Тема 05

Свойства на границите на функции свързани с аритметичните действия.

Аритметични свойства

Нека $f(x)$ и $g(x)$ са дефинирани върху $X$, което е подмножество на реалните числа и $x_0$ е точка на сгъстяване на $X$. Ако $f(x)$ и $g(x)$ са две функции, притежаващи граници в $x_0$, то можем да изведем за тях следните свойства:

(1)
\begin{eqnarray} \exists \lim_{x \to x_0} \big[ f(x) +g(x) \big] &=& \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x)\\ \exists \lim_{x \to x_0} \big[ f(x)-g(x) \big] &=& \lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x \to x_0} g(x)\\ \exists \lim_{x \to x_0} \big[ f(x).g(x) \big] &=& \lim_{x \to x_0} f(x) . \lim_{x \to x_0} g(x)\\ \end{eqnarray}

А когато имаме и, че $\underset{x \to x_0}\lim g(x) \ne 0$, следва и:

(2)
\begin{align} \exists \underset{x \to x_0}\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {\underset{x \to x_0}\lim f(x)} { \underset{x \to x_0}\lim g(x)} \end{align}

Най-общо казано, можем да извършваме аритметични действия с граници.

Доказателства

Аритметични Свойства за граници, клонящи към безкрайност

Тук ще опишем съответните свойства за граници, които клонят към $\pm \infty$.
Доказателствата отново се свеждат до съответните доказателства за редици, но този път ще покажем някои от тях тук, защото са все пак малко по-сложни.

Първо, какво разбираме под "граница, която клони към безкрайност"?

Ако имаме, че $\underset{x \to x_0} \lim f(x) = \infty$, а $\underset{x \to x_0} \lim g(x) = L, L \in R$.
Естествено, $x_0$ е точка на сгъстяване за множеството X, в което са дефинирани и двете функции.
Tоест f(x) клони към безкрайност, а g(x) има някаква реална граница.
Тогава са изпълнени следните свойства:

(34)
\begin{array} {l} \underset{x \to x_0}\lim f(x) \pm g(x) = \infty \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) = \begin{cases} \underset{x \to x_0}\lim g(x) > 0 & \infty \\ \underset{x \to x_0}\lim g(x) < 0 & -\infty \\ \end{cases} \end{array}

Доказателства

При $\underset{x \to x_0}\lim f(x) = \infty, \underset{x \to x_0}\lim g(x) = \infty$ имаме:

(36)
\begin{array} {l} \underset{x \to x_0}\lim f(x) + g(x) = \infty \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) = \infty \\ \end{array}

Доказателство:

При $\underset{x \to x_0}\lim f(x) = - \infty, \underset{x \to x_0}\lim g(x) = - \infty$ имаме:

(37)
\begin{array} {l} \underset{x \to x_0}\lim f(x) + g(x) = - \infty \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) = \infty \\ \end{array}

При $\underset{x \to x_0}\lim f(x) = \infty, \underset{x \to x_0}\lim g(x) = - \infty$ имаме:

(38)
\begin{array} {l} \underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) = - \infty \\ \end{array}

Забележете, че не можем да събираме безкрайности с различни знаци, нито можем да делим безкрайности. В такива случаи ще се наложи да си служим с други средства.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License