Тема 05

Свойства на границите на функции свързани с аритметичните действия.

Аритметични свойства

Нека $f(x)$ и $g(x)$ са дефинирани върху $X$, което е подмножество на реалните числа и $x_0$ е точка на сгъстяване на $X$. Ако $f(x)$ и $g(x)$ са две функции, притежаващи граници в $x_0$, то можем да изведем за тях следните свойства:

(1)

\begin{eqnarray} \exists \lim_{x \to x_0} \big[ f(x) +g(x) \big] &=& \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x)\\ \exists \lim_{x \to x_0} \big[ f(x)-g(x) \big] &=& \lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x \to x_0} g(x)\\ \exists \lim_{x \to x_0} \big[ f(x).g(x) \big] &=& \lim_{x \to x_0} f(x) . \lim_{x \to x_0} g(x)\\ \end{eqnarray}

А когато имаме и, че $\underset{x \to x_0}\lim g(x) \ne 0$, следва и:

(2)

\begin{align} \exists \underset{x \to x_0}\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {\underset{x \to x_0}\lim f(x)} { \underset{x \to x_0}\lim g(x)} \end{align}

Най-общо казано, можем да извършваме аритметични действия с граници.

Доказателства

Покажи доказателства с използване на дефиницията за граница на Коши

Преди Доказателствата ще докажем няколко леми.
Лема1:
Ако $c > 0$ следните 2 твърдения са равносилни:

(3)

\begin{eqnarray} & & \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta_1(\epsilon) > 0 : \forall x \in X,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < \epsilon\\ & & \iff\\ & & \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta_2(\epsilon) > 0 : \forall x \in X,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < c\epsilon \end{eqnarray}

Това, че са равносилни всъщност означава, че едното е вярно тогава и само тогава когато и другото е вярно. Понеже първото очевидно е дефиницията за граница, то можем да използваме и 2рото за доказателството (като евентуално това ще улесни процеса на доказателството) че дадена функция има граница в дадена точка.

Нарочно сложих индекси на функцията $\delta$, за да се вижда в просеца на доказателството какво се използва.

Доказателство:
За да докажем в правата посока, трябва да разпишем първото твърдение като заместим $\epsilon = c\epsilon$:

(4)

\begin{align} \forall \epsilon > 0 \Rightarrow c\epsilon > 0 \Rightarrow \exists \delta = \delta_1(c\epsilon) > 0 : \forall x \in X,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < c\epsilon \end{align}

В обратната посока, понеже можем да избираме епсилон да е произволно малко, ще изберем така епсилон, че да съкратим $c$.
Т.е разписваме 2^рото твърдение за $\frac{\epsilon}{c}$

(5)

\begin{align} \forall \epsilon > 0 \Rightarrow \frac{\epsilon}{c} > 0,\ \exists \delta = \delta_2\left(\frac{\epsilon}{c}\right) > 0: \forall x \in X,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x)-A| < c.\frac{\epsilon}{c} = \epsilon \end{align}

Ако оставим настрана голямата обърквация от еднакви букви и на пръв поглед безсмислени разсъждения може да разсъждаваме така:
смисълът на границата е, че винаги произволно близо до нея, ще има функционални стойности, при това за всяко $x$ произволно близо до $x_0$. Това че сме умножили $\epsilon$ по $c$ всъщност не пречи на израза с който ограничаваме $|f(x) - A|$ който по принцип е $\epsilon$, да може да става произволно малък - новият израз ($\frac{c}{\epsilon}$) пак може да става произволно малък стига да избираме достатъчно малки стойности за $\epsilon$. Точно за това доказваме, че всъщност 2те дефиниции са равносилни. Умножаването по константа може да се прилага също безпроблемно и върху $\delta$, само че там няма да помага особено много при доказателствата :)

Лема2:
Ако $g(x)$ е ограничена и непрекъсната върху определена околност на $x_0$, следователно $\frac{1}{g(x)}$ е ограничена върху тази околност, разбира се ако $g(x) \ne 0$.
Доказателство:
$g(x)$ е ограничена в околност на $x_0$ и дефинирана над $X$, следователно

(6)

\begin{align} \exists M > 0 , \exists \delta > 0 : \forall x \in X |x-x_0| < \delta \Rightarrow |g(x)| < М \end{align}

$g(x)$ е непрекъсната, следователно

(7)

\begin{align} \lim_{x \to x_0} f(x) = B \end{align}

и

(8)

\begin{align} \forall \epsilon > 0 , \exists \delta (\epsilon) > 0, x \in X,\ x \ne x_0,\ |x-x_0| < 0 \Rightarrow |f(x)-B| < \epsilon \end{align}

последното е вярно за всяко епсилон следователно е вярно и за $\epsilon = \frac{|B|}{2}$, тоест

(9)

\begin{align} \exists \delta_B > 0 : x \in X,\ x \ne x_0,\ |x-x_0| < \delta_B \Rightarrow |g(x)-B| < \frac{|B|}{2} \end{align}

а сега да разгледаме последното неравенство по-внимателно

(10)

\begin{matrix} |g(x)-B| &<& \dfrac{|B|}{2} \\ \left||g(x)|-|B|\right| &<& |g(x)-B| &<& \dfrac{|B|}{2}\\ -\dfrac{|B|}{2} &<& |g(x)|-|B| &<& \dfrac{|B|}{2}\\ -\dfrac{|B|}{2}+|B| &<& |g(x)| &<& \dfrac{|B|}{2}+|B|\\ \dfrac{2}{|B|} &>& \dfrac{1}{|g(x)|} &>& \dfrac{2}{3|B|}\\ \dfrac{1}{|g(x)|} &<& \dfrac{2}{|B|}\\ M &=& \dfrac{2}{|B|}\\ \dfrac{1}{|g(x)|} < M\\ \end{matrix}

и така получихме неравенство ограничаващо функцият над опредлено множество следователно доказваме, че съществуват делта околност на $x_0$ и $M$, за които
$g(x)$ е ограничена, което искахме да докажем.

А сега доказателствaтa на своиствата нека
Имаме, че

(11)

\begin{align} \lim_{x \to x_0 } f(x)=A \And \lim_{x \to x_0} g(x) = B \end{align}

Свойство1:

(12)

\begin{align} \lim_{x \to x_0} (f+g)(x) \overset{\underset{?}{}}= A+B \end{align}

Започваме от началото - разписваме дефинициите за граница на двете функции(като използваме лема1)

(13)

\begin{align} \exists A \ \Rightarrow \ \forall \epsilon > 0 , \ \exists \delta_1 >0 , \forall x \in X, x \ne x_0, | x-x_0 | < \delta \Rightarrow |f(x)-A| < \dfrac{\epsilon}{2} \end{align}

(14)

\begin{align} \exists B \ \Rightarrow \ \forall \epsilon > 0 , \ \exists \delta_2 >0 , \forall x \in X, x \ne x_0, | x-x_0 | < \delta \Rightarrow |g(x)-B| < \dfrac{\epsilon}{2} \end{align}

Трябва да докажем, че следната граница дефинирана по Kоши е вярна

(15)

\begin{align} \forall \epsilon > 0\ \exists \delta > 0 , \forall x \in X, x\ne x_0 | x - x_0 | < \delta \Rightarrow |(f+g)(x)- (A+B)| < \epsilon \end{align}

Избираме си $\delta =\min\{ \delta_1, \delta_2 \}$ и разглеждаме последното неравенство за избраната $\delta$ околност на $x_0$

(16)

\begin{align} |(f+g)(x) - (A+B)| = |f(x) + g(x) - A - B| = | (f(x) - A) + (g(x) - B) | < |f(x)- A |+|g(x) - B| < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}

тоест доказахме, че $|(f+g)(x) - (A+B)| < \epsilon$

последното неравенство е вярно за всяко епсилон, тъй като горните 2 също са верни за всеки епсилон (става върпос за тези които са по-малко от $\frac{\epsilon}{2}$). Следователно доказахме свойството.

Свойство2:
$\lim_{x \to x_0} (f-g)(x) = A-B ?$
Аналогично на 1.

Свойство3:

(17)

\begin{align} \lim_{x \to x_0} (fg)(x) \overset{?}= AB \end{align}

Разбира се, както почти винаги започвам със следствията от дефинициите на даденото ни (в случая граници).

(18)

\begin{align} \exists A\ \forall \epsilon > 0 : \exists \delta_1 >0 , \forall x \in X,\ x \ne x_0,\ | x-x_0 | < \delta_1 \Rightarrow |f(x)-A| < \epsilon \end{align}

и

(19)

\begin{align} \exists B\ \forall \epsilon > 0 : \exists \delta_2 >0 , \forall x \in X,\ x \ne x_0,\ | x-x_0 | < \delta_2 \Rightarrow |g(x)-B| < \epsilon \end{align}

Mного важен момент в това доказателство, за всяка функция с граница в дадена точка съществува околност на точката в която тя е ограничена - локално свойсто на граница на функция. Прилагаме за $g(x)$ в точка $x_0$

(20)

\begin{align} \exists \delta_3 > 0 \ \exists \ M : \forall x \in X, | x-x_0 | < \delta_3 \Rightarrow | g(x) | < M \end{align}

отново взимаме най-малкото делта, защото за него са врни и горните неравенства

(21)

\begin{align} \delta = \min \{\delta_1 , \delta_2 , \delta_3\} \end{align}

Сега към същинското доказателство (foreplay is over!). Ще докажем, че $|(f.g)(x)-A.B|$ е ограничено в околност $\delta$ на $x_0$.

(22)

\begin{eqnarray} |(f.g)(x) - A.B| &=& |f(x).g(x)-A.B|\\ &=& |f(x).g(x)-A.g(x)+A.g(x)-A.B| \\ &=& |g(x).(f(x)-A)+A.(g(x)-B)| \\ &\le& |g(x).(f(x)-A)| + |A.(g(x)-B)| \\ &<& |M.\epsilon| + |A.\epsilon| \end{eqnarray}

следователно

(23)

\begin{align} |(f.g)(x)-A.B| < |M.\epsilon| + |A.\epsilon| = \epsilon(|M|+|A|) \end{align}

като $(|M| + |A|)$ е константа

с поредица от математически преобразувания и ограничения на получаваните от математическите преобразувания получихме желания резултат. Имаме, че за всяко епсилон $f$ и $g$ отговарят на условието на Коши за граница и използвайки това доказахме, че и умножените функции също отговарят на условието.

Свойство4:

(24)

\begin{align} \lim_{x \to x_0} (\cfrac{f}{g} )(x) =\cfrac {\lim_{x \to x_0} f(x)} { \lim_{x \to x_0} g(x)} \quad \lim_{x \to x_0} g(x) \ne 0 \end{align}

Същия подход се иползва като в третото свойство, като използваме, че $\frac{1}{g(x)}$ е ограничена.

(25)

\begin{align} \exists A\ \forall \epsilon > 0 ; \exists \delta_1 >0 , \forall x \in X, x \ne x_0, | x-x_0 | < \delta_1 \Rightarrow |f(x)-A| < \epsilon \end{align}

(26)

\begin{align} \exists B\ \forall \epsilon > 0 ; \delta_2 >0 , \forall x \in X, x \ne x_0, | x-x_0 | < \delta_2 \Rightarrow |g(x)-B| < \epsilon \end{align}

Прилагаме лема2 и получавме

(27)

\begin{align} \exists\delta_3 > 0 \ \exists \ M : \forall x \in X, | x-x_0 | < \delta_3 \Rightarrow \left| \dfrac{1}{g(x)} \right| < M \end{align}

както обикновенно взимаме най-малкото делта за което всичкит неравенства по-горе са верни

(28)

\begin{align} \delta = \min\{\delta_1 , \delta_2 , \delta_3\} \end{align}

И сега започваме с черната магия(тоест математически преобразувания на това което искаме да докажем, докато стигнем до нещо очевидно следващо от горните дефиниции). Ключов момент в случая е прибавянето и изваждането на $A.B$, което всъщност е типично в доказателство на аритметично свойство на делене.

(29)

\begin{eqnarray} \left|\dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{A}{B}\right| &=& \left| \dfrac{f(x).B - g(x).A}{g(x).B} \right| \\ &=& \left| \dfrac{f(x).B - g(x).A + A.B - A.B }{g(x).B} \right| \\ &=& \left| \dfrac{B.(f(x)- A)-A.(g(x) - B) }{g(x).B} \right| \\ &=& \left| \dfrac{1}{g(x).B}.(( B.(f(x)- A)-A.(g(x) - B)) \right|\\ &<& \left| \dfrac{1}{g(x).B}\right|.\Big(\left| B.(f(x)- A)\right|+\left|A.(g(x) - B) \right| \Big)\\ &<& |M|.\Big(|B.\epsilon|+|A.\epsilon|\Big)\\ &=& \epsilon.|M(A+B)| \end{eqnarray}

и така имаме си епсилон имаме си делта и лема1 и като ги съберем се получава, че горната граница е вярна следователно доказахме и това свойство

Покажи доказателства с използване на дефиницията за граница на Хайне

Тук ще приложим толкова елегантно решение, че почти звучи нечестно.

В предишната глава споменахме за дефиницията на Хайне за граница на функция. Нейният смисъл накратко е, че съществува релация между границата на f(x) в $x_0$ и съвкупността от всички числови редици $f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n)$ от следния вид:

(30)

\begin{array} {l} f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n) \\ X = x_1, x_2, ... x_n \in R \\ X \rightarrow x_0 \\ x_n \ne x_0 \\ \end{array}

Например, за да докажем първата теорема, ще вземем произволна редица X, отговаряща на условията(да клони към $x_0$ и $x_n \ne x_0$) и щe формулираме чрез нея двете редици:

(31)

\begin{array} {l} F= f(x_1), f(x_2), \cdots, f(x_n) \\ G = g(x_1), g(x_2), \cdots, g(x_n) \\ \end{array}

Според дефиницията знаем, че тези редици са сходящи и клонят към границите на съответно f(x) и g(x) в $x_0$.
Aко $L_f$ е границата на F, а $L_g$ границата на G, то можем да твърдим, че редицата F + G е сходяща и има граница $L = L_f + L_g$.
Това следва от факта, че можем да събираме сходящи редици. Но в такъв случай можем да твърдим, че функцията m(x) = f(x) + g(x) има граница в $x_0$ и тази граница е равна точно на L(доказателството на това твърдение е изложено тук).
По този начин свеждаме задачата за граница на сбор от функции до сбор на сходящи редици. Тази задача е решена, следователно теоремата е доказана.

И четирите теореми могат лесно да се сведат до съответното твърдение за аритметично действие със сходящи редици. Доказателствата, че имаме право да събираме, изваждаме, умножаваме и делим сходящи редици са изложени в раздела за сходящи редици.

Аритметични Свойства за граници, клонящи към безкрайност

Тук ще опишем съответните свойства за граници, които клонят към $\pm \infty$.
Доказателствата отново се свеждат до съответните доказателства за редици, но този път ще покажем някои от тях тук, защото са все пак малко по-сложни.

Първо, какво разбираме под "граница, която клони към безкрайност"?

Покажи

Имаме дадена функцията f(x) Търсим нейната граница в $x_0$. Ако при произволен избор на числото L, можем да намерим $\delta$ околност на $x_0$ такава, че при $| x - x_0 | < \delta$ да следва $f(x) > L$, то казваме, че тази границата на f(x) в $x_0$ клони към безкрайност.
Записва се така:

(32)

\begin{align} \underset{x \to x_0} \lim f(x) = \infty \end{align}

Числото L е избрано произволно, значи в някакъв интервал на $x_0$ f(x) става по-голяма от всяко реално число. Казваме още, че f(x) е неограничена в точка(да, търсим граница, а се оказва, че не е ограничена. Оксиморон е, но все пак може да се изведат свойства и от това.)
Аналогично се дефинира и граница, клоняща към минус безкрайност.
Пример:

(33)

\begin{array} {l} \underset{x \to 0}\lim {\dfrac{1}{x^2}} = \infty \\ \underset{x \to 0}\lim {- \dfrac{1}{x^2}} = -\infty \\ \end{array}

Забележете, че не всички свойства на границите са изпълнени в тези случаи. Най-очевидният пример е свойство 2 - "функция, притежаваща граница в точка е ограничена в околност на тази точка". Все пак, в повечето случаи е по-скоро очевидно кои свойства могат да се използват.

Ако имаме, че $\underset{x \to x_0} \lim f(x) = \infty$, а $\underset{x \to x_0} \lim g(x) = L, L \in R$.
Естествено, $x_0$ е точка на сгъстяване за множеството X, в което са дефинирани и двете функции.
Tоест f(x) клони към безкрайност, а g(x) има някаква реална граница.
Тогава са изпълнени следните свойства:

(34)

\begin{array} {l} \underset{x \to x_0}\lim f(x) \pm g(x) = \infty \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) = \begin{cases} \underset{x \to x_0}\lim g(x) > 0 & \infty \\ \underset{x \to x_0}\lim g(x) < 0 & -\infty \\ \end{cases} \end{array}

Доказателства

Покажи

$\underset{x \to x_0}\lim f(x) + g(x) = \infty$
Ясно е, че доказателствата при събиране/изваждане са аналогични, затова ще докажем само първия случай.
Да вземем произволно число L. Според дефиницията за граница, клоняща към безкрайност, можем да намерим такава ненулева околност $(x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1)$, че f(x) > L когато x е в тази околност. Но, знаем също така и, че g(x) е ограничена в някаква околност $(x_0 - \delta_2, x_0 + \delta_2)$(това е свойство на граница на функция). В такъв случай, можем да намерим някакво число G такова, че при $(x_0 - \delta_1, x_0 + \delta_1)$ да имаме гарантирано g(x) < G(G може да е каквото и да е реално число - положително, отрицателно… ). Значи ако докажем, че $f(x) + G > L$, ще сме доказали и $f(x) + g(x) > L$.
Формирайки числото $L_1 = L - G$ ще приложим дефиницията за граница, клоняща към безкрайност и ще получим, че за достатъчно близки до $x_0$ стойности $f(x) > L_1$. Всъщност при $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ твърдението е изпълнено, но няма нужда да се позоваваме на това, защото по дефиниция за всяко реално число можем да намерим подходящ интервал.
И така:

(35)

\begin{array} {l} \exists \delta : |x - x_0| < \delta \\ \Rightarrow f(x) > L_1 \Rightarrow f(x) > L - G \Rightarrow f(x) + G > L \Rightarrow f(x) + g(x) > L \end{array}

С което теоремата е доказана.

Случаят с умножение/деление е еквивалентен. Разликата е, че доказваме не за $L_1 = L - G$, а за $L_1 = L/G$.

Знакът на безкрайността зависи както от знака на f(x), така и от знака на g(x) - по същия начин, както и при нормално умножение/деление.
Най-лесният начин да смятаме такива граници е просто да изнесем нужния брой минус единици (-1) пред скоби и след това да работим с |f(x)| и |g(x)|.

Забележка: Не можем да умножаваме безкрайност по нула. Резултатът в такъв случай е неопределен и трябва да го получим чрез други методи.

При $\underset{x \to x_0}\lim f(x) = \infty, \underset{x \to x_0}\lim g(x) = \infty$ имаме:

(36)

\begin{array} {l} \underset{x \to x_0}\lim f(x) + g(x) = \infty \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) = \infty \\ \end{array}

Доказателство:

Покажи

И двата случая се свеждат до вече решената задача в предишното доказателство.
При събирането използваме свойството на границите. В някаква околност на $x_0$ g(x) е по-голяма от произволно реално число. Значи е по-голяма, например, от 1. Тоест резултатът от границата $\underset{x \to x_0}\lim f(x) + g(x)$ е по-голям от $\underset{x \to x_0}\lim f(x) + 1$. Но това дори и така клони към безкрайност, значи и цялата сума, която е по-голяма, клони към безкрайност.

При умножението използваме същия похват: g(x) > 1 в някоя околност на $x_0$, значи $\underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) > \underset{x \to x_0}\lim f(x)*1 = \infty$.

При $\underset{x \to x_0}\lim f(x) = - \infty, \underset{x \to x_0}\lim g(x) = - \infty$ имаме:

(37)

\begin{array} {l} \underset{x \to x_0}\lim f(x) + g(x) = - \infty \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) = \infty \\ \end{array}

При $\underset{x \to x_0}\lim f(x) = \infty, \underset{x \to x_0}\lim g(x) = - \infty$ имаме:

(38)

\begin{array} {l} \underset{x \to x_0}\lim f(x)*g(x) = - \infty \\ \end{array}

Забележете, че не можем да събираме безкрайности с различни знаци, нито можем да делим безкрайности. В такива случаи ще се наложи да си служим с други средства.