Тема 04

Граница на функция - дефиниция, основни свойства
Лява и дясна граница


Граница на функция

Точка на сгъстяване

Дефиниция:
Нека $X \subset \mathbb R$
Една стойност $x_0$ от множеството $X$ наричаме точка на сгъстяване, ако във всяка ненулева нейна околност има точка от $X$, различна от $x_0$:

(1)
\begin{align} \forall \delta > 0,\ \exists x \in \mathrm X\ x \ne x_0 : x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \end{align}

Допълнителна информация:

Дефиниция:
Всяка точка от едно множество, която не е точка на сгъстяване за него, се нарича изолирана точка.


Дефиниция на Коши / Епсилон-Делта дефиниция

Дефиниция:
Нека $y = f(x)$ е дефинирана върху $M$ и $x_0$ e точка на сгъстяване на $M$. Казваме, че $L$ е граница на $f(x)$ при $x$ клонящо към $x_0$, ако:
за произволно малко число $\epsilon$ можем да намерим такова число $\delta$, че от $| x - x_0 | < \delta$ да следва $| f(x) - L | < \epsilon$:

(3)
\begin{array} {l} \\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0,\ \forall x \in \mathrm M,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon \end{array}

Твърдението важи и в двете посоки - ако за всяко $\epsilon$ съществува $\delta$ отговарящо на условието, то функцията има граница и ако функцията има граница, то за всяко $\epsilon$ съществува $\delta$ околност, отговаряща на условието.

Допълнителна информация:


Дефиниция на Хайне

Съществува и алтернативна дефиниция за граница на функция(която, естествено, е еквивалентна на първата). Тя се нарича Дефиниция на Хайне и в много случаи е по-полезна от другата (по-полезна означава, че някои от теоремите се доказват по-лесно с нея).
Дефиниция:
Нека $y = f(x)$ е дефинирана върху $M$ и $x_0$ e точка на сгъстяване на $M$. Казваме, че $L$ е граница на $f(x)$ при $x$ клонящо към $x_0$, ако
при произволен избор на безкрайна редицата $X = \{ x_i \}_{i=1}^{+\infty}\ X \subset M \setminus \{ x_0 \}$, която клони към $x_0$ следва че редицата от функционалните стойности $F = \{ f(x_i) \}_{i=1}^{+\infty}$ е сходяща и клони към $L$.
Отново, твърдението важи и в обратната посока.

Допълнителна информация:


Основното предимство, което ни дава тази дефиниция е, че можем да сведем въпроса за граница на функция до въпрос за сходимост на редица, където имаме силен апарат за доказване на твърдения. Някои от свойствата се доказват много лесно по този начин.

Специални случаи

Важно е също така да имаме и някаква представа за граници, които клонят към безкрайност или за граници, които се вземат при $x_0 \rightarrow \infty$. Без да се впускаме в дълги обяснения, ще дадем кратка дефиниция за понятията.
Твърдим, че границата на $f(x)$ клони към безкрайност в $x_0$ когато за всяко реално число $A$ можем да намерим такова число $\delta$, че ако е изпълнено $| x - x_0 | < \delta$ да е изпълнено и $f(x) > A$.
Твърдим, че границата на $f(x)$ при $x$ клонящо към безкрайност е $L$ когато за всяко реално число $\epsilon$ можем да намерим такова $K$, че ако е изпълнено $x$ > K, да бъде изпълнено и $| f(x) - L | < \epsilon$.
По аналогичен начин се дават определения и за граници на функции, при x клонящо към минус безкрайност, както и за граници клонящи към минус безкрайност. Дефиницията, както можеше да се очаква, е много близка до епсилон-делта дефиницията.
Всъщност единствената разлика с дефиницията на Коши е, че представата за околност на точка малко се изменя. Например околност на $+\infty$ е $(A, +\infty)$. Заместете и ще видите че горните дефиниции са аналогични, стига да се вземе предвид 'новото' понятие за околност (за 'новите' точки $\pm \infty$)


Свойства

Сега ще докажем 5 свойства, който ще помогнат в изследването на функции вбъдеще, защото, както се досещате, използването само на дефинициите не винаги е практично и удобно.

Общо условие за всички свойства:
$f(x), g(x), h(x)$ са дефинирани върху $M \subset \mathbb R$ и $x_0$ е точка на сгъстяване за $M$.


Свойство 1

Ако границата на функция в точка съществува, то тази граница е единствена.

Доказателство:


Свойство 2

Ако една функция има граница в дадена точка, то тя е ограничена в някаква околност на точката.

Доказателство:


Свойство 3

Ако $f(x) \le g(x)$ за всяко $x \in X$, и съществуват границите в точка $x_0$:

(14)
\begin{eqnarray} & & \exists \lim_{x \to x_0} f(x) = A \\ & & \exists \lim_{x \to x_0} g(x) = B \\ & & \Longrightarrow A \le B \end{eqnarray}

Доказателство:


Свойство 4

Следва почти същото свойство в почти обратната посока :)
Ако границите на две функции $f(x), g(x)$ в някаква точка $x_0$ съществуват и границата на $f(x)$ е по-малка от границата на $g(x)$, то в някоя околност на $x_0$ можем да твърдим, че $f(x) < g(x)$.

(18)
\begin{eqnarray} & & A = \underset{x \to x_0}\lim f(x)\\ & & B = \underset{x \to x_0}\lim g(x)\\ & & A < B\\ & & \Rightarrow \exists \delta > 0 : \forall x \in (x_0 - \delta,\ x_0 + \delta) \setminus \{x_0\} \cap \mathrm X\\ & & f(x) < g(x)\\ \end{eqnarray}

Доказателство:

Забележка
На лекции под свойство номер 3 фигурира следното твърдение:
Ако съществува границата на $f(x)$ в точка $x_0$ и тя е различна от 0, то съществува достатъчно малка прободена околност на $x_0$ в която $f(x)$ си запазва знака (следва записано за по-голямо от 0, за по-малко е аналогично):

(22)
\begin{eqnarray} & & \exists \lim_{x \to x_0} f(x) > 0 \\ & & \Longrightarrow \exists \delta : \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \cap X : f(x) > 0 \end{eqnarray}

Важно е да се разбере, защо се изключва $x_0$ - просто границата сама по себе си в точка x_0 не носи никаква информация за поведението на функцията в самата точка $x_0$ - границата носи информация, само за достатъчно малки околности на $x_0$, който не включват $x_0$.

Верността на това твърдение следва от свойство 4, като положим функцията $g(x) = 0$.
То не беше включено в основния списък, защото свойството е по-използвано като свойство на непрекъснатост на функция - при непрекъснати функции няма нужда да се изключва точка $x_0$ - но за това ще стане дума в по-следващата тема.


Следното свойство е още известно като "Теорема за полицаите"

Свойство 5

Нека $f(x) \le g(x) \le h(x)$ върху $X$
Имаме функция $g(x)$, която е ограничена отдолу и отгоре от две функции, $f(x)$ и $h(x)$.
Ако в някоя точка $f(x)$ и $h(x)$ имат граници и тези граници са едно и също число $L$, то можем да заключим, че границата на $g(x)$ в тази точка също съществува, а освен това и, че е равна на $L$.

(23)
\begin{eqnarray} & & f(x) \le g(x) \le h(x) \\ & & \lim_{x \to x_0} f(x) = L \\ & & \lim_{x \to x_0} h(x) = L \\ & & \Rightarrow \exists \lim_{x \to x_0} g(x) = L \\ \end{eqnarray}

Tова свойство е изключително полезно, защото чрез него може да заключим, че съвсем произволни функции (на пръв поглед) имат граница, даже да намерим тази граница. Достатъчно е да я ограничим със 2 функции, за които вече е известно че имат еднаква граница.

Доказателство:

Лява и дясна граница

Сега ще въведем понятията лява и дясна граница. Тях няма да използваме толкова често, колкото нормалната граница, но понякога помагат да заключим съществуването на нормална граница на по-трудни за анализиране функции.

Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $X \subset R$ и $x_0$ е т.н.сг $X$. Дефинициите на понятията лява и дясна граница са еквивалентни на понятието граница, с единствената разлика, че когато говорим за лява граница разглеждаме поведението на функцията единствено за $x < x_0$, а когато говорим за дясна - $x > x_0$.
Дясна граница:

(25)
\begin{array} {l} \mbox{1) } L_+ = \underset{x \to x_0^+}\lim f(x)\quad \mbox{ ako } \forall \epsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall x \in \mathrm X,\ \underbrace{x > x_0, |x - x_0| < \delta}_{x \in (x_0, x_0 + \delta)}\\ \Longrightarrow |f(x) - L| < \epsilon\\ \end{array}

Лява граница:

(26)
\begin{array} {l} \mbox{2) } L_- = \underset{x \to x_0^-}\lim f(x)\quad \mbox{ ako } \forall \epsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall x \in \mathrm X,\ \underbrace{x < x_0, |x - x_0| < \delta}_{x \in (x_0 - \delta, x_0)}\\ \Longrightarrow |f(x) - L| < \epsilon\\ \end{array}

Теорема:

(27)
\begin{array} {l} \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x) = A \iff \exists \underset{x \to x_0^-}\lim f(x) = A_-\quad \exists \underset{x \to x_0^+}\lim f(x) A_+\\ \mbox { аnd } A_- = A_+ = A\\ \end{array}

Теоремата гласи, че ако съществуват лява и дясна граница в една точка и те са равни, то съществува и границата в тази точка (равна на същото число). Обратната посока - ако има граница в дадена точка, то има и лява и дясна граница в тази точка, равни на границата.

Доказателството, просто повтаря вече казани неща.
Не е излишно обаче да се отбележи, че една функция може да има както лява, така и дясна граница в някоя точка, но те двете да не са равни. В такъв случай функцията няма граница в тази точка. Например:

(28)
\begin{align} f(x) = \begin{cases} x & 0 \le x <= 1 \\ 1 - x & 1 < x \end{cases} \end{align}

притежава и лява, и дясна граница в 1, но те не са равни, следователно $f(x)$ няма граница в 1.


Автори: Искрен Чернев, Михаил Минков

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License