Граница на функция - дефиниция, основни свойства
Лява и дясна граница
Граница на функция
Точка на сгъстяване
Дефиниция:
Нека $X \subset \mathbb R$
Една стойност $x_0$ от множеството $X$ наричаме точка на сгъстяване, ако във всяка ненулева нейна околност има точка от $X$, различна от $x_0$:
(1)
\begin{align} \forall \delta > 0,\ \exists x \in \mathrm X\ x \ne x_0 : x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \end{align}
Допълнителна информация:
С по-прости думи точка на сгъстяване за едно множество е такава точка, около която има точки от множеството(различни от нея), които са произволно близо. Наопаки казано, една точка не е точка на сгъстяване, ако съществува нейна околност, в която няма други точки от множеството (нарича се изолирана точка). Важно е да се отбележи, че една точка на сгъстяване не е задължително да принадлежи на множеството.
Пример За точка на сгъстяване, която не е от множеството:
Функцията $\frac{1}{n}$ е дефинирана за всяко естествено число. Ще докажем, че 0 е точка на сгъстяване за функционалните и' стойности. Ако вземем някакво произволно число $\epsilon$, то трябва да докажем, че в интервала $(0-\epsilon,0+\epsilon)$ има точка, която е от вида $\frac{1}{n}$. Но ако образуваме числото $A = \frac{1}{\epsilon}$ и вземем кое да е реално число n > A, ще получим
(2)
\begin{eqnarray} & & n>A \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{A} = \epsilon \\ & & \Longrightarrow 0-\epsilon < \frac{1}{n} < 0+\epsilon \\ & & q.e.d. \end{eqnarray}
Дефиниция:
Всяка точка от едно множество, която не е точка на сгъстяване за него, се нарича изолирана точка.
Дефиниция на Коши / Епсилон-Делта дефиниция
Дефиниция:
Нека $y = f(x)$ е дефинирана върху $M$ и $x_0$ e точка на сгъстяване на $M$. Казваме, че $L$ е граница на $f(x)$ при $x$ клонящо към $x_0$, ако:
за произволно малко число $\epsilon$ можем да намерим такова число $\delta$, че от $| x - x_0 | < \delta$ да следва $| f(x) - L | < \epsilon$:
(3)
\begin{array} {l} \\ \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0,\ \forall x \in \mathrm M,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta\\ \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon \end{array}
Твърдението важи и в двете посоки - ако за всяко $\epsilon$ съществува $\delta$ отговарящо на условието, то функцията има граница и ако функцията има граница, то за всяко $\epsilon$ съществува $\delta$ околност, отговаряща на условието.
Допълнителна информация:
Числото $\delta$(делта) естествено зависи от избора на $\epsilon$(епсилон), евентуално може да зависи и от $x$. Тази формулировка за граница на функция се нарича Епсилон-делта дефиниция или още Дефиниция на Коши. Вижда се, че ако условията са изпълнени за някое число $\delta$, то те ще са изпълнени и за всяко друго по-малко положително число.
В много случаи границата на функция в дадена точка $x_0$ е просто стойността на функцията в $x_0$. Но е важно да се отбележи, че това в никакъв случай не е винаги изпълнено.
- Възможно е функцията въобще да не е дефинирана в тази точка. Hапример $\frac{\sin x}{x}$ не е дефинирана в 0, но притежава граница в точка 0 :
(4)
\begin{align} \lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x} = 1 \end{align}
- Понякога е възможно дори фунцкията да е дефинирана в $x_0$, но $f(x_0) \ne \underset{x \to x_0}\lim f(x)$. Например функцията:
(5)
\begin{align} f(x) = \begin{cases} 1 & -1 \le x < 0 \\ \frac{1}{2} & x = 0 \\ 1 - x^2 & 0 < x\le 1 \end{cases} \end{align}
Притежава граница в 0 и тази граница е 1, но $f(0) = 0.5$. Разбира се и функцията е 'малко' нагласена, но вие няма да се сърдите.
Дефиниция на Хайне
Съществува и алтернативна дефиниция за граница на функция(която, естествено, е еквивалентна на първата). Тя се нарича Дефиниция на Хайне и в много случаи е по-полезна от другата (по-полезна означава, че някои от теоремите се доказват по-лесно с нея).
Дефиниция:
Нека $y = f(x)$ е дефинирана върху $M$ и $x_0$ e точка на сгъстяване на $M$. Казваме, че $L$ е граница на $f(x)$ при $x$ клонящо към $x_0$, ако
при произволен избор на безкрайна редицата $X = \{ x_i \}_{i=1}^{+\infty}\ X \subset M \setminus \{ x_0 \}$, която клони към $x_0$ следва че редицата от функционалните стойности $F = \{ f(x_i) \}_{i=1}^{+\infty}$ е сходяща и клони към $L$.
Отново, твърдението важи и в обратната посока.
Допълнителна информация:
Първо ще обърнем внимание на изискването никой член на редицата $X$ да не е равен на $x_0$. Това изискване е важно, защото както видяхме стойността в $x_0$ може да е различна от границата и по този начин редицата $X' = \{x_0\}_{i=1}^{+\infty}$ отговаря на условията но въобще не дава търсената граница.
За да се уверим във верността на тази дефиниция и да докажем еквивалентността между нея и дефиницията на Коши, ще докажем две теореми(използвайки същите означения):
1. Ако функцията има граница $L$ в $x_0$ (например по дефиницията на Коши), то при произволен избор на $X$, спазвайки ограниченията, $F$ е сходяща и клони към $L$.
2. Ако при произволен избор на $X$ според ограниченията, редицата $F$ е сходяща и клони към една и съща стойност $L$, то границата на $f(x)$ в $x_0$ е точно $L$.
Доказателства
1. От условието знаем, че $f(x)$ притежава граница в $x_0$ и тя е $L$. Това ни гарантира, че (разписваме дефиницията на Коши):
(6)
\begin{align} \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \delta_x(\epsilon) : \forall x \in X,\ x \ne x_0, |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon \quad (1) \end{align}
Също така имаме, че $X$ е сходяща и клони към $x_0$. Това означава, че
(разписваме дефиницията за граница на редица):
(7)
\begin{align} \forall \nu : \exists N_0 = N_0^x(\nu) : \forall n > N_0 \Rightarrow |x_n - x_0| < \nu \quad (2) \end{align}
Тоест, за всяко число $\nu > 0$ можем да намерим $N_0$, такова, че всички членове на редицата с индекс $> N_0$ са на разстояние по-малко от $\nu$ от $x_0$.
Сега трябва да докажем, че редицата $\{ f(x_i) \}_{i = 1}^{+\infty}$ клони към $L$. Ще го направим, като използваме дефиницията за граница на редица и 2те функции $\delta_x$ и $N_0^x$, чието съществуване видяхме досега в 2те разписани дефиниции:
(8)
\begin{eqnarray} & & \forall \epsilon > 0\ \exists \delta = \delta_x(\epsilon)\\ & & \exists N_0 = N_0^x(\delta) : \forall n > N_0 \overset{\underset{(2)}{}}\Rightarrow |x_n - x_0| < \delta \And x_n \in X\\ & & \overset{\underset{(1)}{}}\Rightarrow |f(x_n) - L| < \epsilon\ \forall n > N_0 \Rightarrow \{ f(x_i) \}_{i=1}^{+\infty} \overset{\underset{def}{}}\longrightarrow L \end{eqnarray}
Какво точно се случи?
За всяко $\epsilon$ си избрахме $\delta$, като използвахме функцията от първата дефиниция (т.е избрахме си $\delta$ по същото правило). За това $\delta$ от 2рата дефиниция съществува $N_0$ за което всички членове с по-голям номер, са на разстояние по-малко от $\delta$ от $x_0$. За такива $x$ обаче ('достатъчно' близо до $x_0$) ние знаем от първата дефиниция, че $|f(x) - L| < \epsilon$. За наше щастие се оказва, че понеже $x$-овете са последователни членове на редицата $\{x_i\}_{i=1}^{+\infty}$, от даден член до безкрайност, то връзката за $|f(x)-L| < \epsilon$ също е изпълнена за всички членове на редицата $\{ f(x_i) \}_{i=1}^{+\infty}$ от даден нататък.
Т.е изпълнени са условията от дефиницията за граница на редица - т.е $\{ f(x_i) \}_{i=1}^{+\infty} \longrightarrow L$
2. Ще приемем, че $\underset{x \to x_0}\lim f(x) \ne L$ и ще се опитаме да достигнем до противоречие.
Можем да използваме обратното на условието за граница на функция.
За някое $\epsilon_0$ не съществува такова $\delta$, че при $| x - x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x) - L | < \epsilon_0$. Това означава, че за никоя положителна стойност на $\delta$ условието няма да е изпълнено - да не е изпълнено, означава да има поне една стойност $m \in M,\ m \ne x_0 : |m - x_0| < \delta \And |f(m) - L| \ge \epsilon_0$. Тоест, ако вземем например $\delta_1 = 1$ ще има стойност $m_1$ от $M$, различна от $x_0$ такава, че $|m_1 - x_0| < 1 \And |f(m_1) - f(x_0)| \ge \epsilon$. Също така, ако вземем $\delta_2 = \frac{1}{2}$, ще има стойност $m_2$, за която подобно уравнение е изпълнено. Ако продължим да вземаме все по-малки стойности на делта от вида $\delta_h = \frac{1}{2^h}, h \in \mathbb N$, ще получим следната редица:
(9)
\begin{eqnarray} & & \{ m_i \}_{i=1}^{+\infty} :\\ & & {}\quad m_i \ne x_0\\ & & {}\quad m_i \in M\\ & & {}\quad | m_i - x_0 | < \frac{1}{2^i} \And | f(m_i) - L | \ge \epsilon_0\\ & & \forall i \in \mathbb N\\ \end{eqnarray}
Но(винаги има едно но) ако погледнем редицата $\{ m_i \}_{i=1}^{+\infty}$, ще се окаже лесно доказателството, че тя всъщност клони към $x_0$. Тоест, редицата $\{ m_i \}_{i=1}^{+\infty}$ отговаря на условията за редица $X$, което означава, че редицата $\{ f(m_i) \}_{i=1}^{+\infty}$ ще е сходяща и ще клони към L по условие. Но ние избрахме тези стойности точно такива, че $\{ f(m_i) \}_{i=1}^{+\infty}$ да не клони към L. Това е противоречие, откъдето следва, че първоначалното ни предположение е било грешно, тоест: За всяко $\epsilon$ съществува $\delta : | x - x_0 | < \delta => | f(x) - L | < \epsilon$.
Основното предимство, което ни дава тази дефиниция е, че можем да сведем въпроса за граница на функция до въпрос за сходимост на редица, където имаме силен апарат за доказване на твърдения. Някои от свойствата се доказват много лесно по този начин.
Специални случаи
Важно е също така да имаме и някаква представа за граници, които клонят към безкрайност или за граници, които се вземат при $x_0 \rightarrow \infty$. Без да се впускаме в дълги обяснения, ще дадем кратка дефиниция за понятията.
Твърдим, че границата на $f(x)$ клони към безкрайност в $x_0$ когато за всяко реално число $A$ можем да намерим такова число $\delta$, че ако е изпълнено $| x - x_0 | < \delta$ да е изпълнено и $f(x) > A$.
Твърдим, че границата на $f(x)$ при $x$ клонящо към безкрайност е $L$ когато за всяко реално число $\epsilon$ можем да намерим такова $K$, че ако е изпълнено $x$ > K, да бъде изпълнено и $| f(x) - L | < \epsilon$.
По аналогичен начин се дават определения и за граници на функции, при x клонящо към минус безкрайност, както и за граници клонящи към минус безкрайност. Дефиницията, както можеше да се очаква, е много близка до епсилон-делта дефиницията.
Всъщност единствената разлика с дефиницията на Коши е, че представата за околност на точка малко се изменя. Например околност на $+\infty$ е $(A, +\infty)$. Заместете и ще видите че горните дефиниции са аналогични, стига да се вземе предвид 'новото' понятие за околност (за 'новите' точки $\pm \infty$)
Свойства
Сега ще докажем 5 свойства, който ще помогнат в изследването на функции вбъдеще, защото, както се досещате, използването само на дефинициите не винаги е практично и удобно.
Общо условие за всички свойства:
$f(x), g(x), h(x)$ са дефинирани върху $M \subset \mathbb R$ и $x_0$ е точка на сгъстяване за $M$.
Свойство 1
Ако границата на функция в точка съществува, то тази граница е единствена.
Доказателство:
Ще допуснем, че има 2 различни граници, и ще изберем достатъчно малки техни околности (такива, които не се пресичат) и ще направим противоречие с дефиницията:
(10)
\begin{array} {l} \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x) = A\\ \mbox{Let } \exists B \ne A : \underset{x \to x_0}\lim f(x) = B (A < B)\\ \exists \epsilon_0 : (A-\epsilon_0, A+\epsilon_0) \cap (B-\epsilon_0, B+\epsilon_0) = \varnothing (\epsilon_0 < \frac{B-A}{2})\\ {}\vspace{3 mm}\\ \end{array}
Оттук, според дефиницията за граница на функция, съществуват $\delta_1, \delta_2$ такива, че:
(11)
\begin{array} {l} | x - x_0 | < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - A| < \epsilon_0 \\ | x - x_0 | < \delta_2 \Rightarrow |f(x) - B| < \epsilon_0 \end{array}
До момента сме избрали 2те 'достатъчно' малки околности на $A$ и $B$ (като взехме половината от разстоянието между тях) и сме разписали дефиницията за граница (веднъж за $A$, веднъж за $B$ - защото сме допуснали че имаме 2 различни граници), като сме заместили $\epsilon$ със $\epsilon_0$(щом е вярно за всяко, значи е вярно и за точно това конкретно). Ще се позовем на твърдението следващо от дефиницията, че ако тя е изпълнена за някоя стойност на делта, то е изпълнена и за всяка по-малка от нея положителна стойност.
(12)
\begin{array} {l} \\ \delta = \min(\delta_1,\ \delta_2)\\ \Rightarrow \forall x \in \mathrm X : x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta \le \delta_1 \overset{(1)}\Rightarrow |f(x) - A| < \epsilon_0\quad(\star)\\ \Rightarrow \forall x \in \mathrm X : x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta \le \delta_2 \overset{(2)}\Rightarrow |f(x) - B| < \epsilon_0\quad(\star\star)\\ \end{array}
Току-що доказахме, че разстоянията между $f(x)$ и $A$, както и между $f(x)$ и $B$ са по-малки от $\epsilon_0$. Но, конструирахме примера така, че това да не е възможно - $(\epsilon_0 < \frac{B-A}{2})$. Достигаме до противоречие, което доказва свойството.
Свойство 2
Ако една функция има граница в дадена точка, то тя е ограничена в някаква околност на точката.
Доказателство:
Ще фиксираме $\epsilon = 1^\epsilon$ (можеше да бъде и всяко друго реално число, ще пишем малко епсилон горе за да се подсещаме) и ще използваме дефиницията за граница - при това $\epsilon$ съществува (от дефиницията) $\delta$ околност на $x_0$ в която $f(x)$ е ограничена в интервала $(A - \epsilon, A + \epsilon)$, където $A = \underset{x \to x_0 } \lim f(x)$
(13)
\begin{eqnarray} & & \exists \underset{x \to x_0}\lim f(x) = A\\ & & \epsilon = 1^\epsilon \Rightarrow \exists \delta = \delta(1^\epsilon) : \forall x \in \mathrm X,\ x \ne x_0,\ |x-x_0| < \delta \Longrightarrow |f(x) - A| < 1^\epsilon\\ & & \Longrightarrow \big||f(x)| - |A|\big| \le |f(x) - A| < 1^\epsilon \\ & & \Longrightarrow |f(x)| < |A| + 1^\epsilon\\ \end{eqnarray}
Свойство 3
Ако $f(x) \le g(x)$ за всяко $x \in X$, и съществуват границите в точка $x_0$:
(14)
\begin{eqnarray} & & \exists \lim_{x \to x_0} f(x) = A \\ & & \exists \lim_{x \to x_0} g(x) = B \\ & & \Longrightarrow A \le B \end{eqnarray}
Доказателство:
Ще допуснем противното - а именно че лимесите се сравняват с противоположен знак $(A > B)$. После ще изберем 2 непресичащи се техни околности (точно както направихме в първото свойство) и ще получим противоречие с даденото.
(15)
\begin{eqnarray} & & A > B \\ & & \Rightarrow \exists \epsilon_0 < \frac{A - B}{2} : (B - \epsilon_0,\ B + \epsilon_0) \cap (A-\epsilon_0,\ A+\epsilon_0) = \varnothing\\ & & A = \lim_{x \to x_0} f(x) \overset{\underset{def}{}}\Rightarrow \epsilon_0 > 0,\ \exists \delta_1 > 0,\ \forall x \in \mathrm X, x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta_1\\ & & \Rightarrow |f(x) - A| < \epsilon_0 \quad(1) \\ & & B = \underset{x \to x_0}\lim g(x) \overset{de{}f}\Rightarrow \epsilon_0 > 0,\ \exists \delta_2 > 0,\ \forall x \in \mathrm X, x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta_2\\ & & \Rightarrow |g(x) - B| < \epsilon_0 \quad(2)\\ \end{eqnarray}
Вземаме $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$. Ако е изпълнено $| x - x_ 0| < \delta$ със сигурност имаме, че:
(16)
\begin{eqnarray} & & |f(x) - A| < \epsilon_0 \Leftrightarrow f(x) \in (A - \epsilon_0, A + \epsilon_0) \\ & & |g(x) - B| < \epsilon_0 \Leftrightarrow g(x) \in (B - \epsilon_0, B + \epsilon_0) \\ \end{eqnarray}
Но поради начина, по който избрахме $\epsilon_0$, получаваме следните неравенства:
(17)
\begin{eqnarray} & & f(x) > A - \epsilon > B + \epsilon > g(x) \\ & & \Rightarrow f(x) > g(x) \end{eqnarray}
Това е противоречеието, което се опитвахме да получим. Значи $A > B$ е невъзможно и свойството е доказано.
Идеята е същата като идеята, използвана в първо свойство. Избирането на минимума от 2те околности $(\delta)$ ни гарантира, че когато $x$ е в новата, 'минимална' околност, то за него са изпълнени свойствата и за 2те (т.е и за $\delta_1$ и за $\delta_2$), защото ако епсилон-делта дефиницията е изпълнена за някое $\delta$, то тя е изпълнена и за произволно друго число, по-малко от $\delta$.
Свойство 4
Следва почти същото свойство в почти обратната посока :)
Ако границите на две функции $f(x), g(x)$ в някаква точка $x_0$ съществуват и границата на $f(x)$ е по-малка от границата на $g(x)$, то в някоя околност на $x_0$ можем да твърдим, че $f(x) < g(x)$.
(18)
\begin{eqnarray} & & A = \underset{x \to x_0}\lim f(x)\\ & & B = \underset{x \to x_0}\lim g(x)\\ & & A < B\\ & & \Rightarrow \exists \delta > 0 : \forall x \in (x_0 - \delta,\ x_0 + \delta) \setminus \{x_0\} \cap \mathrm X\\ & & f(x) < g(x)\\ \end{eqnarray}
Доказателство:
Ще използваме отново трика от свойство 1. Избираме $\epsilon$ толкова малко, че околностите $(A - \epsilon, A + \epsilon)$ и $(B - \epsilon, B + \epsilon)$ да не се пресичат.
(19)
\begin{array} {l} A < B\\ \Rightarrow \exists \epsilon_0 : (A-\epsilon_0, A+\epsilon_0) \cap (B-\epsilon_0, B+\epsilon_0) = \varnothing\\ \end{array}
След това, от дефиницията за граница, заключваме, че в някаква $\delta$ околност на $x_0$
f(x) и g(x) се приближават на разстояние по-малко от $\epsilon$ до техните граници.
(20)
\begin{array} {l} A = \lim f(x) \overset{de{}f}\Rightarrow \exists \delta_1 > 0 : \forall x \in \mathrm X,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta_1 \\ \Rightarrow |f(x) - A| < \epsilon_0\\ B = \lim g(x) \overset{de{}f}\Rightarrow \exists \delta_2 > 0 : \forall x \in \mathrm X,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta_2 \\ \Rightarrow |g(x) - B| < \epsilon_0\\ \delta = \min(\delta_1,\ \delta_2) \end{array}
Накрая използваме неравенствата, следващи от условието и начина по който сме избрали $\epsilon$
(21)
\begin{array} {l} \forall x \in \mathrm X,\ x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta\\ \Rightarrow A - \epsilon_0 < f(x) < A + \epsilon_0 < B - \epsilon_0 < g(x) < B + \epsilon_0\\ \Rightarrow f(x) < g(x)\\ \end{array}
Забележка
На лекции под свойство номер 3 фигурира следното твърдение:
Ако съществува границата на $f(x)$ в точка $x_0$ и тя е различна от 0, то съществува достатъчно малка прободена околност на $x_0$ в която $f(x)$ си запазва знака (следва записано за по-голямо от 0, за по-малко е аналогично):
(22)
\begin{eqnarray} & & \exists \lim_{x \to x_0} f(x) > 0 \\ & & \Longrightarrow \exists \delta : \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \setminus \{ x_0 \} \cap X : f(x) > 0 \end{eqnarray}
Важно е да се разбере, защо се изключва $x_0$ - просто границата сама по себе си в точка x_0 не носи никаква информация за поведението на функцията в самата точка $x_0$ - границата носи информация, само за достатъчно малки околности на $x_0$, който не включват $x_0$.
Верността на това твърдение следва от свойство 4, като положим функцията $g(x) = 0$.
То не беше включено в основния списък, защото свойството е по-използвано като свойство на непрекъснатост на функция - при непрекъснати функции няма нужда да се изключва точка $x_0$ - но за това ще стане дума в по-следващата тема.
Следното свойство е още известно като "Теорема за полицаите"
Свойство 5
Нека $f(x) \le g(x) \le h(x)$ върху $X$
Имаме функция $g(x)$, която е ограничена отдолу и отгоре от две функции, $f(x)$ и $h(x)$.
Ако в някоя точка $f(x)$ и $h(x)$ имат граници и тези граници са едно и също число $L$, то можем да заключим, че границата на $g(x)$ в тази точка също съществува, а освен това и, че е равна на $L$.
(23)
\begin{eqnarray} & & f(x) \le g(x) \le h(x) \\ & & \lim_{x \to x_0} f(x) = L \\ & & \lim_{x \to x_0} h(x) = L \\ & & \Rightarrow \exists \lim_{x \to x_0} g(x) = L \\ \end{eqnarray}
Tова свойство е изключително полезно, защото чрез него може да заключим, че съвсем произволни функции (на пръв поглед) имат граница, даже да намерим тази граница. Достатъчно е да я ограничим със 2 функции, за които вече е известно че имат еднаква граница.
Доказателство:
Ще използваме дефиницията за граница за $f$ и $g$, за произволно фиксирано епсилон, след което ще изберем минималното делта (познато нали?)
(24)
\begin{eqnarray} & & \epsilon > 0\\ & & A = \underset{x \to x_0}\lim f(x) \overset{\mbox{de{}f}}\Rightarrow \exists \delta_1 = \delta_1(\epsilon),\ \forall x \in \mathrm X, x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta_1 \Rightarrow |f(x) - A| < \epsilon\\ & & A = \underset{x \to x_0}\lim g(x) \overset{\mbox{de{}f}}\Rightarrow \exists \delta_2 = \delta_2(\epsilon),\ \forall x \in \mathrm X, x \ne x_0,\ |x - x_0| < \delta_2 \Rightarrow |g(x) - A| < \epsilon\\ & & {}\\ & & \Longrightarrow \forall \epsilon > 0,\ \exists \delta = \min(\delta_1, \delta_2) : \forall x \in \mathrm X,\ x \ne x_0, |x - x_0| < \delta\\ & & \Longrightarrow A - \epsilon < f(x) \le h(x) \le g(x) < A + \epsilon\\ & & \Rightarrow |h(x) - A| < \epsilon\\ & & \Rightarrow \exists \underset{x \to x_0}\lim h(x) = A\\ \end{eqnarray}
Лява и дясна граница
Сега ще въведем понятията лява и дясна граница. Тях няма да използваме толкова често, колкото нормалната граница, но понякога помагат да заключим съществуването на нормална граница на по-трудни за анализиране функции.
Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $X \subset R$ и $x_0$ е т.н.сг $X$. Дефинициите на понятията лява и дясна граница са еквивалентни на понятието граница, с единствената разлика, че когато говорим за лява граница разглеждаме поведението на функцията единствено за $x < x_0$, а когато говорим за дясна - $x > x_0$.
Дясна граница:
(25)
\begin{array} {l} \mbox{1) } L_+ = \underset{x \to x_0^+}\lim f(x)\quad \mbox{ ako } \forall \epsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall x \in \mathrm X,\ \underbrace{x > x_0, |x - x_0| < \delta}_{x \in (x_0, x_0 + \delta)}\\ \Longrightarrow |f(x) - L| < \epsilon\\ \end{array}
Лява граница:
(26)
\begin{array} {l} \mbox{2) } L_- = \underset{x \to x_0^-}\lim f(x)\quad \mbox{ ako } \forall \epsilon > 0\ \exists \delta = \delta(\epsilon) > 0 : \forall x \in \mathrm X,\ \underbrace{x < x_0, |x - x_0| < \delta}_{x \in (x_0 - \delta, x_0)}\\ \Longrightarrow |f(x) - L| < \epsilon\\ \end{array}
Теорема:
(27)
\begin{array} {l} \\ \underset{x \to x_0}\lim f(x) = A \iff \exists \underset{x \to x_0^-}\lim f(x) = A_-\quad \exists \underset{x \to x_0^+}\lim f(x) A_+\\ \mbox { аnd } A_- = A_+ = A\\ \end{array}
Теоремата гласи, че ако съществуват лява и дясна граница в една точка и те са равни, то съществува и границата в тази точка (равна на същото число). Обратната посока - ако има граница в дадена точка, то има и лява и дясна граница в тази точка, равни на границата.
Доказателството, просто повтаря вече казани неща.
Не е излишно обаче да се отбележи, че една функция може да има както лява, така и дясна граница в някоя точка, но те двете да не са равни. В такъв случай функцията няма граница в тази точка. Например:
(28)
\begin{align} f(x) = \begin{cases} x & 0 \le x <= 1 \\ 1 - x & 1 < x \end{cases} \end{align}
притежава и лява, и дясна граница в 1, но те не са равни, следователно $f(x)$ няма граница в 1.
Автори: Искрен Чернев, Михаил Минков