Тема 03

Числови функции

Числова функция

Дефиниция

Нека $X \subset \mathbb R$.
Всяко правило (закон) $f$, при което на всяка стойност от $X$ се съпоставя единствена стойност от някакво друго множество:

(1)

\begin{align} \forall x \in \mathrm X \overset{f}{\longrightarrow} !y \end{align}

се нарича функция, дефинирана върху $X$.
Удивителната пред $y$, показва, че стойността е единствена, т.е не може на едно $x$ да съпоставим няколко $y$.

(2)

\begin{align} y = f(x)\hspace{3 mm} \langle \mathrm X, f \rangle \end{align}

Ето един друг начин да означим функция.
Това се чете "Функция $f$, приемаща стойности от $X$ и връщаща стойности от $Y$".

(3)

\begin{align} f: X \rightarrow Y \end{align}

Дефиниция(дефиниционно/функционално множество):
$D(f)$ - дефиниционно множество на f. (т.е. $X$ от предната дефиниция)
$R(f) = \{ f(x) | x \in D(f) \}$ - функционално множество ($Y$ от предната дефиниция)

Дефиниция(равенство на функции):
Казваме, че $f = g$, ако:

1. $D(f) = D(g) = X$
2. $f(x) = g(x), \forall x \in X$

Т.е. две функции са равни, ако дефиниционните им области са равни и за всяка стойност $x_0 \in D(f)$ техните функционални стойности в тази точка са равни $(f(x_0) = g(x_0))$. Не трябва да се забравя първото. Например, функциите $\sqrt{x^2}$ и $\sqrt{x}^2$ не са еднакви, защото дефиниционната област на първата са всички реални числа, а на втората - само неотрицателните.

---

Формиране на сложни функции

Сега ще представим запис за събиране/изваждане/умножение/деление на функции:
Дефиниция:
Нека $f(x)$ и $g(x)$ са дефинирани върху $X$
$\forall x \in X$:

1. $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
2. $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$
3. $(fg)(x) = f(x)g(x)$
4. $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

Важното в случая е, че $(f+g)$ е функция, чиито резултат (функционална стойност) е сбора от функционалните стойности на $f$ и $g$ двете функции. Т.е. един вид по този начин си дефинираме нова функция, но вместо да пишем $\forall x \in X : h(x) = f(x) + g(x)$, пишем $h = f+g$. Отново - това не е просто трик за улесняване на записа, това е метод за генериране на нови функции.

Дефиниция:
Нека $y = f(x)$ е дефинирана върху $X$ и $z = g(y)$ е дефинирана върху $Y$, при това $R(f) \subset Y$. (това означава, че за всички стойности, който 'връща' $f(x)$ могат да бъдат 'подадени' на $g(y)$)
$\forall x \in X (g \circ f)(x) = g(f(x))$
се нарича композиция на функциите $f$ и $g$ (казва се още '$g$ след $f$').
Това, както и по-горе е начин за дефиниция на нова функция.

---

Графика на функция

Дефиниция:
Нека $f$ е дефинирана въху $X$.
Графика на $f$ наричаме $\Gamma(f) = \{ (x, f(x)) : x \in X \}$

Т.е графиката е просто множество от точки, абсцисите на които са от дефиниционното множество, а ординатите - функционалните стойности за съответната абсциса.

Характеристики на функциите

Четност

Дефиниция:
Една функция е нечетна, ако за всяка точка от нейното дефиниционно множество е изпълнено:

(4)

\begin{equation} f(-x) = -f(x) \end{equation}

Ако си нарисувате графиката на една нечетна функция, ще видите че тя е симетрична относно началото на координатната система. Това е така, защото:

(5)

\begin{align} (x, y) \in \Gamma(f) \iff f(x) = y \iff -f(x) = -y \overset{\underset{def.}{}}\iff f(-x) = -y \iff (-x, -y) \in \Gamma(f) \end{align}

Дефиниция:
Казваме, че функция е четна, ако за всяка точка от нейното дефиниционно множество имаме:

(6)

\begin{equation} f(-x) = f(x) \end{equation}

Графиката на една четна функция е симетрична относно $Oy$:

(7)

\begin{align} (x, y) \in \Gamma(f) \iff f(x) = y \overset{\underset{def.}{}}\iff f(-x) = y \iff (-x, y) \in \Gamma(f) \end{align}

Възможно е една функция да не е нито четна, нито нечетна - например функцията $f(x) = x + 1$ - проверете, че не изпълнява нито едното от двете условия.
Функцията $f(x) = x$ е нечетна, а $f(x) = x^2$ е четна. Всъщност, може лесно да се провери, че всяка функция f(x), състояща се само от четни степени на x е четна, а всяка състояща се само от нечетни - нечетна. Всъщност, този факт далеч не е съвпадение и има далеч по-дълбоки импликации, отколкото изглежда на пръв поглед. Но с това ще се занимаем в раздела посветен на реда на Тейлър.

---

Монотонност

Дефиниция:
Нека $f(x)$ е дефинирана върху $\langle a, b \rangle$. Казваме, че $f(x)$ е монотонно растяща върху $\langle a, b \rangle$, ако за всеки $x_1, x_2 \in \langle a, b \rangle: x_1 > x_2$ е изпълнено, че $f(x_1) \ge f(x_2)$
Наричаме една функция строго монотонно растяща, когато горното неравенство е строго, т.е. $f(x_1) > f(x_2)$.
По същия начин се дефинират строго и нестрого монотонно намаляващи функции.

Обратна функция

Дефиниция:
Нека $y = f(x)$ е дефинирана върху $X$ и връща стойности от $Y$.
Ако за всяко $y$ от $Y$ съществува точно едно $x$ от $X$ такова, че $f(x) = y$:

(8)

\begin{align} \forall y \in Y: \exists !x \in X : f(x) =y \end{align}

казваме че функцията $y = f(x)$ е обратима върху $X$.
Функцията $g : Y \to X,\ g(y) = x$, където $x$ е единствената стойност от $X$, за която $f(x) = y$ се нарича обратна функция на $f(x)$. Често се бележи с $g = f^{-1}$.¹

С други думи, една функция е обратима върху даден интервал, ако всяка хоризонтална линия я пресича в максимум една точка (приемаме, че сме начертали функцията само в интервала, в който ще гледаме дали е обратима). Това ни гарантира, че за всяко y съществува единствено $x$, за което $f(x) = y$. (Съществува, защото $y \in R(f)$, т.е поне едно $x$ съществува от дефиницията за $R(f)$ - тук важното твърдение е, че е единствено).
Естествено, обратна функция може да има само някоя обратима функция. Тъй като на всяко $y$ съответства точно едно $x$, може да обърнем релацията и вече на $y$ да съпоставяме $x$, и това съпоставяне да го наречем $g$. $(g(y) = x : f(x) = y, f(x)$ е обратима, т.е хиксът е единствен, т.е $g$ отговаря на дефиницията за функция).

---

Свойства на обратните функции

Отново, $f(x)$ е обратима, $g(x)$ е нейната обратна функция.
$D(f)$ е дефиниционното множество на $f$, а $R(f)$ - нейното функционално множество.

1. Дефиниционната област на $f$ (т.е $D(f)$) е функционална област на $g$ (т.е $R(g)$) и $R(f) = D(g)$. $D(f^{-1}) = R(f) \mbox{ and } R(f^{-1}) = D(f)$
2. Обратната на обратната функция на f е самата f. $(f^{-1})^{-1} = f$
- Това означава, че:

(9)

\begin{array} {ll} \forall x \in D(f^{-1}) & f(f^{-1}(x)) = x\\ \forall x \in D(f) & f^{-1}(f(x)) = x \end{array}

3. Графиката на обратната функция е симетрична на графиката на оригиналната спрямо ъглополовящата на 1^ви квадрант. За да е изпълнено това, естествено е необходимо координатната система, в която е построена графиката да е с еднакви мерни единици на различните оси.
$\Gamma_{f^{-1}} = S_{y=x} (\Gamma_f)$
Записът просто означава, че графиката е симетрична относно функцията $y = x$, която се оказва ъглополовящна на 1^ви квадрант.

4. Ако $f$ е нечетна функция, то нейната обратна също е нечетна. $f(-x) = -f(x) \iff f^{-1}(-x) = - f^{-1}(x)$
5. Ако $f$ е строго монотонно растяща (намаляваща), то обратната й също е строго монотонно растяща (намаляваща). Забележете, че ако функция е монотонна, без монотонността да е строга, то тя няма обратна функция

Основни елементарни функции

Някои функции са добре изучени и за тях са известни много свойства. Тези функции ние приемаме за "основни" и ги използваме без винаги да доказваме всички необходими теореми за тях. В тази група включваме също полиномите и рационалните функции, защото те също са много подробно изучени и често използвани в практиката.

Дефиниция на функцията	Наименование
$y = f(x) = C\quad C = const$	Константна
$y = f(x) = x\quad x \in R$	Идентитет
$y = f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_0$	Полином
$y = f(x) = \frac{a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{1}x + a_0}{b_{n}x^{n} + b_{n-1}x^{n-1} + \cdots + b_{1}x + b_0}$	Рационална функция
$y = f(x) = x^\alpha\quad \alpha \in \mathbb R$	Степенна
$y = f(x) = a^x\quad a > 0, a \ne 1$	Експоненциална
$y = e^x = exp(x)$	Експонента
$y = f(x) = \log_a(x)\quad a > 0, a \ne 1$	Логаритъм при основа a
$y = f(x) = \ln(x)$	Натурален логаритъм(основата е "e")
Тригонометрични функции
$y = f(x) = \sin(x)$	Синус
$y = f(x) = \cos(x)$	Косинус
$y = f(x) = \mathrm{tg}(x)$	Тангенс
$y = f(x) = \mathrm{cotg}(x)$	Котангенс
Обратни на тригонометричните функции
$y = f(x) = \arcsin(x)$	Аркус синус
$y = f(x) = \arccos(x)$	Аркус косинус
$y = f(x) = \mathrm{arctg}(x)$	Аркус тангенс
$y = f(x) = \mathrm{arccotg}(x)$	Аркус котангенс

В следващи раздели ще докажем определени свойства на елементарните функции.

Елементарни функции

Дефиниция

Дефиниция:
Елементарна функция - функция, която се получава от основните елементарни функции чрез прилагане на операциите събиране/изваждане/умножение/деление/композиция краен брой пъти.

Другояче казано, почти всяка функция, за която се сетите е елементарна. Неелементарни са функциите, получени от някои интеграли, функцията на Дирихле, функции, включващи модули и още много други.

Полином от n-та степен

Дефиниция:
Полином от n-та степен се нарича функция от вида:

(10)

\begin{array} {l} P_n(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n\quad(a_i \in \mathbb R\ i = 0..n,\ a_0 \ne 0)\\ \end{array}

Рационални функции

Дефиниция:
Рационална функция се нарича функция, която е частно на два полинома:

(11)

\begin{array} {l} R(x) = \dfrac{P_n(x)}{Q_m(x)}\\ \end{array}

В частност, всеки полином също е рационална функция, защото е частно на себе си и полиномът константна единица.

Ирационални функции

Дефиниция:
Ирационална функция е рационална функция, в която е позволено повдигането на произволна степен. Например $x ^ {\sqrt{2}}$.

Трансцедентни функции

Дефиниция:
Всички останали елементарни функции се наричат трансцедентни.

Забележете, че ирационалните и трансцедентни функции са елементарни.

Footnotes

1. Да не се сбърка с повдигане на функция на степен, което се бележи по … същия начин. Няма начин да ги различите освен от контекста.