Тема 07

Функции с аргументи клонящи към безкрайност

Дефиниция на околност на безкрайност

Околност на безкрайност ще наричаме интервал от вида
$(-\infty,a)$ - околност на $-\infty$
$(a,+\infty)$ - околност на $+\infty$
и разбира се околнот на $\infty$ - $(-\infty,-a) \cup (a,+\infty)$

Сега следват дефиниции на различните случаи, в които можем да говорим за клонене на аргументите на функция към безкрайност. Може да ви изглеждат много дефинициите, но са аналогични на вече учени, тъй че не са толкова трудни за запомняне.

Функции клонящи към число, при аргумент клонящ към безкрайност

Нека функцията$f(x)$ е дефинирана върху $X$
като $\forall n \in \mathbb{N}, \exists x_n \in X : x_n > n$ тоест за всяко естествено число $n$ (колкото и голямо да е то) имаме $x_n$ по-гоялмо от нашето много голямо $n$ което е в дефиниционното множество. Тоест $X$ е околност на $+\infty$.

Казваме, че границата на $f(x)$ при $x$ клонящо към $+\infty$ е $A$:
(тук долу е формулирано формално с формула)

(1)
\begin{align} \lim_{x \to +\infty}f(x) = A \end{align}

ако

(2)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0, \exists b > 0 : \forall x > b, x \in X \Rightarrow |f(x) - A| < \epsilon \end{array}

Tоест за всяко малко число, околност на границата $A$, имаме мнооого голямо число $b$ и много числа по-големи от $b$ (това са $x$-овете) за които стойноста на функцията $f(x)$ се проближава произволно до $A$. Изказано чрез околности - за всяка околност$O_A$ на границата (т.е за всяка околност на $A$), съществува околност $O_B$ на това към което клони аргумента (в случая $+\infty$) такова, че на всяко число от $O_B$, функционалната му стойност е във $O_A$. Това е абсолютно същото, като нормалната дефиниция за граница, само че тук околностите са малко по-различни. Същата дефиниция ще видим и във края на анализ 2 когато става дума за функия на 2 или повече променливи - с 1 дума - няма нищо ново под слънцето!

A сега - аналогичната дефиниция за функция с аргумент клонящ към $-\infty$.

Нека функцията f(x) е дефинирана върху X, като
$\forall n \in \mathbb{N}, \exists x_n \in X : x_n < -n$
Tоест, за всяко естествено число n (колкото и голямо да е то) имаме $x_n$ по-малко от отрицателното на нашето много голямо n което е в дефиниционното множество. Тоест X е околност на минус безкрайност.

Казваме, че границата на $f(x)$ при $x$ клонящо към $-\infty$ е А
(тук долу е формулирано формално с формула)
$\lim_{x \to -\infty}f(x) = A$ ако

(3)
\begin{array} {l} \forall \epsilon > 0, \exists b > 0 : \forall x < -b, x \in X \Rightarrow |f(x)-A| < \epsilon \end{array}

Откриите 2-те разлики в 1-та и 2-та дефиниция.
Ето и верният отговор : едно по-голямо е сменено на по-малко и се е появил един минус. Тоест, сега за много голямото число b вземаме многото x-ове по-малки от отрицателната стойност на b(не забравяйте, че b >0).

Ето още подобни дефиниции.
Забележка: Няма навсякаде да дефинираме множеството X като околност на + или - $\infty$.
но трябва да се отбелязва какво е то при дефинициите, иначе ще са непълни и чичо Гошо може да ни скъса.

Функции клонящи към безкрайност, при аргумент клонящ към число

f(x) е дефинирана върху X. Казваме, че границата на f(x) е $+\infty$ при $x$ клонящо към $x_0$
$\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ ако

(4)
\begin{array} {l} \forall a > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in X, x \ne x_0, |x-x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > a \end{array}

Тоест за всяко а > 0, колкото и голямо да е, имаме делта околност на $x_0$ за която f(x) да е по-долямо от нашето много голямо а.

Казваме, че границата на f(x) е $-\infty$ при $x$ клонящо към $x_0$
(математически записано)
$\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ ако

(5)
\begin{array} {l} \forall a > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in X, x \ne x_0, |x-x_0| < \delta \Rightarrow f(x) < -a \end{array}

Познатото вече, колкото и голямо да е а. Функцията има достатъчно големи стойности, за да е в случая по-малка от отрицателната стойност на нашето голямо а.

А сега още подобни дефиниции. Сигурно вече ви става скучно, но спокойно, ще стане по-интересно в следващите теми.

Тук вече няма да ги обаснявам, ако сте сханали нещата написани по-горе не би трябвало да имате проблем с разбирането на тези дефиниции, ако имате проблем пишете ще променим и добавим каквото е неясно.

Функции клонящи към безкрайност, при аргумент клонящ към безкрайност

f(x) е дефинирана върху X, където X съдържа в себе си околност на $+\infty$.
Казваме, че функцията f(x) клони към $+\infty$, при $x$ клонящо към $+\infty$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ ако

(6)
\begin{array} {l} \forall a > 0, \exists b > 0 : \forall x \in X, x > b \Rightarrow f(x) > a \end{array}

$f(x)$ е дефинирана върху $X$, където $X$ съдържа в себе си околност на $+\infty$.
Казваме, че функцията $f(x)$ клони към $-\infty$, при x клонящо към $+\infty$
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ ако

(7)
\begin{array} {l} \forall a > 0, \exists b > 0 : \forall x \in X, x > b \Rightarrow f(x) < -a \end{array}

$f(x)$ е дефинирана върху $X$, където $X$ съдържа в себе си околност на $-\infty$.
Казваме, че функцията $f(x)$ клони към $+\infty$, при $x$ клонящо към $-\infty$
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ ако

(8)
\begin{array} {l} \forall a > 0, \exists b > 0 : \forall x \in X, x < -b \Rightarrow f(x) > a \end{array}

$f(x)$ е дефинирана върху $X$, където $X$ съдържа в себе си околност на $-\infty$.
Казваме, че функцията $f(x)$ клони към $-\infty$, при $x$ клонящо към $-\infty$
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ ако

(9)
\begin{array} {l} \forall a > 0, \exists b > 0 : \forall x \in X, x < -b \Rightarrow f(x) < -a \end{array}

$f(x)$ е дефинирана върху $X$, където $X$ съдържа в себе си околност на $\infty$.
Казваме, че функцията $f(x)$ клони към $\infty$, при $x$ клонящо към $\infty$
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ ако

(10)
\begin{array} {l} \forall a > 0, \exists b > 0 : \forall x \in X, |x| > b \Rightarrow |f(x)| > a \end{array}

п.п. Всички тези граници са много, изглеждат еднакви, но това не означава че се помнят лесно, не е добра идея да ги подценявате.

Неопределености

Неопределеност е функция на която не можем да определим стойността за някое $x_0$.
Неопределености са

(11)
\begin{array} {l} \dfrac{0}{0} , \dfrac{\infty}{\infty} , 0.\infty \\ 1^\infty ,0^0 , \infty^0 \end{array}

В по-горните дефиниции на неопределености не се има предвид числа, 0 и $\infty$ са функции съответно клонящи към 0 и $\infty$, но според мен е малко по-лесно да за възприемане с числа.

Пример:

(12)
\begin{array} {l} f(x)=x \\ g(x)=2x \\ lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{1}{2} \\ lim_{x \to 0} \dfrac{f(x)}{g(x)} \ne \dfrac{lim_{x \to 0}f(x)}{lim_{x \to 0}g(x)} = ? \frac{0}{0} = ?? \end{array}

Виждате как стигаме до неопределеност във второто уравнение и след това не знаем какво да правим,
защото е неопределено какво ще получим.

Надявам се да можете да си направите самостоятелно другите примери, ако не можете, постарайте се малко повече.

Всъщност неопределеностите са еквивалентни.

(13)
\begin{array} {l} \dfrac{0}{0} = \dfrac{0}{0}.\dfrac{1}{1} = \dfrac{0}{1}.\dfrac{1}{0} = 0.\infty = \dfrac{0}{1}.\infty = \dfrac{1}{\dfrac{1}{0}}.\infty = \dfrac{1}{\infty}.\infty = \dfrac{\infty}{\infty} \end{array}

И разбира се няколко правила за граници на функции степенувани на други функции, с които трябва да намерим начин за измъкване от неопределеностите.

(14)
\begin{array} {l} f(x)^{g(x)} = (e ^ {\ln f(x)})^{g(x)} = e^{g(x)*ln(f(x))} \\ \lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to x_0} e^{g(x)*ln(f(x))} \end{array}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License