Тема 08

Сходящи безкрайни числови редици - определение, свойства. Неперово число.

Безкрайна числова редица

Дефиниция:
Да вземем множеството на естествените числа ( $N = {1, 2, 3, \cdots}$ ).
На всяко от тях по някакво правило ще съпоставим по едно реално число и ще наречем тези числа съответно $a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots$.
Получената последователност от реални числа ще наричаме Безкрайна числова редица, или просто редица.
Важно е да се помни, че в курса по анализ няма да работим с крайни числови редици.
$a_n$ наричаме общ член на редицата. $a_i$ е член на редицата с индекс i.

Редиците могат да бъдат дефинирани по произволен начин.

(1)
\begin{eqnarray} A &=& a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \\ A &=& \{ a_i \}_{i=1}^{+\infty} \\ \end{eqnarray}

Например чрез формула за общия член:

(2)
\begin{eqnarray} a_n &=& \frac{1}{n} \\ A &=& \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots\\ A &=& \left\{ \frac{1}{i} \right\}_{i = 1}^{+\infty} \end{eqnarray}

С рекурентна формула:

(3)
\begin{array} {l} a_1 = 1 \\ a_2 = 1 \\ a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \\ A = 1, 1, 2, 3, 5, 8, \cdots \end{array}

С някакво по-сложно правило:

(4)
\begin{array} {l} a_n = \begin{cases} -1 & n = 2k \\ 1 & n = 2k+1 \\ \end{cases} \\ A = 1, -1, 1, -1, \cdots \end{array}

Или просто като опишем общия член с думи:
N-тият член на A е N-тото просто число

(5)
\begin{align} A = 2, 3, 5, 7, 11, 13, \cdots \end{align}

Подредици

Един начин да си конструираме безкрайна числова редица е чрез вземане на подредица на вече съществуваща такава. Това означава, че относителната подредба на елементите остава същата - не може да се размества нищо.
Подредица наричаме всяко подмножество на БЧР, което продължава да бъде редица спрямо вече установената терминология.
Тоест, подредицата също е безкрайна. Например, ако използваме редицата $A$ съставена от всички последователни естествени числа $1, 2, 3, \cdots$, то множеството ${2, 4, 6}$ не е нейна подредица. Но ако вземем всички четни числа подред $2, 4, 6, \cdots, 2n, \cdots$ - това е подредица на А.

Сходящи редици

Една редица A наричаме сходяща, ако с увеличаване на индекса нейните членове се приближават произволно близко до някаква стойност L.
Числото L наричаме граница на редицата A.
Например редицата $A = \frac{1}{n}: \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots$. Като увеличаваме n, $a_n$ все повече се приближава до 0. Или редицата $A = 3: 3, 3, 3, 3, 3$. Тя също е сходяща, защото всеки нейн член е безкрайно близко до нейната граница …3.
Неформално казано, една редица е сходяща, когато можем да разберем каква ще бъде нейната стойност "в безкрайност".

Сега ще дефинираме формален критерий, чрез прилагането на който да можем да определяме дали една редица е сходяща или не.


Дефиниция за сходимост

Казваме, че редицата A е сходяща и има граница L ако за всяко положително число $\epsilon$ можем да намерим такова число $n_0$, че всички членове от $n_0$-вия нататък са на разстояние по-малко от $\epsilon$ от L.

(6)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0,\exists n_0 \in \mathbb{N} : \forall n > n_0 \Rightarrow | a_n - L |< \epsilon \end{array}

Граница на редица записваме по този начин:

(7)
\begin{array} {l} \underset{n \to \infty}\lim a_n = L \end{array}

След определено число n всички членове са в $\epsilon$ околност на L.
И след като това е изпълнено за всяко $\epsilon > 0$, колкото и малко да е то, значи можем да твърдим, че от когато n клони към безкрайност, членовете на редицата са произволно близки до L. Безкрайно близки до L.


Дефиниция за сходимост на Коши

Съществува още една дефиниция за сходяща редица, която ще наричаме дефиниция на Коши.
Дефиниция:
Една редица е сходяща, ако за всяко $\epsilon > 0$ можем да намерим някакво число N такова, че за всяко m и n по-големи от N да следва:

(8)
\begin{align} |a_n - a_m | < \epsilon \end{align}

Забележете, че тук нищо не се казва за самата граница на редицата. Тази дефиниция се използва основно когато не сме сигурни за стойността на границата.

Характеристики на редица

Ограниченост

Дефиниция:
Една редица A наричаме ограничена отгоре, ако съществува такова число X, че за всяко $a_n, n \in N$ от A да е изпълнено $a_n < X$.
Редица ограничена отдолу се дефинира аналогично - ако съществува такова число Y, че за всяко $a_n, n \in N$ от A да е изпълнено $a_n > Y$, то редицата A е ограничена отдолу.
Числата X и Y са съответно горна граница и долна граница на A. Ясно е, че ако X е горна граница на A, то всяко число по-голямо от X също е горна граница на A.
Най-малката от всички горни граници на A се нарича точна горна граница на а. Най-голямата от долните граници се нарича точна долна граница.

Дефиниция:
Една редица е ограничена, ако е едновременно ограничена и отгоре, и отдолу.


Монотонност

Една редица наричаме (монотонно) растяща, когато при $n > k$ е изпълнено $a_n \ge a_k$. Аналогично наричаме монотонно намаляваща такава редица, при която $n > k \Rightarrow a_n \le a_k$. Тези два вида наричаме с общото название монотонни редици.
Свойства:
- За монотонните редици със сигурност имаме ограниченост поне от едната страна. Всяка монотонно намаляваща(растяща) редица има точна горна(долна) граница равна на първия си член.
- Ако една редица е едновременно монотонно растяща и намаляваща, тя е константна (всички членове са равни).

Теорема:
Всяка ограничена монотонна редица е сходяща. Ако е растяща, тя клони към точната си горна граница, ако е намаляваща - към своята точната долна граница.
Доказателство:


Това се използва в по-специални случаи. Например, когато не можем предварително да определим каква точно е границата на редицата.

Свойства на безкрайни редици

Ако на някого му се струва, че тези свойства са същите като свойствата на граница на функция… абсолютно е прав.

1. Всяка сходяща редица притежава единствена граница

2. Всяка сходяща редица е ограничена

Доказателство:

3. Сравнение на сходящи редици

Ако имаме две сходящи редици A и B и за всяко i е изпълнено $a_i \le b_i$, то и за техните граници $L_a, L_b$ е изпълнено $L_a \le L_b$.
Доказателство:

4. Теорема на Кантор

Ако имаме редица от затворени интервали $[a_1, b_1], [a_2, b_2], \cdots, [a_n, b_n]$ и са изпълнени следните 2 условия:
1. Всеки интервал от втория нататък се съдържа в този преди него.
2. Редицата от дължините на интервалите клони към 0.
То можем да кажем, че съществува точно една точка C, която принадлежи на всеки интервал от редицата.
Доказателство:


Важно: Неочевидно изискване към теоремата е интервалите $[a_n, b_n]$ да са затворени. В противен случай твърдението не е вярно.

5. Теорема на Болцано-Вайерщрас

Много важна теорема!!! Ще има да я ползваме за черни магии в почти всички следващи лекции.
Теорема:
Всяка безкрайна ограничена числова редица притежава сходяща подредица.

(14)
\begin{array} {l} \forall \{a_n\}_{n=1}^{\infty}, a_n \in R \\ \exists \ \{a_{n_k}\}_{k=1}^{\infty} \subset \ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} \end{array}

Доказателство:

6. Неперово Число

Една от най-важните константи в математиката.

(17)
\begin{align} \exists \underset{n \to \infty}\lim (1 + \frac{1}{n})^n = e (Неперово число) \end{align}

Ако $a_n = (1 + \frac{1}{n})^n, \forall n \in N$ следва:
1) $a_n < a_{n+1}$
2) $2 < a_n < 3$

Доказателство на последните две неща

Интересни неща за Неперовото число
$f(x) = e^x, то f'(x) = e^x$
$\log_{e} x = \ln x$

Допълнително четене за Неперовото число: тук.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License