A е ограничена отдолу.
Числата X и Y са съответно горна граница и долна граница на A. Ясно е, че ако X е горна граница на A, то всяко число по-голямо от X също е горна граница на A.
Най-малката от всички горни граници на A се нарича точна горна граница на а. Най-голямата от долните граници се нарича точна долна граница.
Дефиниция:
Една редица е ограничена, ако е едновременно ограничена и отгоре, и отдолу.
Монотонност
Една редица наричаме (монотонно) растяща, когато при $n > k$ е изпълнено $a_n \ge a_k$. Аналогично наричаме монотонно намаляваща такава редица, при която $n > k \Rightarrow a_n \le a_k$. Тези два вида наричаме с общото название монотонни редици.
Свойства:
- За монотонните редици със сигурност имаме ограниченост поне от едната страна. Всяка монотонно намаляваща(растяща) редица има точна горна(долна) граница равна на първия си член.
- Ако една редица е едновременно монотонно растяща и намаляваща, тя е константна (всички членове са равни).
Теорема:
Всяка ограничена монотонна редица е сходяща. Ако е растяща, тя клони към точната си горна граница, ако е намаляваща - към своята точната долна граница.
Доказателство:
Ще докажем само единия случай. Имаме ограничена растяща редица А.
По дефиниция точната горна граница на A е това число L, за което във всяка околност $(L - \epsilon, L)$ има поне един член на редицата и в никоя околност $(L, L + \epsilon)$ няма нито един нейн член. Да вземем произволно $\epsilon$ и да кажем, че за някое $a_v$ е изпълнено $L - \epsilon < a_v < L$. Но от монотонноста на A следва, че за всяко $v_1 > v$ това твърдение също е изпълнено. Тъй като не поставихме ограничение за епсилон, следва че това е вярно и за произволно малки стойности. Което обаче е точно дефиницията, която дадохме за сходимост на редица.
Това се използва в по-специални случаи. Например, когато не можем предварително да определим каква точно е границата на редицата.
Свойства на безкрайни редици
Ако на някого му се струва, че тези свойства са същите като свойствата на граница на функция… абсолютно е прав.
1. Всяка сходяща редица притежава единствена граница
2. Всяка сходяща редица е ограничена
Доказателство:
Това твърдение се доказва много лесно. Вземаме произволно $\epsilon$ и намираме M такова, че при m > M $| a_m - L | < \epsilon$, където L е границата на редицата. Значи всички членове без първите M на брой(M е естествено число) са в интервала $(L - \epsilon, L + \epsilon)$. В такъв случай редицата очевидно е ограничена отгоре от най-голямата стойност измежду първите M члена и $L + \epsilon$. По същия начин получаваме и долна граница на редицата, откъдето следва, че тя е ограничена.
3. Сравнение на сходящи редици
Ако имаме две сходящи редици A и B и за всяко i е изпълнено $a_i \le b_i$, то и за техните граници $L_a, L_b$ е изпълнено $L_a \le L_b$.
Доказателство:
Вземаме произволно $\epsilon < \frac{L_b - L_a}{2}$. Оттук имаме:
(9)
\begin{align} L_a + \epsilon < L_b - \epsilon \end{align}
От някакво число M нататък всички членове на A ще са на разстояние по-малко от епсилон от $L_a$ и аналогично за всички членове на B.
(10)
\begin{array} {l} L_a - \epsilon < L_a < L_a + \epsilon < L_b - \epsilon < L_b < L_b + \epsilon \end{array}
Използвайки тази информация веднага се извежда:
(11)
\begin{equation} L_a < L_b \end{equation}
4. Теорема на Кантор
Ако имаме редица от затворени интервали $[a_1, b_1], [a_2, b_2], \cdots, [a_n, b_n]$ и са изпълнени следните 2 условия:
1. Всеки интервал от втория нататък се съдържа в този преди него.
2. Редицата от дължините на интервалите клони към 0.
То можем да кажем, че съществува точно една точка C, която принадлежи на всеки интервал от редицата.
Доказателство:
Първо едно уточнение. "Редица от интервали" не е формално дефинирано понятие. Под "редица" досега разбирахме съпоставяне от естествено към реално число. Това е сложено за удобство - интуитивно е ясно за какво става въпрос, а е и елегантен запис. Възможно е някой злобен преподавател да се заяде за това. Иначе, "редица от интервали" е последователността от наредени двойки от членовете на две числови редици A и B $(a_i \le a_{i+j} \le b_{i+j} \le b_i \quad \forall i, j \in \mathbb{N})$.
Вече доказахме, че една ограничена монотонна редица е сходяща. Имаме, че всеки член на A е по-малък от всеки член на B както и, че A е монотонно растяща (поради ограничението всеки интервал да се съдържа в следващия).
Следователно A е сходяща. По същата логика и B е сходяща. Ако докажем, че границите на A и B са едно и също число C, то точката C ще бъде точно търсената в условието.
Но това следва от второто изискване за теоремата - редицата от дължините на интервалите клони към 0. Тоест, за всяко положително $\epsilon$ можем да намерим M такова, че при m > M да следва $b_m - a_m < \epsilon$.
(12)
\begin{array} a_m \le L_a \le L_b \le b_m \\ \exists M,\ m > M : b_m - a_m < \epsilon \\ \end{array}
С още малко неравенства и теоремата за полицаите получаваме търсения резултат.
(13)
\begin{array} {l} L_b - L_a \le b_m - a_m \\ L_b - L_a \le 0 \\ \Rightarrow L_b - L_a = 0 \end{array}
Значи съществува точка $C = L_b = L_a$. Тази точка принадлежи на всички интервали, защото $a_i \le L_a = C = L_b \le b_i$. Освен това точката C е единствена. Това се доказва лесно например с двукратно прилагане на теоремата за единственост на граница на редица - веднъж за A и веднъж за B.
Важно: Неочевидно изискване към теоремата е интервалите
$[a_n, b_n]$ да са затворени. В противен случай твърдението не е вярно.
5. Теорема на Болцано-Вайерщрас
Много важна теорема!!! Ще има да я ползваме за черни магии в почти всички следващи лекции.
Теорема:
Всяка безкрайна ограничена числова редица притежава сходяща подредица.
(14)
\begin{array} {l} \forall \{a_n\}_{n=1}^{\infty}, a_n \in R \\ \exists \ \{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} \subset \ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \end{array}
Доказателство:
Тази теорема се доказва малко по-дълго от останалите, но самото доказателство не е прекалено сложно.
Забележете, че ограничението $a_n \in R$ е равносилно на $\exists L, U \in R: \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow L \le a_n \le U$, но определено по-лесно се помни. Да наречем безкрайната ограничена редица A.
Ключовата дума тук е ограничена редица. Това означава, че можем да вземем някакъв интервал $[l_1, u_1]$, в който да се намират всички членове на редицата. Те са безкрайно много. Така че, ако разделим този интервал на два равни по големина подинтервала поне в единия от двата ще има безкрайно много членове на редицата. Да наречем този нов интервал $[l_2, u_2]$. За него важи същото твърдение - в едната от двете му половини има безброй много елементи на A. По този начин формираме редицата от интервали:
(15)
\begin{array} {l} [l_1, u_1], [l_2, u_2], \cdots, [l_n, u_n] \\ \end{array}
Ако дължината на $[l_0, u_0]$ е X, то дължината на втория интервал е X/2, а на i-тия: $\frac{X}{2^i}$.
Всеки интервал се съдържа в предишния, а редицата от дължините им: $\frac{X}{1}, \frac{X}{2}, \cdots \frac{X}{2^{n-1}}$
със стандартни средства се доказва, че е сходяща и клони към 0.
Условията за теоремата на Кантор са изпълнени. съществува една точка L, която принадлежи на всички интервали.
Сега ще формираме редицата B. I-тият член на B е произволен член на A, който се съдържа в $[l_i, u_i$. Поради факта, че във всеки интервал има безброй много елементи на A, винаги ще се намери подходящ. Ще докажем, че L е граница на редицата B.
И наистина, за всяко $B_i$ можем да използваме: $| B_i - L | < \frac{X}{2^{i-1}}$. Това следва от факта, че и $B_i$, и L едновременно се намират в един интервал с крайна големина. Следователно за всяко $\epsilon$ можем да съставим уравнението:
(16)
\begin{align} \frac{X}{2^{i-1}} < \epsilon \end{align}
и, решавайки го за i получаваме от кой елемент нататък всички членове на B са на разстояние най-много епсилон от L.
След като не сме поставяли ограничение за епсилон, освен че е положително, условията за сходимост са изпълнени и редицата B е сходяща.
6. Неперово Число
Една от най-важните константи в математиката.
(17)
\begin{align} \exists \underset{n \to \infty}\lim (1 + \frac{1}{n})^n = e (Неперово число) \end{align}
Ако $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n, \forall n \in N$ следва:
1) $a_n < a_{n+1}$
2) $2 < a_n < 3$
Доказателство на последните две неща
Както знаем
(18)
\begin{eqnarray} {(a+b)^n} = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}}{a^{n-k} {b^k}} \end{eqnarray}
(19)
\begin{align} a_n = \sum_{k=0}^n {{n}\choose{k}} \frac{1}{n^k} &=& \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!} \frac{1}{n^k} &=& \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} (1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n}) \\ \end{align}
(20)
\begin{align} a_n &=& 1 + 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} (1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n}) \\ \end{align}
(21)
\begin{align} a_{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} (1-\frac{1}{n+1})\cdots(1-\frac{k-1}{n+1}) &=& 1 + 1 + \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k!} (1-\frac{1}{n+1})\cdots(1-\frac{k-1}{n+1}) \end{align}
За $k \in \{2 \cdots n\} \frac{1}{k!} (1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n}) < \frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n+1})\cdots(1-\frac{k-1}{n+1})$
Ето как се доказва това неравенство:
(22)
\begin{align} \forall s: 1 \le s < n => \frac{s}{n+1} < \frac{s}{n} < 1 <=> -\frac{s}{n+1} > -\frac{s}{n} > -1 \end{align}
Сега прибавяме 1 навсякъде и получаваме $0 < 1 -\frac{s}{n} < 1 -\frac{s}{n+1}$
Следователно $a_n < a_{n+1}$
(23)
\begin{align} 2 < a_n &=& 1 + 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} (1-\frac{1}{n})\cdots(1-\frac{k-1}{n}) &<& 2 + \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!} \end{align}
$k! \ge 2^{k-1}$ и следователсно $\frac{1}{k!} \le \frac{1}{2^{k-1}}$
Следователно
(24)
\begin{align} a_n &<& 2+ \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} &=& 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} &=& 1 + \frac{1 - {\frac{1}{2}}^n}{1-\frac{1}{2}} = 1 + 2 - \frac{1}{2^{k-1}} < 1 + 2 = 3 \end{align}
Интересни неща за Неперовото число
$f(x) = e^x, то f'(x) = e^x$
$\log_{e} x = \ln x$
Допълнително четене за Неперовото число: тук.
