Упражнение 3

Тука сложи заглавие


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Малко теория

Нека $P_n$ е полином от следния вид
$P_n(x) = a(x-x_1)^{p_1}(x-x_2)^{p_2}...$$(x-x_k)^{p_k}(x^2+a_1x+b_1)^{l_1}(x^2+a_2x+b_2)^{l_2}...(x^2+a_sx+b_s)^{l_s}$
като
$P_n(x_i) = 0$ за $i = 1..k$ ,
$p_1..p_k,l_1,..l_s$ са цели, положителни числа
и $P_n$ е от степен $n$

Интеграл от следния вид ще наричаме интеграл на рационална функция:
$\int \dfrac{R_m(x)}{P_n(x)} dx$ където $R_m$ и $P_n$ са интеграли от гореописания тип и $m < n$

Ако $m > n$ делим $R_m$ на $P_n$ и използваме полилинейността, докато получим подходящ интеграл

След като получим подходящ интеграл, го решаваме по следния начин:

Първо разлагаме
$\dfrac{R_m(x)}{P_n(x)} =$
$= \dfrac{A_1}{x-x_1}+\dfrac{A_2}{(x-x_1)^2} + .. + \dfrac{A_{p1}}{(x-x_p)^{p1}} + \dfrac{B_1}{x-x_2}+ ..$
$.. + \dfrac{M_1x+N_1}{x^2+a_1x+b_1}+ \dfrac{M_2x+N_2}{(x^2+a_1x+b_1)^2}+..+\dfrac{M_{l1}x+N_{l1}}{(x^2+a_1x+b_1)^{l1}} +..$
$..+ \dfrac{O_{ls}x+K_{ls}}{(x^2+a_sx+b_s)^{ls}}$

Теорията за решението

Задача 1

$\int \dfrac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x} dx = \int \dfrac{x^3 -5x^2+6x + 5x^2-6x+1}{x^3-5x^2+6x} dx =$
$= x + \int \dfrac{ 5x^2-6x+1}{x^3-5x^2+6x} dx$
Сега разлагаме рационалната дроб

(1)
\begin{align} \int \dfrac{ 5x^2-6x+1}{x^3-5x^2+6x} dx = \int \dfrac{ 5x^2-6x+1}{x(x-2)(x-3)} dx = \int \dfrac{ A }{x} + \int \dfrac{ B }{x-2} dx + \int \dfrac{ C }{x-3} dx \end{align}

Сега по метода на неопределените коефициенти получаваме система за $A,B,C$
$\begin{array}{|ccccc} A+B+C = 5 \\ 5A+3B+2C = 6 \\ 6A=1 \end{array}$
от решаването на тази система получаваме
$A = \dfrac{1}{6}, B=-\dfrac{9}{2}.\, C = \dfrac{28}{3}$
и така можем да си преставим интеграла по следния начин

(2)
\begin{align} \int \dfrac{ 1 }{6x} dx - \int \dfrac{ 9 }{2(x-2)} dx + \int \dfrac{ 28 }{3(x-3)} dx = \\ \dfrac{1}{6}\int \dfrac{ 1 }{x}dx - \dfrac{9}{2}\int \dfrac{ 1 }{x-2} d(x-2) + \dfrac{28}{3}\int \dfrac{ 1 }{x-3} d(x-3) = \\ \dfrac{1}{6}\ln (x) - \dfrac{9}{2}\ln (x-2) + \dfrac{28}{3} \ln (x-3) \end{align}

Задача 2

(3)
\begin{eqnarray} \int \dfrac{x^4}{x^4+5x^2+4} dx & = & \int \dfrac{x^4+5x^2+4 - 5x^2 - 4}{x^4+5x^2+4} dx = \\ & = & \int \dfrac{x^4+5x^2+4 }{x^4+5x^2+4} dx - \int \dfrac{5x^2 + 4}{x^4+5x^2+4} dx \\ &=& \int 1 dx - \int \dfrac{5x^2 + 4}{x^4+5x^2+4} dx = \\ & = & x - \int \dfrac{5x^2 + 4}{x^4+5x^2+4} dx = \\ & = & x - \int \dfrac{5x^2 + 4}{(x^2+ 1)(x^2+4)} dx = \\ & = & x - \int \dfrac{Ax + B}{x^2+ 1} + \dfrac{Cx + D}{x^2+4} dx \\ \end{eqnarray}

За $A,B,C,D$ имаме системата
$\begin{array}{|ccccc} A+C = 0 \\ B+D = 5 \\ 4A+C=0 \\ 4B+D = 4 \end{array}$
решенията са $A=C=0, B=\dfrac-{1}{3}, D = \dfrac{16}{3}$ и така интегралът ни получава следният вид

(4)
\begin{eqnarray} x - (\int -\dfrac{1}{3(x^2+ 1)} + \dfrac{ 16}{3(x^2+4)} dx) & = & \\ &=& x -(- \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{x^2+ 1}dx +\dfrac{16}{3} \int \dfrac{ 1}{x^2+4} dx) = \\ &=& x -(- \dfrac{1}{3} arctg x +\dfrac{16}{3} \int \dfrac{ 1}{4((\frac{x}{2})^2+1)} dx) = \\ &=& x -(- \dfrac{1}{3} arctg x +\dfrac{4*2}{3} \int \dfrac{ 1}{(\frac{x}{2})^2+1} d\frac{x}{2}) = \\ &=& x -(- \dfrac{1}{3} arctg x +\dfrac{16*2}{3*4} \int \dfrac{ 1}{(\frac{x}{2})^2+1} d\frac{x}{2}) = \\ &=& x -(- \dfrac{1}{3} arctg x +\dfrac{8}{3} arctg \frac{x}{2}) = \\ &=& x + \dfrac{1}{3} arctg \ x -\dfrac{8}{3} arctg \frac{x}{2} \end{eqnarray}

Задача 3

(5)
\begin{eqnarray} \int \dfrac{1}{x^4+1} dx & = & \\ & = & \int \dfrac{1}{x^4+1+2x^2-2x^2} dx = \\ & = & \int \dfrac{1}{(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2} dx = \\ & = & \int \dfrac{1}{(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2} dx = \\ & = & \int \dfrac{1}{(x^2+1-\sqrt{2}x)(x^2+1+\sqrt{2}x)} dx = \\ & = & \int \dfrac{Ax+B}{x^2+1+\sqrt{2}x}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1-\sqrt{2}x} dx \\ \end{eqnarray}

Системата за $A,B,C,D$ е
$\begin{array}{|ccccc} A+C = 0 \\ B-A\sqrt{2}+C\sqrt{2}+D = 0 \\ A+C-B\sqrt{2}+D\sqrt{2}=0 \\ B+D = 1 \end{array}$
от която получаваме
$A=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}, C=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}, D=B=\dfrac{1}{2}$
кофти, че няма нито една $0$, но ще смятаме…

(6)
\begin{eqnarray} \int \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}}{x^2+1+\sqrt{2}x}+\dfrac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}}{x^2+1-\sqrt{2}x} dx & = & \\ & = & \int \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}}{x^2+1+\sqrt{2}x} dx-\int \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x-\frac{1}{2}}{x^2+1-\sqrt{2}x} dx= \\ & = & \int \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac{1}{2}}{(x+\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2}} dx-\int \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x-\frac{1}{2}}{(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{2}} dx \end{eqnarray}

Сега малко полагаме $t = x+\frac{1}{\sqrt{2}}, u = x-\frac{1}{\sqrt{2}}$

(7)
\begin{eqnarray} & = & \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int \dfrac{t}{t^2+\frac{1}{2}}dt+\dfrac{1}{4}\int \dfrac{1}{t^2+\frac{1}{2}}dt - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int \dfrac{u} {u^2+\frac{1}{2}}d u + \dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{u^2+\frac{1}{2}} du = \\ & = & \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{t^2+\frac{1}{2}}d(t^2+\frac{1}{2})+\dfrac{1}{4}\dfrac{2}{\sqrt{2}}\int \dfrac{1}{(\sqrt{2}t)^2+1}dt\sqrt{2} - \dfrac{1}{2\sqrt{2}}\int \dfrac{u}{u^2+\frac{1}{2}}d u + \dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{u^2+\frac{1}{2}} du \\ & = & \dfrac{1}{4\sqrt{2}}\ln (t^2+\frac{1}{2})+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}arctg \ t\sqrt{2} - \dfrac{1}{4\sqrt{2}}ln(u^2+\frac{1}{2})+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}arctg \sqrt{2}u \end{eqnarray}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License